В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Корреляционно-спектральная теория cлучайных процессовПоскольку x (t ) – случайный процесс с нулевым средним,X ( f ) также имеет нулевое среднее:x(t )   X ( f )e j2 ft df  0  X ( f )  0 .Автокорреляционная функция вещественного процесса x (t )Rx ( )  x(t ) x(t  )  x* (t ) x(t  )     X * ( f ) X ( )e j2 ft e j2t j 2edfd      Wx ( f ) ( f  )e j2dfd . Последнее равенство записано на том основании, что АКФ независит от переменной t , а это может быть только при том условии, что f  , т.е.X * ( f ) X ( )  Wx ( f ) ( f  ) .С учетом стробирующего свойстваRx ( )   Wx ( f )e j2(3.9)-функции можно записатьfdf ,(3.10)d .(3.11)а следовательно,Wx ( f )   Rx ( )e j2fВыражения (3.10) – (3.11) составляют запись теоремы Винера –Хинчина57.При  0 из выражения (3.10) следуетRx (0)   Wx ( f )df ,57Александр Яковлевич Хинчин (1894 – 1959) – русский математик, известен своими трудами в области теории вероятностей, теории функций, теории массового обслуживания и др.3.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ122а поскольку Rx (0)  Dx – мощность случайного процесса (с нулевым средним), функция Wx ( f ) называется спектральной плотностью мощности (СПМ). Очевидно, СПМ – неотрицательная функция. Если процесс имеет ненулевое математическое ожидание m ,то к СПМ добавляется слагаемое m2 ( f ) .Для вещественного процесса АКФ – четная вещественнаяфункция, тогда СПМ – тоже четная вещественная. Поэтому иногдаиспользуется односторонняя СПМ:Rx ( )   N x ( f )cos(2 f )df .0Очевидно, N x ( f )  2Wx ( f ), f  0.Иногда нет необходимости знать точный вид АКФ и СПМ иможно ограничиться числовыми характеристиками, в роли которых выступают интервал корреляции и эффективная ширина спектра.

Интервал корреляции определяют по-разному, в частности,известны следующие определения.1. Интервал корреляции – такое значение , при котором АКФспадает до заданного уровня, например до 1/10 максимальногозначения (рис. 3.6, а).2. Интервал корреляции – основание прямоугольника, имеющего площадь, равную площади под графиком АКФ (рис.

3.6, б).Эффективную ширину спектра определяют по спектральнойплотности мощности способами, аналогичными показанным нарис. рис. 3.6, а и 3.6, б.Очень часто используют следующие две модели стационарныхслучайных процессов.R x (τ)Rx (τ)τкаτкбРис. 3.6. К определению интервала корреляции3.3. Корреляционно-спектральная теория cлучайных процессов123Пример 3.6. Белый шум. Так называется стационарный случайный процесс с нулевым средним, имеющий АКФ видаNRx ( )  0  ) .2Очевидно, что в этом случае СПМ постоянна на всех частотахот  до  :Wx ( f )  N0 / 2 .(Принято использовать обозначение N0 / 2 для двустороннейСПМ; односторонняя обозначается N 0 .)Легко видеть, что никакой реальный случайный процесс неможет быть белым шумом, так как белый шум имеет бесконечнуюдисперсию (мощность).

Кроме того, для белого шума теряет смыслпонятие распределения. Однако эта модель чрезвычайно удобна ванализе вследствие -образности АКФ, поэтому она широко используется.◄Пример 3.7. Квазибелый шум (шум, белый в ограниченной полосе частот от  Fв до Fв ), рис. 3.7, а. Такой процесс имеет СПМвидаN / 2при f  Fв ,Wx ( f )   00 в противном случае.АКФ квазибелого шума согласно теореме Винера – Хинчинаимеет видN Fвsin(2 Fв )Rx ( )  0  cos(2 f )df  Fв N 0,2  Fв2 Fвtпоказанный на рис. 3.7, б. Особенность такого процесса заключается в том, что график его АКФ пересекает ось времени в точках,кратных 1/  2Fв  .

Таким образом, дискретизация квазибелого шумаN0 / 2Wx ( f )R()fFвtFв12FвабРис. 3.7. СПМ (а) и АКФ (б) квазибелого шума3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ124с шагом Td  1/  2 Fв  дает последовательность некоррелированныхслучайных величин. В частности, если квазибелый шум являетсягауссовским процессом, то его отсчеты, взятые с шагом Td , оказываются независимыми, что упрощает анализ (см., например,разд. 9.3).◄3.4.

ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНЫХСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИС-ЦЕПИРассматривая воздействие стационарного (здесь и далее – вшироком смысле) случайного процесса на ЛИС-цепь в рамках корреляционно-спектральной теории, достаточно интересоватьсятолько моментами не выше второго порядка. Отсюда следует, чтопри воздействии ССП x (t ) на ЛИС-цепь с КЧХ H ( f ) и импульсной характеристикой h (t ) можно ставить задачу найти среднеезначение (математическое ожидание) и АКФ выходного процессаy (t ) , а также взаимно корреляционные функции Rxy ( ) и R yx ( )процессов x (t ) и y (t ) .В задаче анализа ЛИС-цепи при стационарном случайном воздействии в качестве входного процесса обычно рассматриваетсяпроцесс с нулевым средним. Если математическое ожидание входного процесса (постоянное вследствие стационарности) отлично отнуля, mx  0 , всегда можно рассмотреть прохождение через ЛИСцепь постоянной и флюктуационной составляющих отдельно.

Очевидно,математическоеожиданиевыходногопроцессаm y  H (0)mx . Далее полагаем, что на вход цепи с КЧХ H ( f ) воздействует стационарный процесс x (t ) с нулевым средним и АКФRx ( )   Wx ( f )e j2fdf .Каждая реализация (t ) процесса y (t ) получается сверткойреализации (t ) процесса x (t ) с импульсной характеристикойЛИС-цепи, или, что то же самое, обратным преобразованием Фурье произведения КЧХ цепи H ( f ) на спектральную плотность( f ) входной реализации (t ) :(t )   H ( f )   (t1 )e j2ft1dt1  e j2 ft df 1253.4. Воздействие стационарных случайных процессов на ЛИС-цепи  H ( f ) ( f )e j2 ft df .(Здесь, как и в разд.

3.4, следует иметь в виду, что интеграл в фигурных скобках в классическом смысле расходится.)Переходя от реализаций к процессам, можно записатьy (t )   H ( f )X ( f )e j2 ft df   Y ( f )e j2 ft df ,где Y ( f ) – случайная функция частоты (тот же случайный процесс, представленный в другом «базисе»). Заметим, что из x(t )  0следует X ( f )  0 и далее Y ( f )  0 .Автокорреляционная функция процесса y (t )R y ( )  y* (t ) y (t  )   H * ( f )X * ( f )e j2 ft df  H ( f1 )X ( f1 )e j2 2   H ( f ) X ( f1 ) X * ( f )e j2f1t j 2 f1e( f1  f )t j2 f1e df1 dfdf1 .Учитывая (3.9), запишем2Ry ( )   H ( f ) Wx ( f )e j2fdf   Wy ( f )e j2fdf .Из последнего выражения следует, что отклик ЛИС-цепи настационарный случайный процесс имеет спектральную плотностьмощности, равную входной СПМ, умноженной на квадрат модуляКЧХ (т.

е. на квадрат АЧХ) цепи:2Wy ( f )  H ( f ) Wx ( f ) .(3.12)Это выражение описывает спектральный метод анализа ЛИС-цепейпри случайных стационарных воздействиях.Поскольку частотные функции в (3.12) умножаются, соответствующие временные функции взаимодействуют путем сверткиR y ( )  Rh ( )  Rx ( ) .3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ126Здесь временнáя функция Rx ( ) соответствует спектральной плотности мощности Wx ( f ) входного процесса, а2Rh ( )   H ( f ) e j2fdf   H ( f ) H * ( f )e j2fdf .

(3.13)Заметим, что H ( f ) – преобразование Фурье импульсной характеристики h (t ) , вещественной по предположению. ТогдаH * ( f ) соответствует функции h(t ) . Действительно, согласнотеореме обращения (см. п. 2.10.2) h(t )  H ( f ) , а для вещественных функций H ( f )  H * ( f ) .

Умножению частотных функцийв правой части выражения (3.13) соответствует свертка их временных прообразов, поэтомуRh ( )  h( )  h( )   h(t ) h(t  ) d ,и функцию Rh ( ) можно назвать автокорреляционной функциейимпульсной характеристики58. АКФ импульсной характеристикиможет быть измерена при помощи коррелометра, подключенного квыходу цепи, если на ее вход подать белый шум с единичной спектральной плотностью мощности. Действительно, при этомRx ( )  ( ) , следовательно, R y ( )  Rh ( ) .Взаимно корреляционная функция входного и выходного процессовRxy ( )  x* (t ) y (t  )   X * ( f )e j2 ft df  H ( f1 )X ( f1 )e j2    H ( f1 ) X ( f1 ) X * ( f )e j2 58f1t j 2 f1e( f1  f )t j2 f1edf1 dfdf1 Заметим, что здесь имеется в виду АКФ детерминированной функции.3.5.

Безынерционные нелинейные преобразования случайных процессов    H ( f1 )Wx ( f ) ( f  f1 )e j2( f1  f )t j2 f1e   H ( f )Wx ( f )e j2f127dfdf1 df   h(t ) Rx (  t )dt .Для ВКФ входного и выходного процессов выполняется свойствоRxy ( )  R yx (  ) .Анализ распределения шума на выходе цепи в общем случаевесьма сложен, однако во многих практически важных случаях выходной процесс можно считать гауссовским.

Характеристики

Список файлов книги