В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 7
Текст из файла (страница 7)
– можно получить представления (модели) дляочень широкого класса сигналов (континуальных и дискретных), – фактиче-36ски для всех сигналов, применяемых на практике. Однако во многих случаяхудобнее оказываются иные модели.Представление сигнала (колебания) в виде графика описывающей егофункции является наглядным и привычным. В самом деле, в большинствеслучаев сигналы представляют собой функции времени, а одним из наиболеераспространенных приборов для наблюдения и измерения характеристикэлектрических сигналов является осциллограф, отображающий именно временной график сигнала.Временнóе представление не является, однако, ни единственным, ни самым лучшим, и на практике при решении конкретных задач следует выбирать наиболее удобные формы описания сигналов.2.2. Векторное представление сигналовОсновное неудобство, связанное с временным представлением сигналов,заключается в том, что сигналу соответствует сложный объект (функция,изображаемая графиком) в простом пространстве (на плоскости).
Формыграфиков бесконечно разнообразны, поэтому трудно «навести порядок» вэтом многообразии. В современной теории сигналов используется представление сигнала простым объектом (точкой или вектором) в сложном пространстве [4]. При этом все сигналы становятся как бы «одинаковыми», аразличия между ними сводятся к различному положению изображающих ихточек в пространстве. Это пространство представляет собой множество всевозможных сигналов, рассматриваемых в данной задаче, наделённое соответствующими структурными свойствами (в частности, определено расстояниемежду сигналами, а также другие полезные характеристики). При этом свойства сигналов получают наглядное геометрическое истолкование, а для синтеза и анализа сигналов и систем их обработки применяется аппарат современной математики (линейная алгебра и функциональный анализ).Основные идеи векторного представления проще изложить для дискретных сигналов, а затем распространить их на аналоговые сигналы.
Рассмотрим37для примера множество дискретных сигналов, таких, что все значения (отсчеты) этих сигналов равны нулю, за исключением значений, соответствующих n 1 и n 2 . Придавая значениям x[1] x1 и x[2] x2 сигнала x[n]смысл абсциссы и ординаты точки (вектора) на плоскости, получаем представление всего множества таких сигналов векторами в двумерном евклидовом пространстве (на плоскости), рис.2.4, а.
Множество сигналов, которыемогут иметь три ненулевых отсчета (например, при n 1 , n 2 и n 3 ),представляется множеством векторов в трехмерном пространстве, рис. 2.4, б.а) представление сигнала точкой(вектором) на плоскостиб) представление сигнала векторомв трехмерном пространствеРис.2.4Продолжая рассуждения, приходим к представлению множества всехсигналов, определяемых их значениями в конечном множестве точек дискретной временнóй оси n 1,2,..., N множеством векторов N -мерного евклидова пространства.
Каждый такой вектор представляет собой упорядоченныйнабор чисел (координат), равных значениям сигнала в соответствующие моменты времени. Ясно, что такое представление является взаимно однозначным, а, следовательно, не приводит к потере информации при переходе отсигнала к вектору и обратно.Несмотря на то, что евклидово пространство размерности выше трёхобычный человек представить не в состоянии, N -мерное евклидово пространство является весьма обычным и удобным инструментом исследования,так как свойства евклидова пространства сохраняются при любой его раз-38мерности. Кроме того, в большинстве случаев интерес представляют парысигналов (векторов), а любые два вектора лежат в общем для них двумерномподпространстве (плоскости).
Таким образом, даже не очень богатого пространственного воображения оказывается вполне достаточно для того, чтобыориентироваться в сигнальном пространстве любой размерности.Устремляя N к бесконечности, получаем бесконечномерное евклидовопространство, пригодное для представления всех дискретных сигналов, определенных на бесконечной целочисленной временнóй оси n , . Этопространство имеет бесконечное, но счётное множество «координатныхосей». Каждому дискретному сигналу взаимно однозначно соответствуетбесконечный (счётный) упорядоченный набор координат вектора, равных,например, отсчётам этого сигнала в соответствующие моменты дискретноговремени n , .Переходя к континуальным (аналоговым) сигналам, получаем бесконечномерное пространство с несчётным множеством (континуумом) «координатных осей», при этом сигналу соответствует бесконечный несчётный упорядоченный «набор координат» вектора, равных (нестрого говоря) отсчетамэтого сигнала в соответствующие моменты времени, которые теперь следуютдруг за другом «бесконечно плотно», то есть непрерывно.
Таким образом, идискретные, и аналоговые сигналы могут быть представлены векторами влинейных пространствах соответствующих размерностей.Следует ещё раз подчеркнуть, что сигнал как реальный физический процесс не совпадает с его математическим описанием в виде некоторой функции (времени), которая, таким образом, является лишь моделью сигнала. Вравной степени и описание сигнала вектором в пространстве соответствующей размерности также служит его моделью, и выбор модели при решенииконкретных задач должен определяться исключительно соображениямиудобства.39Чтобы использовать преимущества векторных моделей, следует вначалеубедиться в том, что действиям над векторами, т.е.
элементами линейногопространства, соответствуют операции, применимые к реальным сигналам.2.3. Сигналы и действия над нимиВ каждой практической задаче, связанной с получением (генерировани-ем), передачей, приёмом и обработкой сигналов, рассматриваются сигналыиз определенного множества. Так, в задаче приема сообщений, передаваемых по радиоканалу, для которых известны моменты начала и окончания передачи, можно рассматривать множество M (T ) всех континуальных сигналов, заданных на конечном временнóм интервале t [0, T ] (интервале наблюдения).
В задаче цифровой фильтрации интерес представляет множество всехдискретных сигналов, определенных на конечном участке дискретнойвременнóй оси n 1, N . Сигналы из одного множества обладают некоторымиобщими свойствами, что и позволяет рассматривать множество, как целое.На практике над сигналами выполняются некоторые действия (операции), такие, например, как сложение (суммирование).
Для этого применяются устройства, называемые сумматорами. Кроме того, суммирование выполняется естественным путем при распространении различных сигналов в общем канале связи или в пространстве, и в этом случае говорят о взаимныхпомехах. Суммирование применимо к сигналам, имеющим общую областьопределения. Например, складывая сигналы s1(t ) и s2 (t ) , определенные наконечном интервале [0, T ] , получаем сигнал s3 (t ) , определенный на этом жеинтервале (сумма сигналов из множества M (T ) снова принадлежит M (T ) ),рис. 2.5.
В таких случаях говорят, что множество замкнуто относительносложения.Вторая операция, часто применяемая на практике – умножение сигналана некоторый постоянный коэффициент. Множитель может быть большеединицы, что соответствует усилению сигнала, или меньше единицы, тогда40имеет место ослабление. Ослабление может быть естественным (вследствиезатухания сигнала в линии передачи или рассеяния энергии в пространстве)или преднамеренным, выполняемым, например, с помощью устройств, называемых аттенюаторами. Усиление выполняется при помощи усилителей.Множитель может быть и отрицательным, тогда меняется полярность (знак)сигнала, а соответствующее устройство называют инвертирующим усилителем, или инвертором. На рис. 2.6 сплошной линией показан исходный сигнал, пунктиром тот же сигнал, усиленный вдвое, а штриховой линией – инвертированный сигнал (умноженный на число –1).
И сложение сигналов, иумножение сигнала на скалярный коэффициент определяются через обычныесложение и умножение чисел путём их применения к мгновенным значениямсигналов при каждом значении временнóй переменной.Обычно предполагается, что множество сигналов замкнуто относительно умножения на число, таким образом, усиление или ослабление сигнала ненарушает его принадлежности к данному множеству.С учётом сказанного нетрудно видеть, что сигналы «похожи» на векторы, которые тоже можно складывать и умножать на коэффициенты, при этомрезультат также оказывается вектором.
Это сходство множества сигналов смножеством векторов – линейным (векторным) пространством – позволяетрассматривать сигналы как векторы, т.е. использовать линейное пространство в качестве модели для множества сигналов, которое в таком случае естественно называть пространством сигналов. Для лучшего понимания дальнейшего изложения напомним основные свойства линейного пространства.41Рис.2.5. Сигнал (а), помеха (б) и сумма сигнала и помехи (в)Рис. 2.6. Исходный, усиленный и инвертированный сигналы2.4.
Линейное пространствоЛинейным пространством называется множество M объектов (векто-ров), удовлетворяющее следующим аксиомам.А. Для любых двух элементов (векторов) из M определена бинарная29операция сложения, причем сумма вновь принадлежит M (множество Mзамкнуто относительно сложения), то есть x M y M : ( x y ) M ( читается «для всех»).29Бинарной или двухместной называется операция, применяемая к паре объектов (операндов); в алгебрекроме бинарных операций рассматриваются также унарные (одноместные), тернарные (трехместные) и т.д.42Выполняются следующие аксиомы сложения:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
