В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

ассоциативность x, y, z  M : x  ( y  z )  ( x  y )  z ;2. существование элемента, нейтрального относительно сложения (нулевого вектора) 0  M : x  M : x  0  x (  читается «существует»);3. существование для каждого вектора противоположного ему элементаx  M ( x)  M : x  ( x)  0 ;4.

коммутативность x, y  M : x  y  y  x .Перечисленные аксиомы известны в высшей (абстрактной) алгебре, как аксиомы коммутативной группы30 по сложению.В. Для любого вектора из M определена операция умножения на скаляр   (элемент некоторого поля  – как правило, поля  вещественных илиполя  комплексных чисел)31, причем результирующий вектор снова принадлежит M .

Иными словами, множество M замкнуто по умножению наскаляр: x  M    :  x  M .Выполняются следующие аксиомы умножения на скаляр:1) ассоциативность x  M  ,    :  (  x)  ( ) x   x ;2) существование в поле скаляров нейтрального по умножению элемента– единицы: 1  : x  M :1x  x ;3) дистрибутивность сложения векторов и умножения векторов на скаляры (правила раскрытия скобок) ( x  y )   x   y ,x, y  M ,  ,    : (   ) x   x   x .30Коммутативная группа называется также абелевой группой в честь Н.Х. Абеля (1802 – 1829), выдающегося норвежского математика31Полем в алгебре называется множество с определенными на нем двумя бинарными операциями, называемыми сложением и умножением, которое является коммутативной группой относительно обеих операций,за исключением существования элемента, противоположного по умножению нейтральному по сложениюэлементу (запрещено деление на нуль).

Кроме полей вещественных и комплексных чисел в теории связииспользуются конечные поля Галуа (см. разд. 8).43Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что все эти аксиомывыполняются для сигналов – как аналоговых, так и дискретных (вещественных и комплексных). Поэтому сигналы можно рассматривать как векторыи называть векторами.В радиотехнике и связи часто используются кόмплексные сигналы, принимающие значения из поля  кόмплексных чисел. Хотя все реальные электрические сигналы являются вещественными, иногда удобно пару сигналоврассматривать как вещественную и мнимую составляющие комплексногосигнала (в частности, некоторые виды модуляции и демодуляции основанына понятии комплексной огибающей). Далее, если явно не сказано обратное,всегда подразумевается, что сигналы комплексные; вещественные сигналыможно рассматривать, как комплексные с нулевой мнимой частью.

Такимобразом, далее сигналы рассматриваются, как элементы комплексного пространства (компоненты векторов являются комплексными числами и складываются при сложении векторов, а также умножаются на комплексные скаляры по правилам комплексной арифметики, см. Приложение 1).Множество всех аналоговых сигналов, заданных на бесконечной временной оси, можно рассматривать, как линейное (векторное) пространство(обозначим его L ). В самом деле, непосредственная проверка подтверждаетвыполнение для этого множества всех аксиом линейного пространства.Большой практический интерес представляет его подмножество, содержащеевсе аналоговые сигналы ограниченной энергии, заданные на бесконечной временной оси; это подмножество принято обозначать L2 (, ) или просто L2 .Легко убедиться, что это подмножество само по себе является линейнымпространством – подпространством пространства L .

В частных случаяхпространство сигналов L2 (, ) сужают, например, до подпространстваL2 (T ) сигналов ограниченной энергии, определенных на данном временнóминтервале конечной длительности T . Для такого сужения достаточно оста-44вить в рассмотрении только сигналы, тождественно равные нулю вне интервала [0, T ] ).Важная роль в теории сигналов принадлежит другому подпространствупространства L2 (, ) – пространству L2 ( F ) сигналов конечной энергии сограниченной полосой частот F . Множество l2 всех дискретных сигналовограниченной энергии, заданных на всей дискретной временной осиn  ,  , также является линейным пространством.

Между двумя последними пространствами можно установить взаимно однозначное соответствие32, что делает возможной цифровую обработку сигналов, изначально аналоговых, с последующим преобразованием результата снова в форму аналогового колебания (см. разд. 12).Поскольку определено сложение векторов и умножение вектора на скаляр, определена и линейная комбинация (взвешенная сумма) конечной сово-купности произвольных векторов xk , k  1, N :Ny    k xk ,(2.8)k 1где  k , k  1, N – произвольный набор скаляров (весовых коэффициентов).В результате суммирования получается некоторый вектор y .

Задавая при од-ной и том же совокупности векторов xk , k  1, N разные наборы коэффициентов, можно получать различные суммарные векторы.Очень важным является понятие линейной независимости векторов. Совокупность векторовN  k k  0k 1k , k  1, N линейно независима, если равенствовозможно лишь при условии  k  0 k  1, N . Другими слова-32Возможность и условия установления такого соответствия формулируются в виде теоремы отсчётов илитеоремы Котельникова45ми, линейная независимость означает, что никакой вектор из данной совокупности нельзя представить линейной комбинацией остальных.

Например,в трёхмерном евклидовом пространстве линейно независимы любые три вектора, не лежащие в одной плоскости. И наоборот, если три вектора, среди которых никакие два не совпадают по направлению (не являются коллинеарными), лежат в одной плоскости, любой из них можно представить взвешенной суммой двух оставшихся, подобрав соответствующие коэффициенты.Выбрав фиксированный набор векторов и задавая всвозможные коэффициенты, можно получить множество векторов, которые все будут линейными комбинациями этой фиксированной совокупности векторов. Множество всех таких векторов называется линейной оболочкой данной совокупностивекторов. Линейная оболочка совокупности линейно независимых векторовk , k  1, N  представляет собой линейное пространство; число N – размерность этого пространства.

Набор векторов k , k  1, N  в этом случае представляет собой базис данного пространства. Таким образом, любой векторN -мерного пространства можно, и притом единственным образом, представить линейной комбинацией N векторов данного базиса. Для любого пространства можно задать множество различных базисов, и в каждой задачеможно выбрать наиболее удобный базис.Пример 2.1. Множество S4  x1 (t )  1, x2 (t )  t , x3 (t )  t 2 , x4 (t )  t 3 , гдеt   1,1 , линейно независимо, рис. 2.7. Следовательно, это множество функций может служить базисом четырехмерного пространства – пространствавсех функций вида 1   2t   3t 2   4t 3 при t   1,1 , где коэффициенты1,  2 ,  3 ,  4 принимают всевозможные комплексные значения.

◄ (Символ ◄ здесь и далее отмечает окончание примера).46Рис. 2.7. Линейно независимая совокупность функций 2 Пример 2.2. Множество Q8   xk [n]  cos kn  , k  0, 7  функций 16 целой переменной, определенных на участке дискретной временнóй осиn  0,7 , линейно независимо (в этом можно убедиться непосредственнымивычислениями). Поэтому оно может служить базисом восьмимерного пространства,7например, 2  k cos  16 kn  ,k 0пространствавсехдискретныхсигналоввидаn  0, 7 , где  k , k  0,7 – произвольные наборы вещест-венных чисел. ◄Пространство L всех аналоговых сигналов бесконечномерно, поэтомуникакая конечная совокупность сигналов (функций) не может служить егобазисом, что достаточно очевидно.

Менее очевидно то, что не всякая бесконечная совокупность линейно независимых функций может составить базиспространства L . Бесконечная совокупность функцийxk (t ), k  1, можетбыть базисом бесконечномерного пространства L , если множество всех линейных комбинаций вида  k xk (t ) при всевозможных наборах весовых ко-k 1эффициентов  k  совпадает с пространством L (такой базис называетсяполным). Тогда произвольный сигнал из L можно однозначно задать беско47нечным набором коэффициентов разложения относительно данного базиса(разумеется, для конкретного сигнала может оказаться, что лишь конечноемножество коэффициентов отлично от нуля).

И наоборот, зная набор коэффициентов (и, разумеется, базис), можно по формуле  k xk (t ) точно опре-k 1делить сигнал. Как правило, практический интерес представляют толькополные базисы, т.к. полнота базиса гарантирует возможность представленияв этом базисе любого сигнала из данного пространства. Вопрос о полноте базиса бесконечномерного пространства решается в общем случае не просто,однако для базисов, обычно применяемых на практике, полнота доказана [5].Пространство всех дискретных сигналов, заданных при n  ,  , такжебесконечномерно. Один из полных базисов этого пространства представляетсобой бесконечный набор  -последовательностей при всевозможных цело-численных сдвигах   n  k  , k  ,  , поэтому любой дискретный сигналможно представить выражением (2.7)x[n] k x[k ] [n  k ] k  k [n  k ] .Пример 2.3.

Множество всех двоичных векторов B8  bk , k  1,8 приbk  0;1 содержит лишь конечное множество элементов (а именно 256). Темне менее, оно может рассматриваться, как линейное пространство, если сложение векторов определить через сложение их компонент по модулю33 2, а вкачестве поля скаляров принять так называемое поле Галуа GF 2  0;1 , содержащее всего два числа – 0 и 1. Такие пространства играют очень важнуюроль, например, в теории кодирования, которая составляет важнейшую часть33Сложение по модулю целого числа q определяется так, что сумма q единиц равна нулю; при сложении помодулю два выполняется равенство 1+1=048общей теории связи.

Характеристики

Список файлов книги