Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В стационарном режиме с ам- 4 плнтудой Аз средняя крутизна 3 3«р« =3 — — п«А'3. 4 Рй133) Подставляя Я,р и Зрр, в (4.182), получаем лА 3 2 — = — та~ ~С А. (4.184) т(т 4 Юсрз Преобразуя правую часть (4.184) с использованием соотношений (4.118), (4.167) и (4.152), получаем первое из укороченных уравнений (4.164). Как уже отмечалось, метод медленно меняющихся амплитуд, как и квазилинейный метод, применим для рассмотрения автоколебательных систем, колебания в которых близки к гармоническим. Оба метода в конкретной схеме позволяют получить одни и те же результаты (в отношении условий самовозбужцения, стационарных режимов и их устойчивости, переходных процессов).
Сопоставляя эти методы, отметим, что квазилинейный метод требует лучшего понимания происходящих в схеме процессов как при составлении, так и при анализе уравнений стационарных и переходных режимов. В нем широко используются характеристики, распространенные в инженерной практике (колебательные, средней крутизны, средней проводимости и др.), а получающиеся решения имеют более общий характер: они не связаны с конкретным видом характеристики нелинейного элемента, поскольку не требуется предварительная аппроксимация последней. 4.6.
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ, ФАЗОВЬ(Е ТРАЕКТОРИИ вЂ” "=Р(х,у), б1 б— У -а(х. у). (4.165) Метод фазовой плоскости является качественным методом интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, получившим широкое применение в радиотехнике и теории автоматического регулирования. При решении дифференциальных уравнений второго порядка появляются две постоянные интегрирования, для определения которых требуется задание двух независимых начальных условий.
В качестве последних чаще всего используются значения функции и ее производной в некоторый момент (о. Вти начальные условия могут быть заданы в виде координат плоскости состояний системы, характеризуемых величинами х, у. Плоскость х, у называется фазовом плоскостью. Последующее изменение координат плоскости происходит однозначно в соответствии с решением дифференциального уравнения, т. е.по определенной траектории на плоскости. Каждая точка этой траектории полностью определяет состояние системы в некоторый момент времени й Уравнения рассмотренных выше автогенераторов, содержащих контур (.С, могут быть записаны в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка: Если исходное уравнение ~их — +Ф(х) — +ге ОХ=О, ех сп2 Лг (4.185) то его также можно записать в виде двух уравнений первого по- рядка: (4.$87) —" = — Ф(х) у — оР,х. еУ (4.189) се=У „+ '„=У 1'"+Д'.
(4 18О) На рис. 4.34 в точке М, построен вектор фазовой скорости Че и его компоненты Ч„и Ч . Направление перемещения изображающей точки, указываемое стрелкой, определяется знаками о„. и о„. Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется фазовыи нортретои. 169 Уравнения (4.187) явлпотся частным случаем уравнений (4.185), когда Р(х, у) =у, Я(х, у) = — оРох — Ф(х)у.
(4 188) Откладывая по координатным осям (рнс. 4.34) переменные х и у, получаем фазовую плоскость, точки которой определяют состояние системы. Начальным значениям к~ы=хц и у(с,=уь на плоскости соответствует точка Мь, называемая изображающей точкой, которая характеризует состояние системы в момент йь Так как х и у изменяются во времени согласно (4.185), к моменту 1,)4ь изображающая точка пе- „м( ) реместнтся в М, (с координата- е ми х~ н у1). Траектория перемещения изображающей точки по у 1~ 'ч ч~ фазовой плоскости называется фазовой траекторией.
Скорость перемещения изображающей точки по фазовоч т~ траекторнн называют фазоеой скоростью. В любой точке фаза- П х вой плоскости эта скорость ое Рнс. 4.34 направлена по касательной к фазовой траектории, а величина се выражается через скорости изменения координат (4.185) о„=йх/И=Р(х, у), от=йу7й(=Я(х, у) Для построения фазовых траекторий, т. е. зависимости у(х), нужно нз уравнений (4.185) исключить время. Деля одно из зтнх уравнений на другое, получаем уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме: г(у/г(х=О(х, у)/Р(х, у). (4.191) Уравнение фазовой траектории у(х) может быть получено и результате интегрирования (4.191).
Аналитически это удается сде- лать лишь в простейших случаях (см. ниже пример ЬС-контура без потерь). В большинстве случаев переменные в (4.191) не раз- деляются и расчет фазовых траекторий следует осуществлять чис- ленными методами на ЭВМ. Известны н графические методы рас- чета и построения фазовых траекторий: метод нзоклин, дельта- метод, метод Льенара и др. [24, 21. Прн построении фазовых траекторий нередко используются изоклины — лн. ннн, во всех точках которых угол наклона а касательной к фазовой траекто- рнн одинаков.
Уравнение нзоклгны =й, ау гг (» у) (4.192) г(л Р(л, у) где й=(п а. Уравнение изоклины вертикальных касательных получается нз (4Д92) прн й=сог 1*(к, у) =О. (4.193) Уравнение изоклины горизонтальных кпсательных получается нз (4.192) прн Й=Ог О(к, у) =О. (4.194) Если исходными уравнениями считаются (4.187) нлн (4.186), то согласно (4.188) н (4.193) касательные к фазовым траекторням будут вертикальными на осн абсцисс (у=О), горнзонтальнымн на линии у взгл/(Р(л). Записав первое яз уравнений (4.187) в виде дх=уЖ, убеждаемся в том, что в атом случае в верхней полуплоскостн (У>0) изображающая точка движется в направлении увеличения координаты к, поскольку пря Ш>0 получаем ах>О, в нижней полуплоскостн (У<О) — в направленнн уменьшения к, так как прв гЫ>0 бк<0. Среди многочисленных фазовых траекторий особое значение имеют те, которые определяют возможные состояния равновесна и режимы периодических колебаний.
Уравнение (4.191) однозначно определяет касательную к фазовой траектории во всех. точках, кроме тех, в которых одновременно Р(хо, ус) =О н Я(хо, ус) =О. (4.195) Точки (хс, уо), в которых выполняются условия (4.195)„называются особыжи точками. Фазовая скорость в особых точках равна нулю, поскольку производные г(х/г(1=0 и г(у/с(1=0, и позтому координаты изображающей точки во времени не меняются: х= =хо=сова( н у=уо=сопз1. Следовательно, особые точки фазовой плоскости соответствуют состояниям равновесия системы.
Рассмотрим ряд примеров. 170 Пример 1. Свободные нолебаиия в ьС-контуре без потерь описываютси уравнением й'х — +асях=б. Решение этого уравнения х=Аз(п(юе(+~р) соответствует гармоническому нолебанию, амплитуда А и фаза гр которого определяются начальными уело~вяни Покажем. что метод фазовой плоскости приводит к тому же результа ту. Согласно (4.187) записываем исходное уравнение второго порядка в авда двух уравнений первого порядка: "У з (4Л96) Поделив почлениа второе из этих уравнений на первое, получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий — = — егт —. ду х а „° Разделяя переменные н интегрируя, получаем уравнение фазовых траек. торий хз уз — + — =С, 2 2юэ е где С вЂ” яоггоянная интегрирования, определяемая начальными условнямн.
Фазовые траектории, соответствующие различным зна- П чеиням С, имеют характер вложенных друг в друга эллипсов (рис. 4.33а). ' '--~ Р+— ~ считанная согласно (4.199) и (4.196), ни в одной точке эллиптических траекторий не обращаетси в нуль. Поэтому последние соответствуют периодическим колебаниям. Единственной особой точкой (ее=О) является начало координат (х,=О, у,=О). Особая точка, охваченная фазовыми траекториями, имеющими характер вложенных друг в друга замкнутых кривых (эллипсов, окружностей и пр.), называется особой точкой хипа центра. Такая особая точка характеризуется тем, что в случае возникновения небольшого отклонения от состояния равновесия в системе возникают небольшие ненарастающие колебания около этого состояния. Изменением масштаба по одной из осей можно превратить (( фазовые траектории в круговые.
Для этого досгаточно заменить х на х,=-гэ,х. Подставляя я=Мыс в (4.197), убеждаемое в том, что «~г У Уз=йгезцС. При замене х иа х, фазовые траектории лля различных С превращаются з концентрические окружности (рис. 4.356) радиуса р= )г 2гегеС. П и движении по такой траекто- (4.19уя р Рии фазовая скорость Рнс.
4.35 "-~(~ ~~~)*~«~«г-гпач ь"- ~ оказывается постоянной во всех точках, а угловая скорость перемепюния изображающей тачки по любой фазовой траектории ю- ые одна и та же. Это . 171 означает, что при любых отклонениях от состониия равновесия в системе возникают гармонические колебания к,(Р), определяемые проекцией изображающей точки иа ось абсцисс, амплитуда и фаза которых определяются начальными условиями (рис. 4.35в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
