В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Это предположениеоправдано, когда:1) эффективная ширина спектра входного процесса намногошире, чем полоса пропускания цепи (при этом происходит нормализация процесса, так как интеграл Дюамеля можно приближеннопредставить суммой независимых «прошлых» отсчетов входногопроцесса с весовыми коэффициентами, равными соответствующимотсчетам импульсной характеристики, причем количество этих независимых отсчетов равно отношению длины ИХ к интервалу корреляции входного процесса, или, что то же самое, отношению полосы частот входного процесса к полосе пропускания цепи;согласно центральной предельной теореме Ляпунова распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением числа слагаемых);2) на входе ЛИС-цепи гауссовский процесс, причем необязательно широкополосный (при этом значение выходного процессаравно сумме гауссовских случайных величин, которая имеет гауссово распределение независимо от числа слагаемых) .3.5.

БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕПРЕОБРАЗОВАНИЯСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВРанее рассматривались линейные преобразования детерминированных колебаний и случайных процессов. Напомним, что линейными называются преобразования, подчиняющиеся принципусуперпозиции (см. разд. 2). В технике связи часто используютсяцепи, не удовлетворяющие этому принципу, т.е.

нелинейные.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ128К сожалению, общей теории нелинейных цепей и их взаимодействия с сигналами, столь же простой, как теория ЛИС-цепей, не существует. Некоторые задачи, связанные с воздействием детерминированных колебаний на нелинейные цепи, будут рассмотрены вразд. 5. Анализ многомерного распределения шума на выходе нелинейной цепи в общем случае представляет собой крайне сложную задачу, однако иногда рассматриваемая нелинейная цепь является безынерционной59, т.

е. значение выходного процессазависит только от значения входного процесса в этот же моментвремени. Кроме того, во многих практически важных задачах достаточно знать распределение процесса лишь в одном временно́мсечении, т. е. его одномерное распределение (распределение мгновенного значения случайного процесса). Таким образом, фактически при этом рассматривается нелинейное преобразование случайной величины, анализ которого представляет собой сравнительнопростую задачу.Нелинейная безынерционная цепь описывается характеристикой y  f ( x) , указывающей зависимость мгновенного значения yвыходного процесса y (t ) от мгновенного значения x входногопроцесса x (t ) .

Предположим, что эта зависимость монотонна,(рис. 3.8, а). Обозначим одномерную ПРВ мгновенного значениявходного процесса wx ( x) , а аналогичную функцию для выходногопроцесса – w y ( y ) (индексы указывают, к какой случайной величине относится соответствующая ПРВ).

Поскольку вероятность попадания случайной величины x с плотностью wx ( x) в бесконечноузкий интервал ( x0 , x0  dx) равна wx ( x0 )dx и при этом с такой жевероятностью случайная величина y попадает в интервал( y0 , y0  dy) , при любом x и соответствующем y выполняетсяравенствоwx ( x)dx  w y ( y )dy .Формально отсюда следует равенствоwy ( y)  wx ( x)59dx,dyМожно сказать, что безынерционная цепь не имеет памяти.1293.6. Узкополосные случайные процессыyydyy0tdxаx0xxtttбРис. 3.8. К формулам (3.14), (3.15)но нужно учесть, во-первых, что правая часть, как и левая, должназависеть только от y , и, во-вторых, что ПРВ не может быть отрицательной. С учетом сказанного можно записатьwy ( y )  wx  ( y ) d ( y),dy(3.14)где x  ( y ) – функция, обратная по отношению к характеристикеf () нелинейной безынерционной цепи.Если характеристика цепи не является монотонной и содержитN участков монотонности (рис.

3.8, б, N  3 ), то формула (3.14)приобретает видNwy ( y )   wx k 1k ( y)dk ( y)dy,(3.15)где k ( y) – функция, обратная к характеристике нелинейной цепина k -м участке монотонности.3.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫПредставление, аналогичное аналитическому сигналу, существует и для случайных процессов. Оно особенно удобно для описания узкополосных случайных процессов. Узкополосные СП играют чрезвычайно важную роль в теории связи, так как ониописывают модулированные сигналы, переносящие информацию,а также узкополосные (сосредоточенные по спектру) помехи, частоимеющие место в каналах связи.Предположим, что на вход цепи, изображенной на рис.

2.32, б,поступает стационарный в широком смысле случайный процесс3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ130x (t ) со спектральной плотностью мощности Wx ( f ) . ПосколькуАЧХ фильтра Гильберта тождественно равна 1, СПМ сопряженного процесса xˆ (t ) , которую обозначим Wxˆ ( f ) , равна Wx ( f ) . Значит, равны и автокорреляционные функции этих процессов:Rxˆ ( )  Rx ( ) .(3.16)Рассмотрим комплексный СПz(t )  x(t )  j  xˆ(t ) .(3.17)Поскольку он формируется фильтром с КЧХ (2.62), его СПМдолжна быть равна4W ( f ), f  0,Wz ( f )   xf  0.0,Согласно теореме Винера – Хинчина АКФ комплексного СПRz ( )  4  Wx ( f )e j2fdf 000 4  Wx ( f )cos(2 f )df  j  4  Wx ( f )sin(2 f )df .(3.18)Заметим, что в силу четности СПМ вещественного процессаx(t ) его АКФRx ( )  2  Wx ( f )cos(2 f )df .Тогда0Rz ( )  2Rx ( )  j  2R ( ) ,(3.19)где для мнимой части (3.18) введено обозначение 2R* ( ) .Вспомним, что спектральная плотность аналитического сигнала является правосторонней (равна 0 при отрицательных частотах).Так как АКФ и СПМ комплексного случайного процесса z (t ) также связаны парой преобразований Фурье, то очевидно, что правосторонней СПМ должна соответствовать АКФ, имеющая вид аналитического сигнала, причем ее вещественная и мнимая частисвязаны парой преобразований Гильберта:Rz ( )  Rre ( )  jRim ( ) .(3.20)1313.6.

Узкополосные случайные процессыСравнивая (3.20) и (3.19), видим, что функция Rre ( )  2Rx ( )является четной вещественной (это видно и из выражения (3.18),определяющего Rre ( ) суммой косинусоид). Аналогично Rim ( ) –вещественная нечетная функция, как сумма синусоид, каждаяиз которых сопряжена по Гильберту соответствующей косинусоиде в Rre ( ) .Запишем АКФ комплексного СП z (t ) :Rz ( )  z(t  ) z* (t )  [ x(t  )  j  xˆ(t  )][ x(t )  j  xˆ(t )]  x(t  ) x(t )  xˆ (t  ) xˆ (t )  j  xˆ (t  ) x(t )  j  x (t  ) xˆ (t )  Rx ( )  Rxˆ ( )  j[ Rxxˆ ( )  Rxxˆ ( )] .(3.21)Найдем слагаемые мнимой части:Rxxˆ ( )  x(t  ) xˆ (t )  x(t  )11x( s )ds  t  sx(t  ) x( s)1  Rx (t   s )dsds tsts1Rx ( )d  Rˆ x ( ) .Полученное выражение представляет функцию, сопряженнуюпо Гильберту автокорреляционной функции исходного процесса.ˆ (t  ) x(t ) Rxxˆ ( )x1x( s) x(t )ds  t   s111x( s )ds  x(t )  t   sRx ( s  t )ds   ( s  t )Rx ( )d   Rˆ x ( ) .3.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ132Таким образом, слагаемые мнимой части отличаются толькознаком; учитывая это, а также тот факт, что Rxˆ ( )  Rx ( ) [см.(3.16)], запишем на основании (3.21)Rz ( )  2Rx ( )  j  2Rxxˆ ( ).Еще раз отметим, что вещественная часть АКФ комплексногоСП z (t ) является четной, а мнимая – нечетной функциями. В частности, отсюда следует, что случайные процессы, сопряженные поГильберту, некоррелированны в совпадающие моменты времени(при  0 ).Все сказанное справедливо для любого комплексного случайного процесса z (t ) , определенного выражением (3.17) (необязательно узкополосного).

Если же процесс является узкополосным,то для него характерно наличие некоторой средней частоты и медленно меняющейся огибающей (комплексной). Типичный видмнимой и вещественной частей АКФ комплексного узкополосногоСП приведен на рис. 3.9. Характерными особенностями являютсяих колебательный характер, симметрия огибающих, а также одинаковая частота квазигармонического заполнения.Модель комплексного случайного процесса используется принахождении плотности распределения вероятностей огибающейузкополосного гауссовского случайного процесса, которая необходима, в частности, для анализа качества приема (демодуляции) амплитудно-модулированных сигналов на фоне шума.

Подробно задача оптимального приема сигналов в присутствии помехрассматривается в разд. 9.Предположим, что x (t ) – гауссовский узкополосный СП снулевым средним (это предположение на практике обычно выполняется, так как случайный процесс на входе демодулятора представляет собой результат полосовой фильтрации входного широкополосного шума, а при этом происходит его нормализация [8]).Rx ( )Rxx ( )абРис. 3.9. Вещественная и мнимая части АКФ комплексного СП1333.6. Узкополосные случайные процессыВ совпадающие моменты времени значения процессов x (t ) иxˆ (t ) некоррелированны, а следовательно, в силу гауссовости, инезависимы.

Кроме того, они имеют одинаковую дисперсию, поэтому можно записать совместную плотность распределения вероятностей отсчетов x и y процессов x (t ) и xˆ (t ) в некоторый момент времени t0 :w( x, y ) 12ex22212ey222122ex2  y 22 2.Рассматривая x и y как декартовы координаты точки на плоскости, введем элементарную площадку dxdy , которая в полярныхкоординатах выражается, как dA  Ad , где A – длина радиуса,– угол. Вероятность того, что точка с координатами x и y попадает в элементарную площадку dxdy , равнаP  x   x  dx, y  y  dy  w( x, y )dxdy  W ( A,)dAd,где W ( A, ) – совместная плотность распределения вероятностейкомплексного случайногоогибающей A и начальной фазыпроцесса в момент времени t0 .

Исходя из этого очевидного равенства и выражая x и y через A и , можно записатьW ( A, ) w  x( A, ), y ( A, )  AdAddAd(здесь x( A, ), y ( A, ) – обратные функции, описывающие преобразование полярных координат в декартовы)122ex2  y 22 2AA22eA22 2A2eA22 21 WA ( A)W ( ) .2Из полученного выражения видно, что огибающая и начальнаяфазы в некоторый фиксированный момент времени представляютсобой независимые случайные величины с плотностями распределения вероятностейWA ( A) A2eA22 2(3.22)3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ134иW ( )1.2Плотность (3.22) называется рэлеевской60 (рис.

3.10, кривая 1).Начальная фаза имеет равномерное в интервале (0, 2 ) распределение. Если случайный процесс имеет ненулевое математическоеожидание (в задаче анализа помехоустойчивости приема сигналана фоне шума это соответствует присутствию полезного сигналав принимаемом колебании), то распределение вероятностей огибающей становится более сложным и принимает вид обобщенногораспределения Рэлея, или распределения Рэлея – Райса с плотностьюWA ( A) A2eA2 U 22 2 AU I0  2  ,где U – амплитуда сигнала, I0 () – модифицированная функцияБесселя нулевого порядка. Плотность обобщенного распределенияРэлея показана на рис. 3.10, кривые 2, 3 ( A  1,  1 ).Распределение начальной фазы для этого случая не являетсяравномерным; его точный вид достаточно сложен и здесь не рассматривается.W (A)120,50013234АРис.

3.10. Распределения Рэлея (кривая 1) и Рэлея –Райса при U 1, 2 (кривая 2) и при U 2,5 (кривая 3)60Джон Уильям Стретт, лорд Рэлей (1842 – 1919) – знаменитый английский физик, известный трудами в области теории колебаний и др.; нобелевский лауреат 1904 г.Контрольные вопросы135КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1.

Характеристики

Список файлов книги