В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В качестве базиса данного пространства можно принятьлюбые 8 линейно независимых ненулевых векторов. ◄Пример 2.4. Передача речевых сигналов в системах мобильной связи 2поколения выполняется на основе цифровых методов, включающих а) анализсигнала в передающей части, б) кодирование и передачу его признаков поцифровому радиоканалу и в) синтез речевого сигнала в приёмнике на основеэтих признаков. При синтезе сигнала в приёмной части сотового телефонастандарта D-AMPS так называемый сигнал возбуждения формируется каклинейная комбинация векторов, хранящихся в устройстве памяти в виде двух«кодовых книг» [6]. Каждая из них представляет собой набор из 128 двоичных векторов (кодовых слов), состоящих из 40 компонент, и, следовательно,принадлежащих 40-мерному пространству.

Однако фактически эти векторыпринадлежат 7-мерному подпространству, натянутому на семь 40-мерных базисных векторов. Поэтому нужный для синтеза сигнала возбуждения 40мерный вектор однозначно задаётся семью числами – координатами относительно этого базиса. Таким образом, вместо передачи по каналу двух 40битовых кодовых комбинаций в стандарте D-AMPS передаются две семибитовые комбинации, что существенно экономит ресурсы канала.◄2.5. Метрика, норма и скалярное произведениеПредставление о сигналах как о векторах позволяет определить количе-ственную меру различия между сигналами через расстояние между векторами. Для этого вводится функционал34 d ( x, y ) , определяющий для каждой пары векторов x и y некоторое неотрицательное число.

Этот функционал называется метрикой, а пространство в результате становится метрическим.Метрика должна удовлетворять следующим очевидным свойствам расстояния, формулируемым в виде аксиом (знак  читается «только если»)34Функционалом называется отображение, ставящее функции (или нескольким функциям) в соответствиечисло49a) d ( x, y )  0 и d ( x, y )  0  x  y (расстояние между различными векторами положительно);b) d ( x, y )  d ( y, x) (расстояние симметрично),c) d ( x, z )  d ( x, y )  d ( y, z ) (выполняется неравенство треугольника).Отметим, что на одном и том же множестве сигналов можно задать различные метрики, при этом получаются разные метрические пространства.Например, на множестве L(T ) всех аналоговых сигналов, заданных на интервале [0, T ] можно определить следующие метрики [4]:T1)d1 ( x, y )   | x(t )  y (t ) | dt ,01/ 2T22) d 2 ( x, y )    | x (t )  y (t ) | dt 0,3) d3 ( x, y )  max | x(t )  y (t ) | и т.п.t[0,T ]На множестве l всех дискретных сигналов, заданных для n  ,  ,можно ввести метрики1) d 4 ( x, y ) | x[n]  y[n] | ,n 1/ 2 2) d5 ( x, y )    | x[n]  y[n] |2  n 3) d6 ( x, y )  maxn , ,| x[n]  y[n] | и т.д.Иногда полезной оказывается числовая характеристика сигнала, аналогичная длине вектора.

Такой характеристикой служит норма. Функционал,исполняющий роль нормы вектора x и обозначаемый x , должен удовле-50творять следующим интуитивно понятным условиям, формулируемым в видеаксиомa). x  0 и x  0  x  0 ,b). x  y  x  y , (неравенство треугольника) x |  | x .c).Норму, как и метрику, можно ввести различными способами. Для аналоговых сигналов чаще всего применяется нормаTx22 | x(t ) | dt Ex ,0Tпричем квадрат нормы E x   | x(t ) |2 dt имеет смысл энергии сигнала. Находят0TTтакже применение нормы x 1   | x(t ) |dt и x0pp | x(t ) |pdt .

Выбор той или0иной нормы зависит от решаемой задачи.Аналогично вводится норма для дискретных сигналов. Наиболее частоиспользуются нормы x2n | x[n] |2 и x 1 | x[n] | . Пространство сn заданной на нём нормой называется нормированным. Следует отметить, что,как и в случае метрики, способ задания нормы влияет на свойства пространства и должен выбираться в соответствии с решаемой задачей.Сравнивая аксиомы метрики и нормы, нетрудно заметить их сходство. Вчастности, всегда можно (но не обязательно)35 метрику определить как нормуразности векторов:d ( x, y )  x  y .35В некоторых случаях целесообразно задать метрику и норму независимо друг от друга51Например, в пространстве дискретных сигналов норме x2можно со1/ 2 поставить упомянутую выше метрику d5 ( x, y )    | x[n]  y[n] |2  n , кото-рая обобщает на бесконечномерный случай евклидову метрику (расстояниенаходится«потеоремеПифагора»).Аналогично,метрика1/ 2Td 2 ( x, y )    | x(t )  y (t ) |2 dt 0является обобщением евклидовой метрики напространство континуальных сигналов.В большинстве практических задач, связанных с анализом и обработкойсигналов, центральную роль играет операция, называемая скалярным произведением36.

Ввести скалярное произведение можно, определив для произвольной пары векторов из данного линейного пространства число (скаляр) изсоответствующего поля  . Таким образом, скалярное произведение представляет собой функционал. Скалярное произведение комплексных векторовx и y , обозначаемое ( x, y ) должно удовлетворять следующим условиям (аксиомам) [4]:a) ( x, y )  ( y, x)* ,b) ( x   y, z )   ( x, z )   ( y, z ) ,c) ( x, x)  0 и ( x, x)  0  x  0 .Здесь  и  – произвольные комплексные числа, знак * в условии а)обозначает комплексное сопряжение величин.

Условие b) означает линейность скалярного произведения относительно первого из операндов. Учитывая а) и b), можно записать( x, y   z )  ( y   z , x)*   * ( y, x)*   * ( z , x)*   * ( x, y )   * ( x, z ) .36Иногда скалярное произведение назвают внутренним произведением52Пространство со скалярным произведением называется унитарным (эрмитовым, предгильбертовым). Из условия с) следует, что через скалярноепроизведение можно задать норму, определяемую выражениемx  ( x, x ) .Далее можно через норму определить метрику как норму разности векторов.

Если полученное таким образом пространство полно (то есть вместе слюбой сходящейся последовательностью векторов содержит предел этой последовательности [4]), то оно называется гильбертовым пространством37.Отметим, что в конечномерном случае гильбертово пространство являетсяевклидовым. Таким образом, гильбертово пространство является обобщением евклидова пространства на бесконечномерный случай. Наиболее часто втеории сигналов используются именно гильбертовы пространства.Пример 2.5.

Множество аналоговых сигналов ограниченной энергии, за-данных на конечном интервале [0, T ] , становится гильбертовым пространством, если определить скалярное произведение выражениемT( x, y )   x(t ) y* (t )dt ,0а норму и метрику, соответственно, выражениямиTx2 | x(t ) | dt02Tи d ( x, y )  | x(t )  y(t ) | dt .20Это пространство принято обозначать L2 (T ) .

Если носитель сигнала –вся вещественная (временная) ось, то пространство сигналов ограниченнойэнергии обозначается L2 (, ) или просто L2 . ◄Пример 2.6. Множество дискретных сигналов (последовательностей)бесконечной протяженности становится гильбертовым пространством, еслиопределить скалярное произведение выражением37Названо в честь Д. Гильберта (1862 – 1943) – выдающегося немецкого математика53( x, y ) x[n] y*[n]n и ввести норму и метрику выражениямиx22| x[n] | и d ( x, y ) n | x[n]  y[n] |2 .n Пространство, содержащее все последовательности конечной нормыx 2 , обозначается l2 и называется пространством квадратично суммируемыхпоследовательностей.

◄Пример 2.7. Важную роль в теории сигналов и цепей играют нормиро-ванные пространства L1(T ) и l1 аналоговых и дискретных сигналов с нормами, определяемыми соответственно выражениямиTx 1   | x(t ) |dt и x 1 0| x[n] | .n Эти пространства не являются гильбертовыми. ◄2.6. Гильбертово пространствоВведение такой характеристики, как норма, позволяет сравнивать сигна-лы между собой, т.е. определить, какой из сигналов «больше», «сильнее».Метрика даёт возможность судить о различии сигналов – если расстояниемежду сигналами велико, то они сильно отличаются друг от друга.

Дополнительная возможность сравнения сигналов возникает при введении скалярногопроизведения. Этим и определяется важная роль гильбертовых пространств,как моделей для пространств сигналов.Для каждого унитарного пространства [6] справедливо неравенствоШварца | ( x, y ) |2  ( x, x)( y, y ) , которое можно переписать в виде| ( x, y ) | 1.x2 y2Смысл неравенства Шварца в том, что в гильбертовом пространстве, как и вевклидовом, скалярное произведение двух сигналов не может превзойти по54модулю произведения их норм.

Для евклидова векторного пространства известна формула скалярного произведения(a, b)  a  b cos  ,где  обозначает модуль вектора. По аналогии для пространства вещественных38 сигналов можно определить угол cos  между ними выражением( x, y ).x2 y2Рассмотрим три частных случая.

В первом случае ( x, y )  x2y 2 , тогдаcos   1 , а  =0. Векторы коллинеарны и различаются только длиной; этоозначает, что сигналы x и y имеют одинаковую форму и могут отличатьсятолько нормой. Второму случаю соответствует равенство ( x, y )   x2y 2,при этом cos   1 ,    . Векторы имеют противоположные направления,сигналы имеют одинаковую форму, различаются знаком и, возможно, нормой.

Большой практический интерес представляет третий случай, когда дляненулевых сигналов x и y скалярное произведение ( x, y )  0 , тогда сигналыназываются ортогональными ( cos   0 , а   90 ). Можно сказать, что первый и второй случаи соответствует максимальному сходству сигналов, тогдаортогональность означает их максимальное несходство.Пример 2.8.

Характеристики

Список файлов книги