В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Ряд Фурье и интеграл ФурьеПример 2.22. АвтокорреляционнаяBx( )функция прямоугольного импульса длительности и имеет вид треугольника(рис. 2.27).Максимальное значение АКФ равно – ии2A и , где A – амплитудное (максимальРис. 2.27. АКФ прямоное) значение импульса.

◄Пример 2.23. С точки зрения точно- угольного импульса длительности исти синхронизации выгодно использоватьсигнал, который имеет «острую» (игольчатую) АКФ, близкую по форме к -функции. Реальные сигналы сконечной шириной спектра к этому идеалу могут только приближаться. Одним из хороших приближений является сигнал Баркера,состоящий из N разнополярных прямоугольных элементарных импульсов; пример такого сигнала при N  5 показан на рис. 2.28, а.Отличительное свойство сигнала Баркера состоит в том, что егоАКФ (рис. 2.28, б) имеет лепестковый вид, причем ширина каждого лепестка равна удвоенной длительности элементарного импульса, а уровни боковых лепестков в N раз меньше, чем уровеньглавного лепестка (равный, очевидно, N 0 A2 ). К сожалению, сигналы Баркера существуют только при N 2, 3, 4, 5, 7, 11,13 . Таким образом, максимальное превышение главного лепестка надбоковыми, которое определяет эффективность (помехоустойчивость) синхронизации39, не может быть для сигналов Баркерабольше, чем 13.

Бóльшее превышение достигается для длинныхпоследовательностей разнополярных прямоугольных импульсов,называемых m-последовательностями (для них, однако, уровни боковых лепестков могут быть лишь в N раз меньше главного). ◄Bx( )x(t)At02050–30аРис. 2.28. Сигнал Баркера ( N39–0030б5 ) и его АКФЧем больше указанное превышение, тем меньше вероятность принять боковойлепесток за главный из-за шумовых выбросов.842. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ2.11. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ.ТЕОРЕМА ОТСЧЁТОВКоэффициенты обобщенного ряда Фурье, составляющиеспектр некоторого сигнала относительно полного ортонормальногобазиса, вычисляются путем скалярного умножения этого сигналана базисные функции.

Существует счетный базис, для которого этаоперация эквивалентна взятию отсчѐтов мгновенных значенийаналогового сигнала через равные промежутки времени. Такимобразом, аналоговый сигнал однозначно представляется дискретной последовательностью своих отсчѐтов. Такая дискретизацияаналоговых сигналов имеет огромное значение для современнойтехники, так как является основой цифровой обработки сигналов.Следует сразу же отметить, что, как и базис Фурье, упомянутый базис не обладает свойством полноты в пространствеL2 (,  ) , поэтому он непригоден для представления с заданнойточностью любых аналоговых сигналов ограниченной энергии, однако для подпространства сигналов, спектральная плотность которых сосредоточена на конечном интервале   Fв , Fв  частотнойоси40, этот счетный базис полон.Условие финитности спектра не является слишком обременительным, так как спектральные плотности всех сигналов изL2 (,  ) при f    быстро убывают41, поэтому их можнос любой точностью аппроксимировать финитными функциями.При выборе конкретного базиса в качестве конечного интервала Fв , Fв  принимается так называемая эффективная ширина спектра сигнала.

Эффективной шириной спектра можно считать ширину частотного интервала, в котором сосредоточена заданная доля (например, 99 %) всей энергии сигнала. Обычно на практикеперед дискретизацией сознательно ограничивают ширину спектрасигнала путем его предварительной фильтрации, так как этоуменьшает ошибку восстановления аналогового сигнала.Возможность представления аналогового сигнала последовательностью его отсчетов и условия применимости такого представления устанавливаются теоремой отсчетов. Приведенное4041Напомним, что такие функции называются финитными.См.

по этому поводу п. 2.10.2.852.11. Дискретизация сигналов. Теорема отсчетовнижедоказательствотеоремыотсчетовпринадлежитВ.А. Котельникову42.Рассмотрим произвольный сигнал x (t ) , спектральная плотность которого X ( f ) равна нулю вне конечного интервала Fв , Fв  частотной оси. Выразим функцию спектральной плотности X ( f ) в виде ряда ФурьеX ( f )   Ck ej2kf2 Fвk ,(2.55)вполне аналогичного комплексному ряду Фурье (2.39), представляющему временнýю функцию на интервале   T 2, T 2 , с тойочевидной разницей, что базисные функции здесь зависят не от t ,а от f .

Очевидно, коэффициенты ряда находятся как2jkf1 FвCk X ( f )e 2 Fв df ,2 Fв  Fвk  ,  .Выразим сигнал x (t ) через его обратное преобразование Фурье, подставляя в качестве спектральной плотности еѐ представление рядом Фурье (2.55)Fвx(t )   X ( f )e Fвj2 ftFвk  Fвdf   Ck  e1 j2 f  t  k2 Fв df Fв1   Ck  cos  2 f  t  k df 2 Fв  k  Fв1 sin  2 Fв  t  k2 Fв    Ck  2 Fв.1 k 2 Fв  t  k2 Fв 42(2.56)Владимир Александрович Котельников (1908–2005) – выдающийся русскийинженер и математик; доказал теорему отсчетов в 1933 г.

Известны также варианты доказательства теоремы отсчѐтов, связанные с именами Э. Уиттекера(1916), Х. Найквиста (1928), Д. Габора (1946), К. Шеннона (1948).862. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВЗаметим, что2jkf1 FвCk X ( f )e 2 Fв df 2 Fв  FвFв1j2 ftdf X ( f )e2 Fв  Fвt  k12 Fв1 x  k 2 Fв .2 Fв(2.57)Подставив (2.57) в (2.56) и введя обозначение для интервала1, запишем сигнал в виде ряда(шага) дискретизации Td 2 Fвsin  t  kTd sin  t  nTd T Td,x(t )   x  kTd   d x nTd k n t  kTd t  nTd TdTd(2.58)известного под названием ряда Котельникова.

Коэффициентыx  nTd  этого ряда представляют собой отсчеты (мгновенныезначения) аналогового сигнала x (t ) , взятые через равные про1межутки времени Td . Базисные функции ряда Котельни2 Fвкова получаются сдвигами на такие же промежутки времениединственной функции. Обозначим эту исходную функцию t t  , тогда базис будет совокупностью0 (t )  sin  Td   Td n (t ),n  ,  ,n (t ) 0 (t  nTd ) .Несколько базисных функ-ций показаны на рис. 2.29. Этот ряд даѐт точное представление(интерполяцию) значений сигнала x (t ) в любой точкевременнóй оси по известным значениям сигнала в дискретноммножестве еѐ точек (узлов интерполяции). Следовательно, нетнеобходимости передавать или хранить всѐ непрерывное множество (континуум) значений аналогового сигнала с финитнымспектром, достаточно передать (или зафиксировать на некото-872.11. Дискретизация сигналов.

Теорема отсчетовром носителе) счетную последовательность его дискретных отсчетов x[n]  x nTd  , n  ,  , по которым при необходимостисигнал может быть точно восстановлен.u(t)tРис. 2.29. Базисные функции ряда Котельникова приn = – 1, 0, 3, 7Чтобы выяснить свойства полученного базиса, найдем скалярное произведение пары базисных функций. Сравним выражения(2.56) и (2.55) для сигнала и его спектральной плотности. Очевидно, функция1 sin  2 Fв  t  k2 Fв  2 Fв1 2 Fв  t  k2 Fв j2kf2 Fвимеет спектральную плотность, равную eна частотном интервале   Fв , Fв  , и нулю вне его. Тогда согласно обобщеннойформуле Рэлея скалярное произведение k -й и m -й функций базиса Котельникова равно(k , m) Fв14 Fв2 e Fвj2( k  m) f2 Fвdf 12 Fвkm.Таким образом, базис Котельникова ортогонален, но не нормирован. По существу, базис Котельникова во временной области –это базис Фурье в частотной области [ср.

(2.55) и (2.56)]. Поэтому свойства ортогональности и полноты одинаково справедливыдля этих базисов.Чтобы восстановить (интерполировать) аналоговый сигнал попоследовательности его отсчетов, необходимо просуммировать все882. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВбазисные функции Котельникова при n  ,  с весовыми коэффициентами, равными отсчѐтам x  nTd  . Технически эту операциюможно в принципе осуществить, располагая ЛИС-цепью, имеющейимпульсную характеристику, совпадающую с функцией Котельникова 0 (t ) , и подавая на вход этой цепи в моменты nTd , n  , воздействия в виде -функций с амплитудными множителямиx  nTd  , n  ,  .

Следовательно, на вход такой цепи должен подаваться возбуждающий сигнал в виде Td -периодической последовательности -функций, умноженных на отсчеты аналоговогосигнала v(t )   x(nTd ) (t  nTd ) . Откликом цепи на воздействиеn (t  nTd ) является сдвинутая на nTd импульсная характеристикаn (t )  0 (t  nTd ) . С учетом линейности и стационарности цепиочевидно, что отклик на воздействие v(t ) представляет собой правую часть выражения (2.58), поэтому на выходе цепи наблюдаетсявосстановленный сигнал x (t ) .Учитывая, что -функция имеет нулевую длительность, можнопредставить возбуждающий сигнал в видеn n v(t )   x(nTd ) (t  nTd )  x(t ) где (t )  n (t  nTd )(t  nTd )  x(t )  (t ) ,(2.59)– периодическая последовательность-функций.

Считая (нестрого!) -функцию «коротким импульсом», можно назвать сигнал v(t ) идеализированным сигналом самплитудно-импульсной модуляцией (иАИМ-сигналом). Поскольку иАИМ-сигнал равен произведению (2.59), его спектральнаяплотность равна свертке спектральных плотностей сигналов x (t ) и (t ) .

Найдем спектральную плотность последовательности  (t ) .Для этого вначале запишем Td -периодическую последовательность в виде ряда Фурье (t )   S enn j2ntTd,892.11. Дискретизация сигналов. Теорема отсчетовкоэффициенты которого, определяемые согласно (2.41), равны:1Sn TdTd / 2(t )ej2ntTddt Td / 21.TdПоэтому, учитывая выражение (2.52), запишем спектральнуюплотность последовательности  (t ) в виде(f )  1   f  n  .Td n Td Теперь найдем спектральную плотность иАИМ-сигнала каксвертку:1  nV ( f )   X ( )  ( f  )d   X ( ) f  Td n Td1  n  X( )  f  Td n Td1 nd Xf Td n Tdd  1  X ( f  nFd ) .Td nТаким образом, спектральная плотность иАИМ-сигнала представляет собой с учетом масштабного коэффициента 1 Td сумму(суперпозицию) бесконечного множества копий спектральнойплотности аналогового сигнала x (t ) , отличающихся друг от другасдвигами по оси частот, кратными частоте дискретизации(рис.

2.30).TdV ( f ), H ( f )f2 FdFdFвFвFd2 FdРис. 2.30. Спектральная трактовка восстановления сигнала902. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВСледовательно, восстановление аналогового сигнала интерполирующей цепью равносильно подавлению в спектре сигнала v(t )всех спектральных составляющих, не принадлежащих интервалу Fв , Fв  , поэтому интерполирующий фильтр должен иметьП-образную (прямоугольную) комплексную частотную характеристику (на рис.

2.29 показана штриховой линией):T ,K( f )   d0 Fв  f  Fв ,в противном случае.(2.60)Легко убедиться, что идеальная интерполирующая цепь должнав таком случае иметь импульсную характеристику h(t )   sin  t   t  , совпадающую с базисной функцией 0 (t ) . Td   Td Таким образом, спектральный подход к восстановлению аналогового сигнала по его отсчетам приводит к тому же выводу, что ивременной.Идеальная интерполирующая цепь, строго говоря, нереализуема, так как еѐ импульсная характеристика имеет бесконечно большую протяженность в области отрицательных времен.

Однако впринципе можно построить цепь, сколь угодно точно еѐ аппроксимирующую, правда, при этом восстановленный сигнал будет получаться с задержкой (тем бóльшей, чем выше требуемая точностьаппроксимации)43. В самом деле, физическая реализуемость предполагает каузальность импульсной характеристики, т.е. выполнение условия (2.34).

Характеристики

Список файлов книги