В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Для представления сигналов из пространства L2 (, )очень часто используется базисное ядро u ( f , t )  e j 2 ft (вместо переменной sв обозначении ядра использовано общеупотребительное обозначение частоты буквой f ). Ядро является самосопряженным, так как u ( f , t )u*TT ej 2 ft  j 2 tedt e j 2 ( f  )t dt  lim 2T lim( , t )dt T Tsin 2 ( f   )T  ( f   ) (исправлено)2 ( f   )T(аналогично доказывается и второе условие самосопряженности).Поэтому спектральная плотность сигнала x(t ) относительно данного ядра, которую обозначим X ( f ) , определяется выражениемX(f )x(t )e  j 2 ft dt ,(2.19)известным как преобразование Фурье, а формула интегрального представления сигналаx(t ) X ( f )e j 2 ft df(2.20)называется обратным преобразованием Фурье. ◄Сравнение выражения обратного преобразования Фурье с рядом Фурьевыявляет их глубокое сходство: интеграл соответствует сумме, спектральнаяплотность – совокупности спектральных коэффициентов (спектру).

Поэтомучасто для краткости спектральную плотность называют спектром, что некорректно. Можно обратное преобразование Фурье считать (нестрого) результатом предельного перехода для ряда Фурье при T   . Тогда выражение(2.20) представляет собой взвешенную сумму «сплошного множества» ба72зисных функций времени e j 2 ft при всевозможных фиксированных значениях частоты f . Стоит отметить, что сами эти «базисные функции» пространству L2 (, ) не принадлежат.Пример 2.13а. Прямоугольный импульс длительности  è и амплитуды A ,изображенный на рис.

2.10, если его рассматривать на бесконечной временной оси, не может быть представлен рядом Фурье, однако преобразованиеФурье для него легко найти. Спектральная плотность такого импульсаX(f ) x(t )e j 2 ftdt  A и /2e j 2 ft dt  A и и /2sin( f  и ) fипоказана на рис. ***. ◄Запишем скалярное произведение двух сигналов x(t ) и y (t ) , выразивсигналы через спектральные плотности при помощи обратного преобразования Фурье:( x, y )  *x(t ) y (t )dt   X ( )ed *X ( )Y ( f )  j 2 tej 2 (  f )tY*( f )e  j 2 ft df dt dtdfd   X ( )Y * ( f ) (  f )dfd  X ( f )Y * ( f )df .Таким образом, получена обобщённая формула Рэлея*x(t ) y (t )dt X ( f )Y * ( f )df(2.21)для интегрального представления сигналов относительно базисного ядра Фурье e j 2 ft . Аналогичное выражение будет справедливо для интегральногопредставления сигналов относительно любого самосопряженного ядра.73Подставляя в (2.21) y (t )  x(t ) , получаем равенство Парсеваля2 | x(t ) |dt 2 | X( f )|df .(2.22)Симметричная форма левых и правых частей выражений (2.21) и (2.22)должна наводить на мысль, что «естественное» временнóе представлениесигнала есть на самом деле представление относительно некоторого самосопряженного ядра.

Справедливость такого утверждения устанавливается вследующем примере.Пример 2.14. Для пространства сигналов L2 (, ) примем в качествебазисного ядра сдвинутую (задержанную)  -функцию u (t , )   (t   ) (вместо переменной s использовано обозначение задержки буквой  ). Это ядроявляется самосопряженным [4]. Поэтому спектральная плотность сигналаx(t ) относительно данного ядра определяется выражениемx( ) x(t ) (t   )dt ,(2.23)а формула интегрального представления сигналаx(t ) x( ) (t   )d .(2.24)Полученное выражение, описывающее стробирующее свойство  функции и совпадающее с динамическим представлением сигнала (2.5), явнодемонстрирует тот факт, что обычное временнóе представление сигналаможно рассматривать, как интегральное (спектральное) представление относительно базисного ядра u (t , )   (t   ) со спектральной плотностью x( ) .Иными словами, временная функция x() , описывающая сигнал, формальноесть не что иное, как спектральная плотность.

Таким образом, с математической точки зрения временное представление сигнала является не более (и не74менее) естественным, чем частотное представление (2.19) или любое другое представление относительно самосопряженного базисного ядра. ◄Пример 2.15. Очень важную роль в теории сигналов играет представле-ние относительно ядра вида u (t , ) 1(вместо переменной s исполь (  t )зована переменная  , имеющая смысл времени). Это ядро является самосопряженным.

Поэтому спектральная плотность сигнала x(t ) относительноданного ядра определяется выражениемx ( ) 1x(t )   t dt ,(2.25)а формула интегрального представления сигналаx(t ) 1x ( )   t d .(2.26)Полученные выражения представляют собой пару преобразований Гильберта(прямое и обратное) и составляют, в частности, математический фундаментдля описания узкополосных детерминированных и случайных колебаний, см.п. Ошибка! Источник ссылки не найден.. ◄Пример 2.16. Для представления дискретных сигналов из пространстваl2 используется ядро u ( f , n)  e j 2 fn , зависящее от непрерывной переменнойf , имеющей смысл частоты, и от дискретной (целой) переменной n .

Спектральную плотность дискретного сигнала x[n] относительно данного ядраможно определить выражениемX(f )x[n]e j 2 fn , 0.5  f  0.5 ,(2.27)n а интегральное представление сигнала – выражением0.5x[n] X ( f )e j 2 fn df , n  ,  .(2.28)0.575Эти выражения представляют собой пару преобразований Фурье для последовательностей и используются в цифровой обработке сигналов (подробнеесм. разд. 12). ◄Полезно иметь в виду, что дискретное представление сигнала в виде ряда можно истолковать, как частный случай интегрального представления.

Всамом деле, введем для базисных функцийvk (t ), k  , обозначениеv(t , sk ), k  ,  , понимая базисные функции, как различные сечения некоторого ядра – функции двух переменных v(t , s ) , соответствующие фиксированным значениям переменной ss  sk , k  ,  . Подставим выражениедля сигналаx(t ) k  k vk (t ) k  k v(t , sk )в формулу для нахождения спектральной плотности относительно ядра v(t , s )с помощью сопряжённого ядра w( s, t ) (2.17) ( s)   k * k v(t , sk ) w ( s, t )dt k k* v(t , sk )w (s, t )dt .С учетом условия сопряжённости ядер (2.18) получим (s) k  k  ( s  sk ) .Таким образом, дискретное представление действительно можно понимать как интегральное представление со спектральной плотностью  ( s ) ,сосредоточенной в счетном множестве точек sk , k  ,  .2.8. Преобразования и операторы76Всюду, где применяются сигналы, они подвергаются преобразованиям.Под преобразованием можно понимать любое изменение сигнала, как целенаправленное, так и непреднамеренное.

Целенаправленные преобразованияосуществляются в созданных специально дляэтого устройствах, например, в усилителях,x (t )фильтрах, модуляторах, демодуляторах и т.д.Непреднамеренными являются, например, пре-T y (t )Рис. 2.17. Преобразование сигналаобразования, происходящие при распространении сигналов по линиям связи и называемые искажениями.В наиболее общей форме преобразование представляется схемой рис.2.17.

Обозначая входной сигнал x(t ) , а выходной сигнал y (t ) , можно записатьy (t )  T  x(t ) ,где T  – обозначение преобразования. Для удобства будем считать, чтолюбое преобразование выполняется некоторым устройством. Такие устройства далее будем называть цепями.С математической точки зрения преобразование представляет собойотображение47 множества входных сигналов X во множество выходныхсигналов Y . Эти множества могут быть одинаковыми, но могут и существенно различаться.

Например, в задаче обнаружения48 полезного сигнала в наблюдаемом на входе приёмного устройства колебании на временнóм интервале T входные колебания принадлежат L2 T  , а множество сигналов навыходе обнаружителя состоит из двух значений, условно обозначаемых 0(«сигнала нет») и 1 («сигнал есть»). Здесь будем полагать, что входные и выходные сигналы принадлежат одному и тому же пространству L2 (или l2 ); вэтом случае преобразование называется оператором. Такая постановка соот47Отображение – это правило, ставящее в соответствие каждому элементу некоторого множества определённый единственный элемент другого множества48Подробно эта задача рассматривается в разд.

977ветствует, в частности, задаче фильтрации сигналов. Канал связи обычнопредставляет собой соединение49 многих устройств и сред распространения,поэтому осуществляемое им отображение имеет сложный, составной характер. Некоторые из составных частей этого отображения являются операторами, другие, например, аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразованияпредставляют собой отображения более общего вида.Рассмотрение преобразований в такой общей постановке не дает какихлибо содержательных результатов именно в силу своей предельной общности.

Для того, чтобы получить практическую пользу, математическая модельдолжна быть конкретизирована (сужена). Очень плодотворный подход состоит в ограничении рассмотрения так называемыми линейными операторами50.Оператор L называется линейным, если он обладает свойствами аддитивностиL x  y  L x  L yи однородностиL x   L x .обычно объединяемыми в одну формулу, выражающую принцип суперпозиции:L x   y   L x   L y .Эти свойства означают, что «поведение» цепи, описываемой линейнымоператором, «беспристрастно» к разбиению сигнала на части и к объединению сигналов, а также к усилению или ослаблению сигнала. Формально аддитивность выражается в том, что линейный оператор и сложение коммутируют (могут меняться местами).

Характеристики

Список файлов книги