В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Кроме полей вещественных икомплексных чисел в теории связи используются конечные поля Галуа (см.разд. 8).322. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВсигналы комплексные; вещественные сигналы можно рассматривать как комплексные с нулевой мнимой частью. Таким образом,далее сигналы считаются элементами комплексного пространства(компоненты векторов являются комплексными числами и складываются при сложении векторов, а также умножаются на скаляры поправилам комплексной арифметики).Очевидно, множество всех аналоговых сигналов, заданных набесконечной временной оси, можно рассматривать как линейное(векторное) пространство (обозначим его L ). Большой практический интерес представляет его подмножество – пространство сигналов ограниченной энергии, заданных на бесконечной временнойоси, которое принято обозначать L2 (, ) или просто L2 .

В частных случаях пространство сигналов сужают, например, до подпространства L2 (T ) сигналов ограниченной энергии, определенных на данном конечном временнóм интервале (сигналов конечнойдлительности T , тождественно равных нулю вне интервала [0, T ] ),или подпространства L2 ( F ) сигналов с ограниченной полосой частот F .

Линейным пространством является и множество l2 всехдискретных сигналов ограниченной энергии, заданных на всейдискретной временной оси n  ,  . Между двумя последнимипространствами, как будет показано ниже, можно установить взаимно однозначное соответствие, что делает возможной цифровуюобработку сигналов, изначально аналоговых, с последующим преобразованием результата снова в форму аналогового колебания(см.

разд. 12).Поскольку определено сложение векторов и умножение вектора на скаляр, определена и линейная комбинация конечной совокупности произвольных векторов xk , k  1, N :Ny k 1гдеk,kk xk,(2.7) 1, N – произвольный набор скаляров.Совокупность векторов k , k  1, N линейно независима, еслиNравенство  k k  0 возможно лишь при условииk 0k 1k  1, N . Другими словами, линейная независимость означает, что332.3. Линейное пространствоникакой вектор из данной совокупности нельзя представить линейной комбинацией остальных. Множество всех линейных комбинаций данной совокупности векторов при всевозможных наборах весовых коэффициентов  k  образует еѐ линейную оболочку.Линейная оболочка совокупности линейно независимых векторовпредставляет собой линейное пространство; числоk , k  1, NN называется размерностью этого пространства.

Набор векторовk , k  1, N в этом случае является базисом данного пространства. Для любого пространства существует множество различныхбазисов, и в каждой задаче можно выбрать наиболее удобный.Пример 2.1. Множество S4 1{x1 (t )1, x2 (t ) t , x3 (t ) t 2 , x4 (t ) t 3},x3(t)x2(t)где t  1,1 , линейно независимоx4(t)(рис. 2.7). Следовательно, оно можетt служить базисом четырехмерного1пространства – пространства всехфункций вида 1  2t  3t 2  4t 3при t  1,1 , где коэффициенты–11, 2 , 3 , 4 принимают всевозРис.

2.7. Линейно независимая можные комплексные значения. ◄совокупность функций(Символ ◄ здесь и далее отмечаетокончание примера.)2Пример 2.2. Множество Q8   xk [n]  cos  kn  , k  0, 7 8 функций целой переменной, определенных на участке дискретнойвременнóй оси n  0,7 , линейно независимо. Поэтому оно можетслужить базисом восьмимерного пространства, например, про72странства всех дискретных сигналов вида  k cos  kn  ,8k 0x1(t)n  0,7 , гдеk , k  0,7 – произвольные наборы вещественныхчисел. ◄Пространство всех аналоговых сигналов бесконечномерно, поэтому никакая конечная совокупность сигналов (функций) не может служить его базисом.

Бесконечная совокупность функций342. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВxk (t ), k  1,  может быть базисом бесконечномерного простран-стваk 1L , если множество всех линейных комбинаций видаk xk (t )при всевозможных наборах весовых коэффициентов k  совпадает с пространствомL . Тогда произвольный сигнал изL можно однозначно задать бесконечным набором коэффициентов разложения относительно данного базиса, называемого в таком случае полным (разумеется, для конкретного сигнала можетоказаться, что лишь конечное множество коэффициентов отличноот нуля).

Вопрос о полноте базиса бесконечномерного пространства решается в общем случае не просто, однако для базисов, обычноприменяемых на практике, полнота доказана [3].Пространство всех дискретных сигналов, заданных приn  ,  , также бесконечномерно. Один из полных базисов этогопространства определяется выражением (2.6)k k x[n]   x[k ] [n  k ]  и представляет собой бесконечный наборпри всевозможных целочисленных сдвигахk[n  k ]-последовательностей n  k , k  ,  .Пример 2.3.

Множество всех двоичных векторовB8  bk , k  1, 8 при bk 0;1 содержит лишь конечное множествоэлементов (а именно 256). Тем не менее оно может рассматриваться как линейное пространство, если сложение векторов определитьчерез сложение их компонент по модулю 2, а за поле скаляровпринять так называемое поле Галуа GF 2  0;1 , содержащее всегодва числа – 0 и 1.

Такие пространства играют очень важную роль,например, в теории кодирования, которая составляет важнейшуючасть теории связи. За базис данного пространства можно принятьлюбые 8 линейно независимых ненулевых векторов. ◄Пример 2.4. В состав декодирующего устройства мобильноготелефона стандарта D-AMPS входит устройство памяти, хранящеедве «кодовые книги» [4]. Каждая из них содержит по 128 кодовыхслов (двоичных векторов), состоящих из 40 компонент и, следовательно, принадлежащих 40-мерному пространству. Однако фактически они принадлежат 7-мерному подпространству, натянутому2.4.

Метрика, норма и скалярное произведение35на 7 базисных векторов, поэтому для задания кодового слова достаточно указать набор его координат в этом базисе, состоящий из7 двоичных символов. ◄2.4. МЕТРИКА, НОРМА И СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕНаличие в пространстве полного базиса позволяет описатьлюбой вектор (сигнал) из этого пространства путем задания наборакоэффициентов. Во многих случаях нужно не только знать индивидуальное описание сигналов, но и иметь возможность определить количественно отличие сигналов друг от друга. Для этоговводят скалярный функционал18 d ( x, y) , определенный для всехпар элементов пространства x и y , называемый расстоянием(метрикой), а пространство в таком случае называют метрическим.Метрика должна удовлетворять аксиомам (знак  читается«только если»):а) d ( x, y )  0 и d ( x, y )  0  x  y ;б) d ( x, y )  d ( y, x) ;в) d ( x, z )  d ( x, y)  d ( y, z ) (неравенство треугольника).Отметим, что различные метрики, введенные на одном и томже множестве сигналов, дают различные метрические пространства.

Например, на множестве L(T ) всех аналоговых сигналов, заданных на интервале [0, T ] , можно определить следующие метрики [2]:T1) d1 ( x, y )   | x(t )  y (t ) | dt ;01/ 2T2) d 2 ( x, y )    | x(t )  y (t ) |2 dt 0;3) d3 ( x, y)  max | x(t )  y(t ) | и т.п.t [0, T ]18Функционалом называется отображение, ставящее функции (или совокупностифункций) в соответствие число.362. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВНа множестве l всех дискретных сигналов, заданных приn  ,  , можно ввести метрики:4) d 4 ( x, y )   | x[n]  y[n] | ;n 1/ 2 5) d5 ( x, y )    | x[n]  y[n] |2  n ;6) d6 ( x, y)  max | x[n]  y[n] | и т.д.n ,Иногда при сравнении сигналов нет необходимости знать точный вид сигнала и можно ограничиться лишь его числовой характеристикой (энергией, максимальным значением и т.п.).

Обобщением для таких характеристик служит понятие нормы вектора.Функционал, исполняющий роль нормы вектора x и обозначаемыйx , должен удовлетворять следующим условиям:а) x  0 и x  0  x  0 ;б) x  y  x  y ;в) x | | x .Норму, как и метрику, можно ввести различными способами.Для аналоговых сигналов чаще всего применяется нормаxT2  | x(t ) |2 dt  E x ,0имеющая смысл квадратного корня из энергии Ex сигнала. НахоTдят также применение нормы x 1   | x(t ) |dt и x0ppTp | x(t ) | dt .0Аналогично вводится норма для дискретных сигналов.

Наиболеечасто используются нормы x2n n  | x[n] |2 и x 1   | x[n] | .Пространство с нормой называется нормированным. Следует отметить, что, как и в случае метрики, способ задания нормы влияет насвойства пространства.Ввиду очевидного сходства аксиом нормы и метрики часто (ноне всегда!) метрику определяют как норму разности векторов:d ( x, y )  x  y .2.4.

Метрика, норма и скалярное произведение37Например, в пространстве дискретных сигналов норме x 2можно поставить в соответствие упомянутую выше метрику1/ 2 d5 ( x, y )    | x[n] y[n] |2  , которая обобщает на бесконечно n мерный случай евклидову метрику (расстояние находится «по тео1/ 2Tреме Пифагора»). Очевидно, метрика d 2 ( x, y )    | x(t )  y (t ) |2 dt 0является обобщением евклидовой метрики на пространство континуальных сигналов.В большинстве практических задач, связанных с анализом иобработкой сигналов, важную роль играет операция, называемаяскалярным произведением.

Характеристики

Список файлов книги