В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Аналогично коммутируют линейный опера49В простых случаях это каскадное соединение; при многолучевом распространении некоторые части каналасоединены параллельно50Некоторые нелинейные преобразования колебаний будут рассмотрены в разделе 5, посвященном модуляции и демодуляции78тор и умножение на скалярный коэффициент. Формула, описывающая принцип суперпозиции, выражает то обстоятельство, что результат действия линейного оператора на линейную комбинацию сигналов представляет собойлинейную комбинацию (с такими же коэффициентами) результатов действияэтого оператора на каждый из сигналов в отдельности. Понятно, что еслипринцип суперпозиции выполняется для взвешенной суммы двух сигналов,то он справедлив и для любого количества слагаемых, сколь угодно большого.Линейность оператора цепи позволяет, если это требуется, разложитьвходной сигнал на любые составляющие, найти отклики цепи на эти составляющие по отдельности и затем сложить эти отклики, получив отклик навходной сигнал в целом.Таким образом, если оператор, описывающий некоторое устройство(цепь), является линейным, то отклик этой цепи на входной сигнал, представленный обобщенным рядом Фурье x(t ) k  k uk (t ) , равен сумме ряда,составленного из откликов на базисные функции с теми же весовыми (спектральными) коэффициентами: y (t )  L x(t )  L    k uk (t )     k Luk (t ) . k  k (2.29)Выражение (2.29) представляет собой основу спектрального методаанализа линейных цепей.

Этот метод применяют в тех случаях, когда найтиотклики Luk (t ) на базисные функции значительно проще, чем найти отклик L x(t ) на сигнал. Вместо обобщённого ряда Фурье может быть использовано интегральное представление входного сигнала относительно подходящего ядра. Чтобы уяснить смысл обсуждаемых понятий, рассмотрим действие линейного оператора в конечномерном линейном пространстве.79Линейные операторы в конечномерных пространствах описываютсяквадратными матрицами. Рассмотрим пространство дискретных сигналов,каждый из которых представляется N комплексными отсчетами ( N -мерноепространство). Результатом воздействия линейного оператора, описываемогоматрицей   ij , i, j  1, N , на вектор-столбец x  ( x1,..., xN )T является вектор-столбец y  ( y1,..., y N )T , при этом y1   11 12 y   2    21 22 ...   ......  y N   N 1 N 2изначение(отсчет)1N   x1 ... 2 N   x2 ,......

...   ...   ... NN   xN выходногосигналаописываетсявыражениемNyk   kj x j , k  1, N .j 1Наглядно представить себе поведение конечномерного линейного опеTратора можно на примере его действия на базисные векторы e1  1,0,...,0  ,TTe2   0,1,...,0  , ..., eN   0,0,...,1 . Легко видеть, что вектор e1 преобразуетTся в вектор  11, 21,..., N 1  , аналогично остальные векторы ортонормального базиса преобразуются в векторы-столбцы, из которых составлена матрицалинейного оператора.Из линейной алгебры известно, что существуют векторы, которые данным оператором преобразуются наиболее простым образом: изменяютсялишь их длины (нормы); такие векторы называются собственными векторами, а коэффициенты, определяющие изменение длин51, называются собственными значениями оператора. Нетрудно видеть, что если базис пространст-51Сказанное верно для пространства над полем вещественных чисел; операторы, действующие в комплексном пространстве, имеют комплексные собственные значения.80ва составить из собственных векторов данного оператора, то матрица оператора будет диагональной y '1   11 0 y'   0 22 2  ...

  ...... 0 y 'N   00   x '1 ...0   x '2 ,... ...   ...  ... NN   x ' N ...(2.30)где главная диагональ матрицы составлена из собственных значений, и отсчёты выходного сигнала находятся наиболее просто: y 'k  kk x 'k , k  1, N(штрихами отмечены компоненты векторов относительно собственного базиса). Далее будет показано, что аналогичное упрощение может быть достигнуто и для пространства аналоговых сигналов L2 при соответствующем выборебазисных векторов (функций).Переход от конечномерного пространства к бесконечномерному пространству дискретных сигналов l2 приводит к тому, что векторы x и y содержат бесконечно много компонент, соответственно матрица линейногооператора становится бесконечной   ij , i, j  ,  . Значение (отсчет)выходного сигнала определяется выражением yk j kj x j , k  . ,представляющим собой скалярное произведение строки матрицы операторана вектор-столбец входного сигнала.Гильбертово пространство аналоговых сигналов L2 отличается тем, чтомножество компонент каждого его вектора несчетно, поэтому дискретныеиндексы заменяются непрерывными переменными, а место матрицы занимает функция  (, ) двух переменных, называемая ядром оператора.

Тогда действие линейного оператора на сигнал x(t ) описывается интегральным выражением81y (t )   (t , s) x(s)ds .(2.31)Здесь переменная s имеет физический смысл и размерность, соответствующие базису, выбранному для описания сигнала x . В частности, этоможет быть частота, если сигнал задан спектральной плотностью (2.27), иливремя, если сигнал x задан во временной области (2.23).2.9.

Временнóе описание линейных инвариантных к сдвигу (ЛИС)цепейИспользуя выражение (2.29), найдём отклик цепи на сигнал, представ-ленный выражением (2.24). Очевидно,  y (t )  L x(t )  L   x( ) (t   )d    x( )L (t   )d   x( )h(t , )d ,(2.32)где весовая функция (ядро оператора) h(t , )  L (t   ) описывает отклик(реакцию) цепи в момент t на входной сигнал в виде  -функции, воздействующий на цепь в момент  . Выходной сигнал образуется как интегральнаясумма (суперпозиция) откликов на  -функции, действующие во все моментывремени  , с соответствующими весами x( ) . Ядро h(t , ) , как функция двухпеременных, может иметь вид, достаточно сложный для практического применения.Задача анализа (нахождения отклика цепи на заданный сигнал) сильноупрощается, если весовая функция фактически зависит только от разностипеременных h(t , )  h(t   ) , тогда цепь называется линейной инвариантной к82сдвигу (ЛИС-цепью)52, или линейной стационарной53, а выражение (2.32)приобретает видy (t ) x( )h(t   )d .(2.33)Выражение (2.33) известно под названием свёртки или интеграла Дюамеля54.(Иногда используется символическое обозначение свёртки выражениемx  h ).Свойство инвариантности к сдвигу означает, что цепь «ведёт себя»одинаково по отношению к сигналу независимо от его положения на временной (или пространственной) оси: если входной сигнал сдвинуть, то откликЛИС-цепи на него сдвигается по времени на такую же величину, не изменяясь по форме.

Обозначим сдвинутый (задержанный на величину  ) сигнал,как результат воздействия на исходный сигнал оператора сдвига, т.е.x(t   )  S  x(t ) , тогда инвариантность к сдвигу произвольного линейногооператора выражается равенствомL S  x(t )  S L  x(t ) ,иными словами, для ЛИС-цепи линейный оператор, описывающий цепь, иоператор сдвига коммутируют. Рассмотрим с этой точки зрения выражение(2.32), используя введённый оператор сдвига для обозначения сдвинутой  функции  y (t )  L x(t )  L   x( ) (t   )d   L   x( )S  (t )d   x( )LS  (t )d x( )S L (t )d 52Некоторые авторы называют такие цепи ЛИВ-цепями (линейными инвариантными во времени), см. напр.,[9–10]; но учитывая, что часто под сигналами понимаются функции пространственных (или других отличных от времени) переменных, следует признать название «ЛИС-цепи» более удачным.53Нестационарные, или параметрические, цепи широко применяются при модуляции и демодуляции сигналов (см.

разд. 5)83и обозначая h(t ) отклик цепи на  (t ) , получаем подтверждение (2.33)x( )h(t   )d .Если подставить в (2.33) в качестве входного сигнала x(t )   (t ) , легковидеть, что выходной сигнал в самом деле совпадает с h(t )y (t )   ( )h(t   )d  h(t ) .Таким образом, функция h(t ) представляет собой отклик ЛИС-цепи на «бесконечно короткий импульс» (  -функцию) и называется импульсной характеристикой цепи. Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи,всегда можно точно определить выходной сигнал (решить задачу анализа).Поэтому импульсная характеристика (ИХ) представляет собой исчерпывающее описание ЛИС-цепи. Условие h(t , )  h(t   ) означает, что, зная реакцию h(t ) цепи на воздействие  (t ) , можно определить отклик на сдвинутоевоздействие  (t   ) путем простого сдвига импульсной характеристики натакую же величину  .

Иными словами, поведение такой цепи неизменно вовремени.Рис. 2.18 RC-фильтр нижних частотРис. 2.19 Импульсная характеристикаRC-фильтра нижних частотПример 2.17. RC-фильтр нижних частот, представленный на рис. 2.18,1имеет импульсную характеристику h(t )  et /  ,   RC , рис. 2.19.

Характеристики

Список файлов книги