В.Н. Васюков - Общая теория связи (1266496), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Приёмное устройство системы связи с ортогональнымисигналами, структура которого иллюстрируется рис. 2.8, содержит m каналов, каждый из которых «настроен» на прием одного сигнала, причем все mсигналов взаимно ортогональны. В приемном устройстве формируются (генерируются) m опорных колебаний, каждое из которых совпадает с одним изожидаемых сигналов (время начала сигнала предполагается известным).

Вкаждом канале вычисляется скалярное произведение принимаемого колебания s (t ) и одного из опорных колебаний uk (t ), k  1, m . Предположим, что55принимаемое колебание совпадает по форме с одним из опорных сигналов,но может отличаться по норме (например, вследствие затухания в канале связи). Пусть, например, принимаемое колебание совпадает по форме с опорнымсигналом un (t ) , тогда на всех выходах схемы, кроме n -го, по окончании интервала наблюдения T будет нулевое значение (сигнал un (t ) ортогоналенвсем остальным опорным сигналам), а на n -м выходе – произведение нормпринимаемого и опорного колебаний, заметно отличное от нуля. Таким образом, измеряя напряжения на выходах схемы, можно определить, какой из mортогональных сигналов присутствует на входе.

В реальной системе связивходное колебание всегда содержит смесь (сумму, произведение или продуктболее сложного взаимодействия) сигнала с шумом и/или помехой, поэтомускалярные произведения на выходах схемы отличаются от указанных точныхзначений; в этом случае ортогональность сигналов гарантирует высокую помехоустойчивость системы (подробнее см. разд. 9) ◄Рис. 2.8. Структура приёмника системы связи с ортогональными сигналамиВторое преимущество пространств со скалярным произведением связанос представлением векторов относительно заданного базиса. Наличие полногобазиса некоторого пространства позволяет представить любой вектор данно38Для комплексных пространств угол определяется в общем случае неоднозначно [4]56го пространства в виде линейной комбинации базисных векторов с определённым набором коэффициентов, но отыскание коэффициентов для конкретного вектора может быть затруднительным. Скалярное произведение позволяет находить коэффициенты разложения произвольного вектора в данномбазисе.

Пусть k , k  1, N – базис пространства, в котором определено ска-лярное произведение. Тогда можно построить другой базис  k , k  1, N , называемый сопряжённым, или взаимным, такой, что при любых k и m спра1, k  mведливо выражение k ,  m    km , где  km  – символ Кронекера.0,kmЭто означает, что каждый вектор сопряжённого базиса ортогонален всем векторам первого базиса, кроме одного, с которым он имеет скалярное произведение, равное 1. Сопряжённый базис представляет собой вспомогательноесредство для разложения векторов в основном базисе.Пусть необходимо вектор x представить в виде линейной комбинацииNбазисных векторов x    kk .

Тогда коэффициент  m можно найти, какk 1скалярное произведение заданного вектора x и вектора  m из сопряженногобазиса. В самом деле:N N N x,  m      kk ,  m     k (k ,  m )    k km   m .k 1 k 1 k 1Особенно просто находятся коэффициенты разложения для произвольного вектора, если базис пространства состоит из взаимно ортогональныхвекторов, нормы которых равны 1.

Такой базис называется ортонормированным или ортонормальным. Нетрудно убедиться, что ортонормальный базисuk , k  1, N  является взаимным самому себе, или самосопряженным, так какдля него выполняется условие  uk , um    km , поэтому коэффициенты разло-57жения для произвольного вектора находятся его скалярным умножением набазисные векторы:N N N x, um      k uk , um     k (uk , um )    k  km   m .k 1 k 1 k 1Итак, для ортонормального базиса коэффициенты разложения произвольного вектора определяются наиболее просто: k   x, uk  , k  1, K .Пример 2.9. В пространстве комплексных сигналов конечной длитель-ности T , заданных на интервале  T / 2, T / 2  базис k (t )  e j kt , k  ,  ,где   2 f  2 / T , является ортогональным.

В самом деле, для двух произвольно выбранных функций из этого базиса скалярное произведение равноT /2(n ,m ) n (t )m* (t )dtT /2T / 2 0, n  m.e j ( n  m)t dt  T   m, n  T,nmT / 2Нормируя базисные функции путем умножения на 1/ T , можно полу1 j kt, k  ,   , для которого спраeчить ортонормальный базис  k (t ) Tведливо равенство ( n , m )   m, n . Коэффициенты разложения сигнала вданном базисе находятся, как скалярные произведения1 k  ( x, k ) TT /2x(t )ej2ktT dt k  ,  ,(2.9)T / 2так что любой сигнал, заданный на конечном интервале  T / 2, T / 2  , можнопредставить рядом Фурье39 по ортонормальным функциямx(t ) k k1 jeT2ktT .(2.10)39Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – выдающийся французский математик, один из основоположников математической физики58Часто используется и представление в ортогональном базисеx(t ) k Ck ej2ktT,(2.11)гдеT /2kj1Ck xte()T T T/ 22ktT dt k  ,  ,(2.12)также называемое рядом Фурье.Все базисы, упомянутые в данном примере, полны в пространствеL2 (T / 2, T / 2) .

Следует, однако, отметить, что, например, в L2 (, ) онине полны [5]. ◄Далее будет показано, что для любого унитарного пространства (пространства со скалярным произведением) можно построить множество40 ортонормальных базисов. Представление сигнала (вектора) относительно произ-вольного полного ортонормального базиса uk , k  , , ,(uk , um )   m, k называется обобщенным рядом Фурье:xk Набор k uk . k , k  , ,(2.13)коэффициентов разложения (2.13) называетсяспектром сигнала x относительно базиса uk , k  , , . Аналогично совокупность всех коэффициентов (2.12) называется спектром сигнала относительно базиса комплексного ряда Фурье (2.11).Ортонормальные базисы обладают, помимо простоты нахождения спектра, и другим замечательным свойством: зная коэффициенты разложения относительно такого базиса, легко найти нормы и скалярные произведения векторов (сигналов).59Действительно, пусть вектор (сигнал) x представлен рядом (2.13).

Егоэнергия (квадрат нормы)x22 *  x, x      k u k ,   m um      k  m uk , um  m  k  k  m  k  m *km km2m m .(2.14)Таким образом, доказано равенство Парсеваля41. В пространствах L2 иl2 равенство Парсеваля для сигналов, заданных спектрами  m , m  ,  иm , m  , относительно полных ортонормальных базисов этих про-странств, принимает соответственно вид2 | x(t ) |dt m m2и2x[n] n m 2m .Пусть два вектора представлены в некотором общем для них полном ортонормальном базисе выражениями x k  k uk и y k  k uk .

Тогда ихскалярное произведение **( x, y)    k uk ,  mum     k m km   mm.mm k  k  m(2.15)Это выражение носит название обобщенной формулы Рэлея. Нетрудновидеть, что равенство Парсеваля получается из обобщенной формулы Рэлеякак частный случай при x  y . Значение этих равенств состоит в следующем:при решении задач, связанных с сигналами, в качестве описаний сигналоввсегда можно использовать их спектры относительно полных ортонормальных базисов, т.к. взаимное расположение векторов определяется углами ме40Даже в двумерном пространстве (на плоскости) можно задать бесконечно много различных ортонормальных базисов; тем более это справедливо для пространств сигналов.41Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) — французский математик60жду ними, которые выражаются через нормы и попарные скалярные произведения; при этом конкретный вид базиса не имеет значения, если базис ортонормальный.Обобщенный ряд Фурье (ОРФ), представляющий произвольный сигнализ бесконечномерного пространства L , содержит в общем случае бесконечномного слагаемых (в частных случаях, разумеется, некоторые коэффициентыили даже все они, могут быть равны нулю).

При практическом вычислениикоэффициентов разложения сигнала всегда приходится ограничивать рассмотрение усечённым рядом, то есть его частичной суммой x , которая аппроксимирует данный сигнал x :Kx  x    k uk .k 1При этом возникает вопрос, какое количество коэффициентов K достаточно для представления сигнала с заданной точностью.Усеченный ОРФ – это представление сигнала в виде линейной комбинации конечного количества K базисных векторов, поэтому x принадлежитK -мерному пространству LK – подпространству пространства L . Посколькувсе базисные векторы взаимно ортогональны, ошибка аппроксимации  x  x , которая равна сумме всех отброшенных слагаемых обобщённогоряда Фурье, ортогональна по отношению к LK и принадлежит его ортогональному дополнению L , такому, что L  LK  L , (см.

рис.2.9). Символ обозначает прямую сумму пространств (например, трехмерное евклидовопространство можно представить прямой суммой некоторой плоскости ипрямой, ортогональной этой плоскости). Поскольку векторы x , x и  имеютвзаимное расположение в виде прямоугольного треугольника, то согласнотеореме Пифагора6122 x  x2222 x K2k 12  k ukK x   |  k |2  022k 1(ясно, что норма любого вектора не может быть отрицательной), откуда следует неравенство БесселяK |  k |2 k 12x 2.(2.16)Оно означает, что при аппроксимации сигнала x частичной суммой x обобщенного ряда Фурье энергия аппроксимирующего сигнала x не может превзойти энергию аппроксимируемого сигнала x . Равенство возможно только втом случае, если сам сигнал x принадлежит подпространству LK .С увеличением размерности подпространства LK , то есть с увеличениемчисла слагаемых, входящих в частичную сумму обобщенного ряда Фурье,норма ошибки  стремится к нулю (в этом и состоит практический смыслтребования полноты базиса: задав допустимую норму ошибки, можно подобрать число K слагаемых, такое, что норма ошибки будет меньше заданной).Таким образом, располагая полным ортонормальным базисом, можно обеспечить сколь угодно точную аппроксимацию сигнала суммой конечного числа наперёд заданных функций с соответствующими весовыми коэффициентами; при этом гарантируется, что при заданном числе слагаемых нормаошибки аппроксимации будет минимальной.

Характеристики

Список файлов книги