В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ввести скалярное произведение можно,определив для произвольной пары векторов данного линейногопространства число (скаляр) из соответствующего поля  . Такимобразом, скалярное произведение представляет собой функционал.Скалярное произведение векторов x и y , обозначаемое ( x, y) ,должно удовлетворять следующим условиям (аксиомам) [2]:а) ( x, y)  ( y, x)* ;б) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) ;в) ( x, x)  0 и ( x, x)  0  x  0 .Знак * в условии а) обозначает комплексное сопряжение величин. Условие б) означает линейность скалярного произведения относительно одного из операндов. Из условия в) следует, что черезскалярное произведение можно задать норму, определяемую выражениемx  ( x, x) .Таким образом, скалярное произведение порождает норму, ачерез неѐ – метрику. Если пространство со скалярным произведением и порожденными им нормой и метрикой полно (т.е.

вместе с любой сходящейся последовательностью векторов содержит и пределэтой последовательности [2]), то оно называется гильбертовым пространством19. Наиболее часто в теории сигналов используются19Названо в честь Д. Гильберта (1862 – 1943) – выдающегося немецкого математика.382. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВименно гильбертовы пространства. Отметим, что в конечномерномслучае гильбертово пространство является евклидовым.Пример 2.5. Множество аналоговых сигналов ограниченнойэнергии, заданных на конечном интервале [0, T ] , становится гильбертовым пространством, если определить скалярное произведениевыражениемT( x, y )   x(t ) y* (t )dt ,0а норму и метрику соответственно выражениямиxT2  | x(t ) |2 dt0Tи d ( x, y )   | x(t )  y (t ) |2 dt .0Это пространство принято обозначать L2 (T ) . Если носитель сигнала – вся вещественная (временная) ось, то пространство сигналовограниченной энергии обозначается L2 (,  ) или просто L2 .

◄Пример 2.6. Множество дискретных сигналов (последовательностей) бесконечной протяженности становится гильбертовым пространством, если определить скалярное произведение выражением( x, y )   x[n] y*[n]n и ввести норму и метрику выражениямиx2 | x[n] |2 и d ( x, y ) n  | x[n]  y[n] |2 .n Пространство, содержащее все последовательности конечнойнормы x 2 , обозначается l2 и называется пространством квадратично суммируемых последовательностей. ◄Пример 2.7.

Важную роль в теории сигналов и цепей играютнормированные пространства L1(T ) и l1 аналоговых и дискретныхсигналов с нормами, определяемыми соответственно выражениямиTx 1   | x(t ) |dt и0x 1   | x[n] | .n Эти пространства не являются гильбертовыми. ◄2.5. Гильбертово пространство392.5.

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВОВажная роль гильбертовых пространств, как моделей дляпространств сигналов, связана со скалярным произведением и темипреимуществами, которые дает введение этой операции на множестве сигналов.Скалярное произведение позволяет сравнивать сигналы болееполно, чем это возможно в метрическом или нормированном пространстве. Из определения скалярного произведения следует неравенство Шварца | ( x, y) |2  ( x, x)( y, y) , которое можно переписать в ви| ( x, y) |де 1 . Смысл неравенства Шварца в том, что вx2 y2гильбертовом пространстве, как и в евклидовом, скалярное произведение двух сигналов не может превзойти по модулю произведения ихнорм, поэтому для пары вещественных20 сигналов можно определить( x, y)угол между ними выражением cos .x2 y2Рассмотрим два частных случая.

В первом случае ( x, y)  x 2 y 2 ; это означает, что сигналы x и y имеют одинаковуюформу и отличаются только нормой. Большой практический интерес представляет второй случай, когда для ненулевых сигналов x иy скалярное произведение ( x, y)  0 , тогда сигналы называютсяортогональными. Можно сказать, что первый случай соответствует максимальному сходству сигналов, тогда ортогональность означает их максимальное несходство.Пример 2.8. Приѐмное устройство системы связи с ортогональными сигналами, структура которого иллюстрируется рис. 2.8,содержит m каналов, каждый из которых «настроен» на прием одного сигнала, причем все m сигналов взаимно ортогональны.В приемном устройстве формируются (генерируются) m опорныхколебаний, каждое из которых совпадает с одним из ожидаемыхсигналов. В каждом канале вычисляется скалярное произведениепринимаемого колебания s(t ) и одного из опорных колебаний20Для комплексных пространств угол определяется в общем случае неоднозначно [2].402.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВuk (t ), k  1, m . Предположим, чтопринимаемоеколебание совпада0етпоформесодним из опорныхu1(t)сигналов, но может отличаться поТнорме (например, вследствие заs(t)0тухания в канале связи). Пусть,u2(t)например, принимаемое колебание совпадает по форме с опорным сигналом un (t ) , тогда наТвсех выходах схемы, кроме n -го,0по окончании интервала наблюu m(t)дения будет нулевое значение, аРис. 2.8. Структура приѐмника на n -м выходе – произведениесистемы связи с ортогональ- норм принимаемого и опорногоными сигналамиколебаний, заметно отличное отнуля.

Таким образом, измеряянапряжения на выходах схемы, можно определить, какой из m ортогональных сигналов присутствует на входе. Реальное входноеколебание всегда содержит смесь сигнала с шумом и/или помехой,поэтому скалярные произведения на выходах каналов отличаютсяот указанных точных значений; в этом случае ортогональностьсигналов гарантирует высокую помехоустойчивость системы(подробнее см. разд. 9). ◄Второе преимущество пространств со скалярным произведением связано с представлением векторов относительно заданного базиса. Скалярное произведение позволяет находить коэффициентыразложения произвольного вектора в данном базисе.

Пустьk , k  1, N – базис пространства, в котором определено скалярТное произведение. Можно построить другой базисk , k  1, N ,называемый сопряженным, или взаимным, такой, что при любых k1, k  mи m справедливо выражение  k , m   km , где km  –0, k  mсимвол Кронекера. Это означает, что каждый вектор сопряженногобазиса ортогонален всем векторам первого базиса, кроме одного, скоторым он имеет скалярное произведение, равное 1. Сопряженный базис является вспомогательным средством для разложениявекторов в основном базисе.412.5.

Гильбертово пространствоПусть вектор x представляется в виде линейной комбинацииNбазисных векторов x  k 1. Тогда коэффициентk kmнаходитсякак скалярное произведение заданного вектора x и векторасопряженного базиса: x,N k 1m   k Nm   k 1k,k(k,Nm)  k 1k kmmmиз.Особенно просто находятся коэффициенты разложения, еслибазис состоит из взаимно ортогональных векторов, нормы которыхравны 1. Такой базис называется ортонормированным или ортонормальным. Нетрудно убедиться, что ортонормальный базисuk , k  1, N является самосопряженным, так как для него выпол-няется условие uk , um   km , поэтому коэффициенты разложениядля произвольного вектора находятся его скалярным умножениемна базисные векторы k   x, uk  , k  1, N .Пример 2.9.

В пространстве комплексных сигналов конечнойдлительности T , заданных на интервале  T / 2, T / 2 , базисk (t )(n, ejkt, k  ,  , где 2 /T , является ортогональным.В самом деле, для двух произвольно выбранных функций из этогобазиса скалярное произведение равноT /2m)  T / 2n (t )*m (t ) dtT /2  ej( n  m )tdt  T T / 2m,n 0, n  m.T , n  mНормируя базисные функции путем умножения на 1/ T , мож1 j ktно получить ортонормальный базис  k (t ) e, k  ,  ,Tдля которого справедливо равенство ( n , m )  m,n .

Коэффициенты разложения сигнала в данном базисе находятся как скалярныепроизведенияk ( x,k)1T /2TT / 2 x(t )ej2ktT dt k  ,  ,(2.8)422. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВтак что любой сигнал на интервале  T / 2, T / 2 можно представить рядом Фурье212x(t )  k k1 jTeTkt.(2.9)Часто используется и представление в ортогональном базисеx(t )   Ck ej2ktTk ,(2.10) k  ,  ,(2.11)где2 j kt1 T /2Ck x(t )e T dtT T T / 2kтакже называемое рядом Фурье.Базисы, упомянутые в данном примере, полны в пространствеL2 (T / 2, T / 2). Следует, однако, отметить, что, например, вL2 (,  ) они не полны [3]. ◄Представление сигнала (вектора) относительно произвольногополного ортонормального базиса uk , k  ,  , (uk , um )  m,k ,называется обобщенным рядом Фурье:x k Наборk,kk uk.(2.12) ,  коэффициентов разложения (2.12) назы-вается спектром сигнала x относительно базиса uk , k  ,  .Аналогично совокупность всех коэффициентов (2.11) называетсяспектром сигнала относительно комплексного ряда Фурье (2.10).Ортонормальные базисы обладают и другим замечательнымсвойством: зная коэффициенты разложения относительно такогобазиса, легко найти нормы и скалярные произведения векторов.21Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – выдающийся французский математик,один из основоположников математической физики.432.5.

Гильбертово пространствоДействительно, пусть вектор x представлен рядом (2.12). Егонормаx2 x, x    k k uk ,m  kk  m *m km m um  k  m kmm 2*muk , um  .(2.13)Таким образом, доказано равенство Парсеваля. В пространствах L2 и l2 равенство Парсеваля для сигналов, заданных спектрамиm, m   m , m  ,  относительно полных орто-,  инормальных базисов, принимает соответственно вид2 | x(t ) | dt  mm 22 x[n]  иn m m2.Пусть два вектора представлены в некотором полном ортонормальном базисе выражениями x  k их скалярное произведение ( x, y )    k  k  m k ukk uk ,*k m kmи y k k uk.

Тогдаm um m m *m m.(2.14)Это выражение носит название обобщенной формулы Рэлея. Значение этих равенств состоит в возможности оперировать вместосигналов коэффициентами их представления в полных ортонормальных базисах (спектрами), даже не интересуясь конкретнымвидом базиса.Обобщенный ряд Фурье (ОРФ), представляющий сигнал избесконечномерного пространства L , содержит в общем случаебесконечно много слагаемых. Часто на практике приходится рассматривать усеченный ряд, сумма x которого аппроксимируетданный сигнал x : Kxx k 1k uk.442. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВУсеченный ОРФ представляет сигнал в виде линейной комбинации Kxбазисных векторов, поэтому x принадлежит K -мерному подпространствуLKLK пространства L .

Поскольку все базисные векторы взаимно ортогональны,xошибка аппроксимации  x  x ортогональна по отношению к LK и принадлежитортогональному дополнениюРис. 2.9. Конечномерная,такому,что L  LK  L (рис. 2.9).Lаппроксимация сигналаСимвол  обозначает прямую суммупространств (например, трехмерное евклидово пространство можно представить прямой суммой плоскости и прямой, ортогональной этой плоскости). Очевидно,22 xx22K22 x  k 12k uk22K x 2  |k 1k|2  0 ,откуда следует неравенство БесселяK|k 1k2|2  x 2 ,(2.15)которое означает, что при аппроксимации сигнала конечной суммой обобщенного ряда Фурье энергия аппроксимирующего сигнала не может превзойти энергию аппроксимируемого сигнала.

Характеристики

Список файлов книги