В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Равенство возможно только в том случае, если сам сигналпринадлежит подпространству LK .С увеличением размерности подпространства LK , т.е. с увеличением числа слагаемых, входящих в конечную сумму обобщенного ряда Фурье, норма ошибки стремится к нулю (в этом и состоитпрактический смысл требования полноты базиса).

Таким образом,располагая полным ортонормальным базисом, можно обеспечитьсколь угодно точную аппроксимацию сигнала суммой конечногочисла наперед заданных функций с соответствующими весовымикоэффициентами; при этом гарантируется, что при заданном числеслагаемых ошибка аппроксимации будет минимальной.Пример 2.10. Прямоугольный импульс длительности и и амплитуды A , изображенный на рис. 2.10, на интервале (T / 2, T / 2) ,452.5. Гильбертово пространствоu(t)A2AиТ– и/2и/2tk0Рис.

2.10. Прямоугольный видеоимпульсРис. 2.11. Спектральная диаграмма прямоугольного импульса, заданного на конечномвременнóм интервалеT  и , можно представить рядом (2.9) с коэффициентами, найденными согласно выражениюk1Tи /2Aej2ktT dt2A и /2иTsin kkии/T /T.Диаграмма, отображающая спектр прямоугольного импульсаотносительно ортонормального базиса Фурье, приведена нарис. 2.11.

Аппроксимации прямоугольного импульса, полученные2K1 j T ktкак конечные суммы x(t )   kпри K  5 , K  10 иeTk  KK  20, показаны различными линиями на рис. 2.12. ◄ut()tРис. 2.12. Аппроксимации прямоугольногоимпульса конечными суммами ряда ФурьеПример 2.11. Базис, составленный из функций Уолша, являетсяортонормальным полным базисом для L2 (1/ 2,1/ 2) . Графики четырѐх первых функций Уолша относительно нормированного времени  t / T показаны на рис. 2.13. Функции Уолша привлекли462.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВвнимание благодаря простоте их генерирования при помощи переключательных схем.Функции Уолша определяются с помощью рекуррентного соотношенияwal 2n  p,(1)n / 2 p wal  n, 2n  0,1, 2, ... ,p  0,1;11    (1) n p wal  n, 2    ,22  1 1  ,  ,1, 2 2wal 0,   0 в противном случае.Здесь  n / 2 обозначает целую часть числа n / 2 .Иногда используют систему функций Уолша, заданную на интервале нормированного времени (0;1) . Эта система составляетполный ортонормальный базис для пространства L2 (0,1) ; такиефункции Уолша определяются рекуррентными соотношениямиwal 2n  p,1wal(0, )–1/21 wal(1, )–1/2 wal n, 20wal 0,1/211wal(2, )–1/2–1/401/41/201/41/211wal(3, )–1/2–1/41Рис.

2.13. Функции Уолша 1 ,n  0,1, 2, ... , p  0,1;1/20  (1)n p wal n, 20,1 ,0 в противном случае.1,Известны также способы определения функций Уолша через матрицы Адамара; при этом получаемыесистемы функций отличаются нумерацией (способом упорядочения);подробнее см., например, [23]. ◄Разложение сигналов в различных ортонормальных или ортогональных базисах применяется напрактике в тех случаях, когда оперировать спектром сигнала удобнее,чем его временнóй функцией. Устройство, вычисляющее спектральныекоэффициенты сигнала, называетсяанализатором спектра (рис.

2.14).472.5. Гильбертово пространствоЗная спектральные коэффициенты и базисные функции, можновосстановить сигнал, т.е. выполнить его синтез согласно рис. 2.15.Разложение сигналов относительно неортогонального базиса такжевозможно, но оно сложнее и его результаты труднее интерпретировать.11u1 (t )u*1x (t )x(t)22u 2 (t )u*2KKu K (t )u*KРис. 2.14. Структура анализатораспектраРис. 2.15. Синтез сигналапо его спектруСуществует алгоритм, называемый процедурой Грама –Шмидта22, позволяющий по имеющемуся набору линейно независимых функций (векторов) построить ортонормальный базис.Пусть vk , k  1,  – совокупность линейно независимых век-торов, на основе которой требуется построить ортонормальныйбазис.

Введем обозначение wk , k  1,  для вспомогательной со-вокупности векторов, а также обозначение uk , k  1,  для ортонормального базиса, который получается в результате выполненияследующих шагов:1) первый вспомогательный вектор приравнивается первомувектору исходного линейно независимого базиса w1  v1 ; первый22Йорген Грам (1850 – 1916) – датский математик, известен исследованиями вобласти математической статистики, теории чисел, теории приближения функций рядами; Эрхард Шмидт (1876 – 1959) – немецкий математик, известен результатами исследований в области интегральных уравнений и функционального анализа.482.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВвектор результирующего ортонормального базиса получается нормировкой1u1 w1 ;w1 22) второй вспомогательный вектор w2 получается вычитаниемиз второго вектора v2 исходной совокупности его проекции на ужепостроенный вектор u1 ортонормального базиса, после чего производится его нормировка и получается второй вектор ортонормального базиса1w2 ;w2  v2  (v2 , u1 )u1 , u2 w2 23) третий вспомогательный вектор w3 формируется путем вычитания из очередного вектора v3 исходной совокупности его проекций на уже построенные векторы u1 и u2 ортонормального базиса, после чего этот вектор нормируется1w3 и т.д.w3  v3  (v3 , u1)u1  (v3 , u2 )u2 , u3 w3 2Продолжая процедуру Грама – Шмидта, можно построить ортонормальный базис любой размерности.Пример 2.12.

Множество S4 {v0 (t )1, v1 (t )t , v2 (t )t 2 , v3 (t )t 3},где t  1,1 , линейно независимо (см. пример 2.1). В результате2u2–11–0,5u1u001 t0,5–1u3–2Рис. 2.16. Базис, полученный применением процедуры Грама–Шмидтак совокупности степенных функций, показанной на рис. 2.72.6. Непрерывные представления сигналов49применения процедуры Грама – Шмидта получается ортонормальный базис, состоящий из четырех функций, показанных нарис. 2.16. Это известные полиномы Лежандра, нормированные кединице по норме пространства L2 (1,1) .

◄Очевидно, в пространствах аналоговых и дискретных сигналовможно построить бесконечно много ортонормальных базисов. Выбор наиболее подходящего базиса определяется конкретной решаемой задачей.2.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯСИГНАЛОВОбобщенный ряд Фурье представляет сигнал в виде взвешенной суммы счетного23 множества базисных функций.

Иногда счетный базис неудобен или не годится для описания сигнала. Например, счетный базис Фурье, полный в L2 (T ) , не полон в L2 (, )и поэтому непригоден для представления сигналов бесконечнойдлительности. С другой стороны, известные полные в L2 (, )счетные базисы не обладают теми привлекательными свойствами,которые обусловили широкое применение базиса Фурье в теории ипрактике и о которых далее будет сказано подробно (см. разд.

2.9).Гармонические функции, аналогичные функциям базиса Фурье,могут применяться для представления сигналов из L2 (, ) , нодля этого мощность их множества должна быть больше мощностисчетного множества (иначе говоря, множество должно быть непрерывным).Таким образом, понятие обобщенного ряда Фурье подвергаетсядальнейшему обобщению. Суть этого обобщения заключается взамене суммы бесконечного счетного множества базисных функций, умноженных на спектральные коэффициенты, интегралом отфункции двух переменных (которая представляет собой «несчетное множество» базисных функций), умноженной на функцию одной переменной, называемой спектральной плотностью.Ниже приведены попарно термины и формулы, соответствующие дискретному и непрерывному (интегральному) представлениям аналоговых сигналов.23Элементы счетного множества могут быть пронумерованы, т.е.

поставлены всоответствие элементам множества целых неотрицательных чисел.502. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВДискретное представлениеИнтегральное представлениеv(s,t ) – базисное ядро интеграль– базис (необяvk (t ), k,ного представлениязательно ортогональный)– спектр сигнала ( s ) – спектральная плотность сиг,k, kнала относительно выбранного ядраотносительно выбранного базисаx(t )kk vk (t )– дискретное x(t )представление сигналаkx, wkx(t ) wk* (t )dt –( s)v( s, t )ds – интеграль-ное представление сигнала( s)x(t )w* (s, t )dt –(2.16)формула нахождения спектрально- формула нахождения спектральнойго коэффициента с использованием плотности с использованием сопрясопряженного (взаимного) базиса женного ядра w( s, t )wk (t ), k,vk , wmkm – условие взаимноv(s, t )w* ( , t )dt( s ) – (2.17)сти(сопряженности)базисовvk (t ), k,условиесопряженностиядерv(s, t ) и w( s, t )и wk (t ), k,uk , umkm – условие ортонормальности(самосопряженности)базиса uk (t ), k,u(s, t )u* ( , t )dt(s) иu(s, t )u* (s, )ds(t) – усло-вия самосопряженности базисногоядра u( s, t )x(t )kk uk (t )– обобщенный x(t )(s)u (s, t )ds – интеграль-ряд Фурье (представление сигна- ное представление сигнала относила в ортонормальном базисе тельно самосопряженного базисного ядра u( s, t ){uk (t ), k, })kx, ukx(t )uk* (t )dt –( s)x(t )u* ( s, t )dt– формулаформула нахождения спектрально- нахождения спектральной плотного коэффициента относительно сти относительно самосопряженноортонормального базисаго ядра u( s, t )512.6.

Характеристики

Список файлов книги