В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В пределе при неограниченномросте K неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля.62Рис. 2.9. К понятию конечномерной аппроксимации сигнала ( x и  принадлежатпространству L )Рис. 2.10. Прямоугольный видеоимпульсПример 2.10. Прямоугольный видеоимпульс длительности  и и ампли-туды A , изображенный на рис.

2.10, на интервале (T / 2, T / 2) при T   иможно представить рядом (2.10) с коэффициентами, найденными согласно /2j1 иAek T  / 2и2ktT dt2 A и sin  k и / T .k и / TTДиаграмма, отображающая спектр прямоугольного импульса относительно ортонормального базиса Фурье, приведена на рис. 2.11 (каждый коэффициент показан вертикальным отрезком соответствующей длины).

Аппроксимации прямоугольного импульса, полученные как конечные суммыx(t ) Nk  Nk1 jeT2ktTпри N  5 , N  10 , и N  20 показаны различнымилиниями на рис. 2.12. ◄Пример 2.11. Базис, составленный из функций Уолша, является орто-нормальным полным базисом для L2 (1/ 2,1/ 2) . При практическом применении функций Уолша42 интервал задания сигнала может иметь произвольнуюдлину T , поэтому время в описании функций Уолша принято рассматриватькак нормированное   t / T . Графики четырёх первых функций Уолша показаны на рис. 2.13. Функции Уолша привлекли внимание благодаря простотеих генерирования при помощи переключательных схем.Функции Уолша определяются с помощью рекуррентного соотношения,в котором  n / 2 обозначает целую часть числа n / 2 :wal  2n  p,   (1)42n / 2  pwal  n, 2  1 2   (1)n p wal  n,2  1 2  ,Функции Уолша применяются, в частности, в системах сотовой связи (технология CDMA)63 1,     1 2 , 1 2  ,n  0,1,2,...

., p  0,1; wal  0,   0 в противном случае.Рис.2.11. Спектральная диаграммапрямоугольного импульса, заданногона конечном временнóм интервалеРис. 2.12. Аппроксимациипрямоугольного импульсаконечными суммами ряда ФурьеИногда рассматривают систему функций Уолша, заданную на интервале(0,1) нормированного времени   t / T . Эта система составляет полный ортонормальный базис пространства L2 (0,1) ; при этом функции Уолша определяются рекуррентными соотношениямиWal  2n  p,   Wal  n,2   (1) n  p Wal  n, 2  1   0,1 ,1,n  0,1,2,... ., p  0,1; Wal  0,   0 в противном случае.Известны также способы определения функций Уолша через матрицыАдамара; при этом получаемые системы функций отличаются нумерацией(способом упорядочения); подробнее см., напр., [8].Для практического применения функций Уолша с целью представлениясигналов, заданных на интервале длительности T реальной временной оси,необходимо выполнить подстановку   t / T .

При этом получаются взаимноортогональные функции времени t , однако их нормы изменяются, т.е. полу-64чаемый базис ортогонален, но не ортонормален. Необходимо выяснить, какследует определять коэффициенты относительно этого базиса.Рассмотрим базис Уолша пространства L2 (0,1) (для базиса Уолша пространства L2 (1/ 2,1/ 2) все рассуждения также справделивы). Поскольку базис Уолша ортонормирован, то1 Wal  k , 2d  1 .0После подстановки  t /TTимеем tWal   k , T02td 1 , откуда T2T t  Wal  k , T  dt  T .

Следовательно, нормы функций Уолша после растяже0ния в Tраз по временной оси увеличиваются в 1 tWal  k , T TTраз. Базис , k  0,   , очевидно, ортонормален, и для сигнала x(t ) , заданного на интервале (0, 1) справедливо представление обобщенным рядомФурьеx(t )  kk 01Wal  k , t / T Tс коэффициентамиT k   x(t )01 tWal  k ,T T dt .Введя обозначениеCk   k1Tполучим представление сигнала относительно ненормированного базиса65x(t )  CkWal  k , t / T k 0с коэффициентамиT1 tCk   x(t )Wal  k ,T T0 dt .

◄Разложение сигналов в различныхортонормальных или ортогональных базисах применяется на практике в тех случаях, когда оперировать спектром сигнала удобнее, чем его временнóй функцией.Наиболее ярким примером служит спектральный метод анализа линейных стационарных цепей (см. п. 2.10). Устройство, вычисляющее спектральные коэффициенты сигнала, называется анализатором спектра, рис. 2.14. Зная спектральные коэффициенты и базисные функции,можно восстановить сигнал, то есть выполнить его синтез согласно рис.

2.15.Рис. 2.13. Функции УолшаРазложение сигналов относительно неортогонального базиса также возможно, но оно сложнее и его результаты труднее интерпретировать.После знакомства с преимуществами ортогональных и особенно ортонормальных базисов может (и должен) возникнуть вопрос о том, как найти(построить) такой базис в интересующем пространстве сигналов.66Существует алгоритм, называемый процедурой Грама – Шмидта43, позволяющий по имеющемуся набору линейно независимых функций (векторов) построить ортонормальный базис.Пусть vk , k  1,  – совокупность линейно независимых векторов, наоснове которой требуется построить ортонормальный базис.

Введем обозна-чение uk , k  1,  для будущего ортонормального базиса. Базис строится последовательно, шаг за шагом, при этом на каждом шаге нам потребуетсявспомогательный вектор. Совокупность вспомогательных векторов обозна-чим wk , k  1,  . Процедура Грама–Шмидта представляет собой последовательность шагов:1) первый вспомогательный вектор w1 приравнивается первому векторуv1 исходного линейно независимого базиса w1  v1 ; первый вектор результирующего ортонормального базиса получается нормировкойu1 1w1 w1 ;22) второй вспомогательный вектор w2 получается вычитанием из второго вектора исходной совокупности v2 его проекции на уже построенный вектор u1 ортонормального базиса, после чего производится егонормировка и получается второй вектор ортонормального базисаw2  v2  (v2 , u1)u1 ,u2 1w2 w2 ;23) третий вспомогательный вектор w3 формируется путем вычитания изочередного вектора исходной совокупности v3 его проекций на уже43Йорген Грам (1850 – 1916) – датский математик, известен исследованиями в области математической статистики, теории чисел, теории приближения функций рядами; Эрхард Шмидт (1876 – 1959) – немецкий математик, известен результатами исследований в области интегральных уравнений и функционального анализа67построенные векторы u1 и u2 ортонормального базиса, после чегоэтот вектор нормируетсяw3  v3  (v3 , u1)u1  (v3 , u2 )u2 ,Рис.

2.14. Структура анализатора спектраu3 1w3 w3 и т.д.2Рис. 2.15. Синтез сигнала по его спектруПродолжая процедуру Грама – Шмидта, можно построить ортонормальный базис любой размерности (конечно, не выше размерности пространства,которому принадлежат векторы).Требование линейной независимости исходной совокупности векторовvk , k  1, при практической реализации процедуры Грамма–Шмидта неявляется обязательным.

Если в процессе построения базиса очередной векторvm окажется линейно зависимым по отношению к уже использованным векторам v1,..., vm 1 , то вектор wm окажется нулевым, тогда вектор vm следуетотбросить и использовать следующий вектор исходной совокупности.Пример 2.12. Множество S4  v0 (t )  1, v1(t )  t , v2 (t )  t 2 , v3 (t )  t 3 , гдеt   1,1 , линейно независимо (см. пример 2.1).

В результате примененияпроцедуры Грама–Шмидта получается ортонормальный базис, состоящий из68четырех функций, показанных на рис. 2.16. Это известные полиномы Лежандра, нормированные к единице по норме пространства L2 (1,1) . ◄Очевидно, в пространствах аналоговых и дискретных сигналов можнопостроить бесконечно много ортонормальных базисов. Выбор наиболее подходящего базиса определяется конкретной решаемой задачей.2.7. Непрерывные представления сигналовОбобщенный ряд Фурье представляет сигнал в виде взвешенной суммы(линейной комбинации) счётного44 множества базисных функций.

Иногдасчетный базис неудобен (или просто непригоден) для представления сигнала.Например, счетный базис Фурье, полный в L2 (T ) , не полон в L2 (, ) и поэтому непригоден для представления сигналов бесконечной длительности. Всамом деле, пространство L2 (, ) содержит все функции конечной нормы(все сигналы конечной энергии), в том числе сигналы бесконечной длительности, достаточно быстро убывающие при t   и при t   . Поэтому прилюбом заранее заданном интервале T нельзя гарантировать сколь угодноточного представления всех таких сигналов.С другой стороны, пользуясь процедурой Грама–Шмидта, в L2 (, )можно построить полный ортонормальный базис (на самом деле – сколькоугодно базисов), если в качестве исходной принять систему функций, принадлежащих L2 (, ) , т.е.

бесконечно протяженных и достаточно быстроубывающих на бесконечности. В частности, применяя процедуру Грама–Шмидта к совокупности функций n ( x)  x n e  x2/2, n  0,1,2,... , получим ор-тонормальный базис Эрмита45, полный в L2 (, ) [5].Однако этот базис, как и другие полные счётные базисы пространстваL2 (, ) , не обладает теми привлекательными свойствами, которые обусло44Элементы счётного множества могут быть пронумерованы, т.е. поставлены в соответствие элементаммножества целых неотрицательных чисел45Шарль Эрмит (1822–1901) – выдающийся французский математик69вили широкое применение базиса Фурье в теории и практике и о которых далее будет сказано подробно (см. п. Ошибка! Источник ссылки не найден.).Рис. 2.16.

Базис, полученный применением процедуры Грама – Шмидтак совокупности степенных функций, показанной на рис. 2.7.Гармонические функции, аналогичные функциям базиса Фурье, могутприменяться для представления сигналов из L2 (, ) , но для этого мощность46 их множества должна быть больше мощности счётного множества(иначе говоря, множество должно быть непрерывным).Таким образом, понятие обобщённого ряда Фурье подвергается дальнейшему обобщению. Сумма бесконечного счётного множества базисныхфункций, умноженных на спектральные коэффициенты, заменяется интегралом от функции двух переменных (которая представляет собой как бы«сплошное», несчётное множество одномерных базисных функций и называется базисным ядром), умноженной на функцию одной непрерывной переменной, называемую спектральной плотностью.Ниже приведены попарно термины и формулы, соответствующие дискретному и непрерывному (интегральному) представлениям аналоговых сигналов.46Мощность множества (кардинальное число) – обобщение на бесконечные множества понятия «количестваэлементов»70Интегральное представлениеvk (t ), k  ,  – базис (необязательно v( s, t ) – базисное ядро интегральногопредставленияортогональный) ( s) – спектральная плотность сигнала k , k  ,  – спектр сигнала отноотносительно выбранного ядрасительно выбранного базисаДискретное представлениеx(t ) k  k vk (t ) – дискретное пред-  (s)v(s, t )ds – интегральноеx(t ) ставление сигнала k   x, wk  представление сигналаx(t ) wk* (t )dt – форму-ла нахождения спектрального коэффициента с использованием сопряженного ( s)  vk , wm    km – условие взаимности (со-и wk (t ), k  , x(t ) w* ( s, t )dt –(2.17)w( s, t )формула нахождения спектральной плотности с использование сопряженного ядра(взаимного) базиса wk (t ), k  , пряженности) базисов vk (t ), k  , * v(s, t )w ( , t )dt   (s   )* v(s, t )w (s, )ds   (t   ) –(2.18)условия сопряженности ядер v( s, t ) и uk , um    km – условие ортонормальности (самосопряженности) базисаuk (t ), k  , w( s, t ) u( s, t )u*( , t )dt   ( s   ) и u (s, t )u*( s, )ds   (t   ) – условиясамосопряженности базисного ядраu ( s, t )x(t ) k  k uk (t ) – обобщенный рядФурье (представление сигнала в ортонор-мальном базисе) uk (t ), k  ,  k   x, u k  x(t )uk* (t )dt – формуланахождения спектрального коэффициентаx(t )   (s)u (s, t )ds – интегральноепредставление сигнала относительно самосопряженного базисного ядра u ( s, t ) . (s) x(t )u* ( s, t )dt – формула на-хождения спектральной плотности отно-71сительно самосопряженного ядра u ( s, t ) .относительно ортонормального базисаТаким образом, интегральное представление имеет много общего собобщенным рядом Фурье.Пример 2.13.

Характеристики

Список файлов книги