В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Единственный корень характеристического уравнения  1/ , и общее решение однородного уравнения, описывающее свободные колебания на выходецепи, имеет вид uвых (t )  Cet / , где С определяется некоторымчастным решением неоднородного уравнения и начальными условиями. Если входное напряжение описывается функцией включения, частным решением неоднородного уравнения является установившаяся реакция цепи, равная, очевидно, функции включения.Тогда решение неоднородного уравнения имеет видuвых (t )  Cet /  (t ) .Начальным условием для уравнения является условиеuвых (0)  0 , откуда C  1 , таким образом, отклик цепи на функцию включения, называемый переходной характеристикой, равенпри t 0 g (t )  1  et / . ◄4.2.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОДПредположим, что на вход ЛИС-цепи, описываемой дифференциальным уравнением (4.1), воздействует комплексное гармоническое колебание вида x(t )  e j t , где– круговая частота колебания. Как было показано в разд. 2, сигнал на выходе ЛИС-цепипри таком воздействии равен y(t )  H ( )e j t , где H ( ) – значениеКЧХ на частоте . Подставляя x (t ) и y (t ) в уравнение (4.1) и решая полученное алгебраическое уравнение относительно H ( ) ,получаем комплексную частотную характеристику, выраженнуючерез коэффициенты дифференциального уравнения цепи:H( ) m  bm1  j m1  ...

 b1 jnn 1an  j   an 1  j   ...  a1 jbm  j b0 a0.1414.3. Операторный методТаким образом, зная дифференциальное уравнение, описывающее ЛИС-цепь, можно для нахождения выходного сигналавоспользоваться спектральным методом, для чего найти спектральную плотность X ( ) входного сигнала, умножить ее на КЧХ,а от полученной спектральной плотности Y ( ) выходного сигналаперейти к его временному представлению путем обратного преобразования Фурье.Пример 4.2. КЧХ фильтра нижних частот, рассмотренного впримере 4.1, равна, очевидно, H ( )  1/ 1  j RC  .

Рассматривая вкачестве входного сигнала -функцию со спектральной плотностью, тождественно равной 1, имеем спектральную плотность выходного сигнала Y ( )  1/ 1  j RC  , откуда обратным преобразо1ванием Фурье находится импульсная характеристка h(t )  et / ,t0 , равная производной переходной характеристики. ◄4.3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОДОператорный метод65 основан на символической замене оператора дифференцирования множителем, который принято обозначать буквой p .

При этом функции времени x (t ) и y (t ) должныбыть заменены их изображениями X ( p) и Y ( p ) , определяемымипреобразованием66 Лапласа67X ( p)   x(t )e pt dt ,0Y ( p)   y (t )e  pt dt .0При таком допущении дифференциальное уравнение (4.1) преобразуется в алгебраическое уравнениеan pnY ( p) ... a1 pY ( p)  a0Y ( p)bm p m X ( p) ... b1 pX ( p)  b0 X ( p) .656667Операторный метод был в основном разработан Оливером Хевисайдом(1850 – 1925), выдающимся английским инженером и математиком(подробнее см., например, [14]).Это одностороннее преобразование Лапласа определено для функций,равных нулю при t 0 и растущих при tне быстрее чем e 0t ,при0 [14].Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827) – знаменитый французский математик, физик и астроном, один из создателей теории вероятностей.4.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИС-ЦЕПЕЙ142Вводя операторную передаточную функцию K ( p) формулойK ( p) Y ( p),X ( p)получаемK ( p) bm p m  bm1 p m1  ...  b1 p  b0an p n  an1 p n1  ...  a1 p  a0.Таким образом, нахождение выходного сигнала ЛИС-цепи операторным методом сводится к следующим шагам:переход от входного сигнала x (t ) к его лапласовскому изображению X ( p) ;нахождениеизображениявыходногосигналаY ( p)  K ( p) X ( p ) ;переход от изображения Y ( p ) к выходному сигналу y (t ) путем обратного преобразования Лапласаy (t ) 1 c  jY ( p)e pt dt ,2 j c  jгде c – константа, которая должна быть больше абсциссы абсолютной сходимости [8].Легко видеть, что передаточная функция ЛИС-цепи получаетсяиз ее КЧХ путем замены j  p   j (что соответствует аналитическому продолжению функции, заданной на мнимой осикомплексной плоскости, на всю комплексную плоскость).

Верно иобратное: зная передаточную функцию ЛИС-цепи, путем заменыp  j (сужения функции комплексного переменного на мнимуюось комплекснойp -плоскости) можно получить КЧХ:H ( )  K ( j ) . Учитывая, что для многих функций лапласовскиеизображения давно найдены и сведены в таблицы, операторныйметод анализа ЛИС-цепей оказывается во многих случаях самымпростым. Подробное обсуждение операторного метода с многочисленными примерами можно найти в [14].Пример 4.3. Передаточная функция RC-фильтра нижних частот11/равна K ( p) , а изображение -функции равно 1.1 pp  1/1434.4.

Метод комплексной огибающей1/. В таблице преобразованийp  1/Лапласа [14] есть изображение 1/( p  )  e t . Полагая  1/ ,получаем отклик на -функцию (импульсную характеристику) ви1да h(t )  et / . ◄Перемножая, получим Y ( p) 4.4. МЕТОД КОМПЛЕКСНОЙ ОГИБАЮЩЕЙМетод комплексной огибающей обычно применяется для анализа частотно-избирательных цепей (ЧИЦ) при узкополосных воздействиях. Именно эта ситуация имеет место в приемных устройствах, где модулированные узкополосные колебания воздействуютна частотно-избирательные ЛИС-цепи (фильтры).Узкополосный сигнал x (t ) со средней частотой F0 можно выразить через его комплексную огибающую (t ) следующим образом (см.

разд. 2):x(t )  Re (t )e j2F0t  12 (t )e j2F0t*(t )e j2F0t ,поэтому спектральная плотность X ( f ) сигнала x (t ) может бытьзаписана в видеX( f ) 12 f  F0   *  f  F0  ,(4.5)( f ) – спектральная плотность комплексной огибающей (t ) .Импульсная характеристика h (t ) частотно-избирательной цепи(полосового фильтра с центральной частотой F0 ), рассматриваемаякак сигнал, также имеет узкополосный характер и может бытьпредставлена в формегдеh(t )  Re (t)ej2 F0t  12 (t )e j2F0t*(t )e j2F0t ,поэтому КЧХ такой цепи можно записать в видеH( f ) 12 f  F0  * f  F0  .(4.6)4. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИС-ЦЕПЕЙ144Тогда спектральная плотность Y ( f ) сигнала y (t ) на выходефильтра равнаY( f )  H  f X  f  14 f  F0   f  F0  * f  F0  *  f  F0  .fЗдесь учтено то обстоятельство, что функции f  F0  равны нулю* f  F0  при f  0 .при f  0 , а функции* f(4.7) F0  и F0  иДля приведения (4.7) к виду, аналогичному выражениям (4.5),(4.6), запишемY( f ) 12 f  F0   *  f  F0  ,где ( f ) – спектральная плотность комплексной огибающей (t )выходного сигналаy(t )  Re (t)ej 2 F0t  12  (t)ej 2 F0t*(t )e j 2F0t .(4.8)1 f   f  , откуда следует, что2комплексная огибающая выходного сигнала может быть найденакак сверткаЗаметим, что при этомf (t )  (t )  1 (t )2(t ) входного сигнала и (комплексной)импульсной характеристики 1 (t ) .

Цепь с такой ИХ называется2низкочастотным эквивалентом частотно-избирательной цепи. Заметим, что с точностью до множителя 1 импульсная характери2стика НЧ эквивалента совпадает с комплексной огибающей импульсной характеристики ЧИЦ.комплексной огибающей145УпражненияТаким образом, для нахождения отклика ЧИЦ на узкополосныйсигнал достаточно вычислить свертку (интеграл Дюамеля) комплексных огибающих входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, умножить результат на 1 и затем найти выходной2сигнал согласно выражению (4.8).КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1. Где должны располагаться корни характеристического уравнения устойчивой цепи?2.

Как связана комплексная частотная характеристика ЛИСцепи с ее передаточной функцией?3. Как связаны характеристики частотно-избирательной цепи иее низкочастотного эквивалента?УПРАЖНЕНИЯ1. Составьте дифференциальное уравнение RC -фильтра нижних частот (интегрирующей цепочки). Выведите КЧХ и передаточную функцию цепи. Найдите импульсную характеристику.2. Составьте дифференциальное уравнение RC -фильтра верхних частот (дифференцирующей цепочки). Выведите КЧХ и передаточную функцию цепи. Найдите импульсную характеристикуцепи.3. Найдите низкочастотный эквивалент колебательного контура, если его комплексное сопротивление описывается выражениемR0Z( j ) , где R0 – сопротивление на резонансной 01  j  2Qчастоте0,0Q – добротность контура.1465. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ5.

ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИИ ДЕМОДУЛЯЦИИодуляция – это изменение одного или неМскольких параметров колебания, называемого несущим колебанием (переносчиком), в соответствии с измене-ниями первичного (информационного) сигнала. При этом спектр(спектральная плотность) получаемого модулированного сигналаотличается от спектров как первичного сигнала, так и переносчика.Можно сказать, что такое изменение спектра является целью модуляции: например, речевой сигнал в системах телефонии занимаетполосу частот от 300 до 3400 Гц и его непосредственная передачапо каналу радиосвязи невозможна, так как размеры антенны, эффективно излучающей радиоволны столь низких частот, были быслишком велики для практического применения.

В результате амплитудной модуляции таким сигналом гармонического несущегоколебания с частотой, например, 1 МГц получается амплитудномодулированный (АМ) сигнал, занимающий полосу частот от996 600 до 1 003 400 Гц, излучение которого не составляет проблемы.Важно отметить, что при модуляции (а также демодуляции)происходят такие преобразования первичного сигнала, которыесопровождаются появлением новых частотных составляющих, отсутствовавших в спектре исходного сигнала. Практически во всехслучаях после такого обогащения спектра (ОС) производится частотная фильтрация (ЧФ) при помощи подходящей ЛИС-цепи дляподавления ненужных или вредных спектральных составляющих,(рис.

5.1). При помощи одних только ЛИС-цепей модуляцию осуществить невозможно. То же относится к демодуляции68.68Специальный случай демодуляции ЛИС-цепью будет особо рассмотренпозднее (разд. 5.7).5.1. Воздействие гармонического колебания на параметрическую цепьx(t)y(t)ЧФОС147Рис. 5.1. Принцип преобразования спектраколебанияДействительно, предположим, что на вход ЛИС-цепи поступаетпериодический сигнал x(t )   Ck ek j2ktT. Действие ЛИС-цепи накомплексную экспоненту сводится к ее умножению на комплексное число, равное значению КЧХ цепи на частоте данной экспоненты. Ясно, что спектральные составляющие исходного сигналамогут исчезать в результате такой фильтрации, но не появляться,если их изначально не было.

Очевидно, что и для непериодическихсигналов справедливо то же самое. Обогащение спектра сигналановыми частотами возможно при использовании нелинейных илилинейных нестационарных (параметрических) цепей. Напомним,что нелинейными называются цепи, для которых не выполняетсяпринцип суперпозиции. Для линейных нестационарных цепей указанный принцип выполняется, однако оператор цепи зависит отвремени, вследствие чего в спектре сигнала могут появляться новые частоты.5.1.

ВОЗДЕЙСТВИЕГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯНА ПАРАМЕТРИЧЕСКУЮ ЦЕПЬПростейшая линейная параметрическая цепь, которую можноиспользовать для обогащения спектра, представляет собой активное сопротивление, меняющееся во времени по некоторому периодическому закону. Удобнее в качестве изменяющегося параметрарассмотреть переменную проводимость s(t ) , так что под воздействием напряжения u (t ) через параметрический элемент протекаетток i(t )  u (t ) s(t ) (рис. 5.2, а). Проводимость s(t ) можно трактовать, как переменную крутизну линейной вольт-амперной характеристики параметрического элемента (рис.

Характеристики

Список файлов книги