В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Пользу-ясь механической аналогией, можно сказать, что  -функция представляет54Жан Мари Констан Дюамель (1797 – 1872) – французский математик84собой «короткий энергичный толчок», действующий на вход цепи, а импульсная характеристика описывает «движение» выхода цепи; таким образом, это характеристика инерционности цепи, которая в данном примере определяется мгновенным зарядом и постепенным разрядом ёмкости.

Инерционность определяется наличием в цепи реактивных (способных запасать иотдавать энергию) элементов – ёмкостей и индуктивностей. Чисто резистивная цепь, как бы она ни была сложна, инерционностью не обладает и имеетимпульсную характеристику в виде  -функции с некоторым весовым коэффициентом.◄Часто на импульсную характеристику накладывается ограничивающееусловие каузальности55 (причинности)h(t )  0 при t < 0 .Это условие имеет простой физический смысл: поскольку ИХ являетсяоткликом на  -функцию, которая воздействует на цепь в момент времениt  0 , то очевидно, что реакция цепи физически не может начаться раньше(следствие не может опережать причину). Поэтому свойство каузальностиназывают также физической реализуемостью.Для уяснения физического смысла интеграла Дюамеля, играющеговажнейшую роль в анализе линейных стационарных цепей, полезно выполнить в (2.33) замену переменных, так чтоy (t ) x(t   )h( )d .(2.34)Кроме того, для простоты примем, что импульсная характеристикаудовлетворяет условию каузальности.Согласно (2.24) входной сигнал представляется «плотной» последовательностью  -функций с «амплитудными» коэффициентами, равными значениям сигнала в соответствующие моменты времени.

Тогда выражение(2.34) описывает выходной сигнал в момент времени t , как интегральную85сумму откликов на все эти  -функции, воздействовавшие на вход цепи впрошлом. Каждая такая  -функция отстоит от текущего момента t на величину  в прошлое, поэтому вклад от неё в текущее значение выходного сигнала определяется значением импульсной характеристики, соответствующиминтервалу  . Импульсная характеристика любой реальной цепи со временемубывает (затухает), таким образом цепь постепенно «забывает» значениявходного сигнала, рис.

2.20. Если отказаться от каузальности импульсной характеристики, то для нахождения текущего значения выходного сигналанужно было бы учитывать и будущие значения входного сигнала, что для цепей, действующих в реальном времени, очевидно, невозможно. Однако в современной технике связи (и других областях науки и техники) нередко используются так называемые буферные устройства памяти, куда записываются значения сигнала, которые затем обрабатываются цифровыми методами.При этом устройство, выполняющее вычисление очередного значения выходного сигнала, может иметь доступ к «будущим»56 значениям входногосигнала, так что в таких устройствах требование каузальности импульснойхарактеристики часто снимается, а учёт «будущих» значений обычно повышает эффективность обработки.Рис.

2.20. Иллюстрация смысла интеграла ДюамеляЗаметим, что ЛИС-цепи представляют собой сравнительно узкий классцепей (вообще говоря, никакая цепь не может быть строго линейной хотя быпотому, что любое реальное устройство состоит из веществ, имеющих конечную температуру плавления или возгорания и безграничное увеличение55От латинского causa – причина.86мощности входного сигнала рано или поздно привело бы к разрушению цепи; точно так же реальная цепь не может быть строго стационарной уже всилу конечности времени ее существования). Однако очень многие цепи иканалы связи могут считаться приближенно линейными (при изменениивходных напряжений и/или токов в некотором диапазоне значений) инвариантными к сдвигу (на некотором временнóм интервале), а вместе с удобствоманализа и синтеза ЛИС-цепей это составляет огромное преимущество линейной стационарной модели и обусловливает ее широкое использование. Нелинейные и/или нестационарные цепи значительно труднее анализировать (несуществует, в частности, общего метода анализа всех нелинейных цепей,аналогичного спектральному методу) и синтезировать, однако нелинейные инестационарные цепи приходится использовать, т.к.

некоторые преобразования сигналов, необходимые для практики, невозможно осуществить при помощи ЛИС-цепей. Преобразования гармонических колебаний в нелинейныхбезынерционных и линейных нестационарных цепях, используемые при модуляции и демодуляции сигналов, будут рассмотрены в разд. 5.2.10.Частотное описание ЛИС-цепейИнтеграл свёртки представляет собой инструмент временнóго анализаЛИС-цепей, т.к. позволяет непосредственно найти выходной сигнал в видефункции времени, исходя из импульсной характеристики и входного сигнала,также заданных в виде функций времени. Для решения многих задач удобнеевоспользоваться частотным описанием цепи и спектральным методом анализа.При выводе интеграла Дюамеля было использовано динамическоепредставление входного сигнала, т.е.

рассматривалось действие оператораЛИС-цепи на входной сигнал, представленный интегральным выражением(2.24) относительно базисного ядра  (t   ) . Ранее было показано, что описа56Поскольку речь идёт о значениях, хранящихся в памяти, то физически принцип причинности, разумеется,не нарушается87ние действия конечномерного линейного оператора на вектор сильно упрощается, если вектор представлен в базисе, составленном из собственных векторов данного оператора. Проводя аналогию между конечномерным и бесконечномерным линейными пространствами, можно попытаться найти интегральное представление сигнала относительно ядра, аналогичного собственному базису; при этом действие оператора должно описываться более простым выражением, чем свёртка.

Напомним, что линейному оператору соответствуют векторы (функции), обладающие следующим свойством: действиеданного оператора на эти функции сводится к их умножению на скалярные (вобщем случае комплексные) коэффициенты. Примем обозначение  (t ) длятакой собственной функции линейного оператора, действующего на аналоговые сигналы; она должна удовлетворять уравнению  (t , s) (s)ds  (t ) ,где  – некоторый числовой множитель (собственное значение, соответствующее данной собственной функции). Различным линейным операторамсоответствуют, вообще говоря, различные наборы собственных функций исобственных значений.Для линейного инвариантного к сдвигу (стационарного) оператора собственная функция должна удовлетворять более простому уравнению, записываемому с учетом выражения (2.34):  (t   )h( )d  (t ) .Легко убедиться непосредственной подстановкой, что решением этогоинтегрального уравнения является комплексная гармоническая функция времени e j 2 ft , где f – её параметр, имеющий смысл частоты:88ej 2 f (t  )h( )d ej 2 ft h( )e j 2 f d H ( f )  e j 2 ft .Итак, если на вход ЛИС-цепи поступает сигнал e j 2 ft , то на выходенаблюдается этот же сигнал, умноженный на комплексное число, зависящееот частоты сигнала.

Функция H ( f ) , описывающая эту зависимость, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ)57 цепи и связана с импульсной характеристикой преобразованием ФурьеH( f )  h(t )e j 2 ftdt .(2.35)Тогда можно записать и обратное преобразование Фурье, позволяющее найтиимпульсную характеристику по известной КЧХ:h(t )  H ( f )ej 2 ftdf .(2.36)Таким образом, оператору любой ЛИС-цепи соответствует один и тотже бесконечный набор собственных функций e j 2 ft , f   ,   , а различаются цепи своими наборами собсьвенных значений: конкретной цепи соответствует определенная КЧХ H ( f ) , определяющая масштабный коэффициент (собственное значение) для каждой функции e j 2 ft при любом значениичастоты f . Этот факт имеет фундаментальное значение для упрощения анализа ЛИС-цепей.

Напомним, что функция двух переменных e j 2 ft можетрассматриваться как ядро интегрального представления сигналов из пространства L2 (, ) , см. пример 2.13.Представим входной сигнал интегральным выражением относительноядра e j 2 ft :57Эту характеристику называют также комплексным коэффициентом передачи, передаточной функцией ит.п.89x(t ) X ( f )e j 2 ft df .(2.37)Это выражение представляет x(t ) «сплошной» суммой базисных функций e j 2 ft с «амплитудными58 коэффициентами» X ( f ) .

Следовательно, отклик ЛИС-цепи с КЧХ H ( f ) на этот сигнал представляется интеграломy (t )  H ( f ) X ( f )ej 2 ftdf ,(2.38)так как каждая функция e j 2 ft в разложении (2.37) входного сигнала припрохожденииy (t )  Y ( f )eчерезj 2 ftцепьумножаетсянаH( f ).Учитывая,чтоdf , и сравнивая это выражение с (2.38), можно записатьвыражение Y ( f )  H ( f ) X ( f ) , связывающее выходной сигнал ЛИС-цепи свходным сигналом в спектральной форме. Заметим, что это выражение соответствует в конечномерном случае умножению вектора на диагональнуюматрицу (2.30).Подытоживая, можно сказать, что представление входного сигнала относительно собственного (для любого ЛИС-оператора) базисного ядра e j 2 ftимеет преимущество перед динамическим представлением, так как вместоинтегрального выражения свёртки связь входного сигнала с выходным описывается произведением спектральных плотностей.

Уместно еще раз напомнить, что «естественное» временнóе представление сигнала x(t ) – это такжеспектральная плотность, только относительно ядра  (t   ) .ВыражениеY( f )  H ( f )X ( f ) ,58Ясно, что на самом деле амплитуды гармонических составляющих бесконечно малы90устанавливающее связь спектральных плотностей сигналов на входе и выходе ЛИС-цепи через её комплексную частотную характеристику, служит основой спектрального метода анализа линейных стационарных цепей, широко используемого благодаря своей простоте.

Характеристики

Список файлов книги