В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

5.2, б).5. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ148ii (t )u (t )s(t )uабРис. 5.2. Воздействие переменного напряжения на линейныйпараметрический элементРассмотрим простейшую ситуацию, когда напряжение и крутизна изменяются по гармоническому закону с разными частотамиu(t )  U cos( 1t s(t )  S0  S1 cos(1) ,2t  2 ) .Очевидно, спектр напряжения содержит одну гармоническуюсоставляющую (гармонику) с частотой 1 , а спектр функцииs(t ) – две составляющие с частотами 0 и 2 .Ток, протекающий через параметрический элемент, равен сумме гармонических составляющих (гармоник), амплитуды и начальные фазы которых образуют соответственно амплитудный и фазовый спектры:i(t )  US0 cos( 1t  US0 cos( 1t 1 )  US1 cos( 1t1 )cos( 2tUS1cos (22 )t1 2.1) US1cos (212 )t1122) (5.1)Как видно из полученного выражения, в спектре тока присутствуют гармонические составляющие с частотой 1 , а также ссуммарной 1  2 и разностной 1  2 частотами.

Очевидно, чтопри более сложном спектральном составе напряжения и/или крутизны количество новых частот будет больше (в любом случаеспектральные коэффициенты можно найти по тригонометрическимформулам, раскрывая произведения косинусов и/или синусов).5.2. Нелинейные элементы и их аппроксимации149Наличие в спектре колебания составляющих с суммарной иразностной частотами позволяет использовать параметрическиецепи для переноса спектра.

В самом деле, подавая ток, описываемый выражением (5.1), на частотно-избирательную нагрузку (полосовой фильтр), получим напряжение частоты1  2 или1  2 , в зависимости от настройки фильтра. Таким образом, получаем перенос частоты 1 на величину 2 вправо или влево почастотной оси.На практике сигнал, подлежащий преобразованию, имеетспектр конечной ширины; после умножения сигнала на s(t ) припомощи фильтра выделяется спектр такой же формы, но сдвинутый по частоте на 2 вверх или вниз. Частными случаями переноса спектра являются преобразование частоты, применяемое присупергетеродинном приеме (см.

пример 5.1), а также амплитуднаямодуляция и синхронное детектирование АМ-сигналов.5.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫИ ИХ АППРОКСИМАЦИИК нелинейным элементам, наиболее широко применяемым втехнике генерирования и обработки сигналов, относятся в первуюочередь полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы и т.п.),которые описываются характеристиками (чаще всего рассматриваются вольт-амперные характеристики – ВАХ), имеющими весьма сложный вид.

Для целей анализа эти характеристики аппроксимируют математическими зависимостями, которые должны бытьдостаточно простыми и в то же время сохранять существенныечерты аппроксимируемых характеристик. Рассмотрим наиболеечасто применяемые аппроксимации.5.2.1. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ (СТЕПЕННАЯ)АППРОКСИМАЦИЯХарактеристика нелинейного элемента (НЭ) представляетсяполиномом [13] некоторой степени NNi  f (u )   ak u k  a0  a1u  a2u 2 ...  aN u N .k 0(5.2)Во всех практических случаях функция f (u ) аппроксимируетистинную ВАХ (заданную графически или таблично) не на всей1505. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИчисловой оси, а только на некотором ограниченном интервале значений независимой переменной, или рабочем участке.

Выберем наэтом участке N  1 точек, обозначив их u1, u2 ,..., uN 1 . Для каждогоиз этих значений напряжения обозначим соответствующие значения тока (взятые из таблицы или найденные по заданному графикуВАХ), как i1, i2 ,..., iN 1 . Тогда согласно (5.2) можно составить N  1уравнениеa0  a1u1  a2u12 ...  a N u1N  i1 ,a0  a1u2  a2u22 ...

 a N u2N  i2 ,...... ...... .................. , a0  a1u N 1  a2u N2 1...  a N u NN 1  iN 1 с N  1 неизвестными a0 , a1,..., aN . Решив эту линейную системууравнений, можно найти полиномиальную функцию (5.2).Во многих реальных задачах удобно рассматривать четную инечетную части характеристики. Любую нелинейную характеристику можно, очевидно, представить в виде суммы четной и нечетной функцийf (u)  fч (u)  fн (u) ,(5.3)где четная и нечетная части удовлетворяют следующим выражениям:fч (u)  fч (u) ,(5.4)fн (u)   fн (u) .(5.5)Из выражения (5.3) с учетом (5.4), (5.5) следуетf (u)  fч (u)  fн (u) ,(5.6)откуда, складывая и вычитая выражения (5.3) и (5.6), получаемf ч (u ) f (u )  f (u ),2(5.7)fн (u ) f (u )  f (u ).2(5.8)Пример функции F (u ) и ее четной и нечетной частей приведенна рис.

5.3.1515.2. Нелинейные элементы и их аппроксимацииОчевидно, при полиномиальной аппроксимации ВАХ ее четная и нечетная части складываются из четных и нечетныхстепеней:uf ч (u)  a0  a2u 2  a4u 4 ... ,3Ffчfн5fн (u)  a1u  a3u  a5u ... .Рис. 5.3. Нелинейная функцияВыделение четной и нечетнойи ее четная и нечетная частичастей ВАХ полезно, когда работарассматриваемого устройства определяется либо только четной, либо только нечетной частью.

Например, при амплитудной модуляции полезная составляющая колебания определяется только четной частью ВАХ (см. разд. 5.4.2).Тогда аппроксимацию можно проводить только для четной части,предварительно выделив ее графически или по таблице значений,при этом расчет коэффициентов аппроксимации требует решениясистемы уравнений меньшего порядка.

Кроме того, вид нужной(четной или нечетной) части ВАХ позволяет оценить «на глаз»пригодность данного НЭ для реализации требуемого преобразования сигналов.Важность выделения четной и нечетной частей ВАХ не ограничивается только теоретическим рассмотрением, так как существуют схемные решения, позволяющие получать четные или нечетные характеристики нелинейных цепей путем согласного иливстречного включения одинаковых нелинейных элементов.

Такстроятся, например, балансные, мостовые и кольцевые схемы.Для реализации четной характеристики необходимо использовать два НЭ с одинаковыми ВАХ. Пусть ВАХ каждого элементаНЭ1НЭ1++uRн–+–НЭ2uRн2–+–аНЭ2бРис. 5.4. Балансные схемыRн21525. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИимеет вид i  F (u ) .

Четную суммарную характеристику можнополучить в соответствии с (5.7) в видеi  F (u )  F (u ) .Это означает, что необходимо сложить токи двух НЭ, на которыевходное напряжение подается с противоположными знаками (противофазно), что реализуется в схеме, показанной на рис. 5.4, а, путем соответствующего подключения вторичной обмотки трансформатора к нелинейным элементам. Сложение токов происходитв общем для них сопротивлении нагрузки.Реализация нечетной ВАХ осуществляется схемой рис. 5.4, б засчет вычитания (противофазного сложения) на нагрузке напряжений, создаваемых токами различных НЭ.i  F (u )  F (u ) ,что соответствует выражению (5.8).Если на нелинейный элемент подается сигнал в сумме с постоянным напряжением смещения U 0 , определяющим рабочую точкуВАХ, удобно аппроксимирующий полином (5.2) представить вформеi  a '0  a '1 (u  U0 )  a '2 (u  U0 )2 ...

 a ' N (u  U0 ) N ,(5.9)где коэффициенты, разумеется, отличаются от коэффициентовa0 ,..., aN ; при этом упрощаются математические операции при нахождении спектра тока.5.2.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯКритерием выбора аппроксимирующей функции являетсяпростота аналитического выражения при приемлемой точностиаппроксимации. Вольт-амперные характеристики некоторых нелинейных элементов с хорошей точностью представляются экспоненциальными функциями видаi  f (u )  Aeгде A и– константы.u,(5.10)1535.2. Нелинейные элементы и их аппроксимацииОчевидно, при u  0 значение тока равно f (0)  Ae0  A . Таким образом, значение константы A определяется непосредственно по заданной ВАХ, как значение тока при нулевом напряжении.Для нахождения константывоспользуемся методом приведенияк линейному виду.

Прологарифмировав отношение i / A , получимlni u.A(5.11)По имеющейся заданной ВАХ можно построить график зависимости левой части выражения (5.11) от напряжения при различных u . Если экспоненциальная аппроксимация является подходящей для данной ВАХ, полученный график оказываетсяпрактически линейным, а константапредставляет собой тангенсугла наклона графика (или хотя бы касательной к нему в рабочейточке).Для полупроводниковых диодов характерно нулевое значениетока при нулевом напряжении. Тогда аппроксимация (5.10) неприемлема, и взамен применяют аппроксимацию видаi  f (u)  I 0 (eu 1) ,где I0   f (u) u  – обратный ток диода.

Константааналогично описанному выше случаю.находится5.2.3. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯЭта аппроксимация заключается в замене реальной характеристики набором отрезков прямых линий, которые в совокупностиприближенно повторяют форму ВАХ. Наибольшее распространение получила аппроксимация видаu  Uн ,0,i S (u  U н ), u  U н ,где U н – значение напряжения, соответствующее началу линейнорастущего участка, S – крутизна линейной части ВАХ.1545. ПРИНЦИПЫ МОДУЛЯЦИИ И ДЕМОДУЛЯЦИИ5.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙНА НЭ5.3.1. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГОНАПРЯЖЕНИЯ НА НЭС ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙРассмотрим НЭ с вольт-амперной характеристикой, аппроксимируемой степенным полиномомi  a0  a1 (u  U0 )  a2 (u  U0 )2 ...

 aN (u  U 0 ) N ,на который воздействует напряжение видаu(t )  U0  Um cos t ,гармоническое относительно рабочей точки, определяемой постоянным напряжением U 0 .Подставляя выражение напряжения в ВАХ и раскрывая степени и произведения тригонометрических функций, получимгдеi(t )  I0  I1 cos t  I2 cos2 t  ...  I N cos N t ,13I 0  a0  a2U m2  a4U m4  ... ,2835I1  a1U m  a3U m3  a5U m5  ...

Характеристики

Список файлов книги