Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пример 2. Колебания в колебательном контуре с потерями описываются уравнением бз х срх — +аз — +л х= О, (4Л98) где а~ 2а=г/С, аз=вас 1/5С, Переходные процессы в таком контуре ииекп колебательный характер, если корни характеристического уравнения пт уг'аг (4.199) Пх — 2 — 1/ ~ 2) комплексные, т. е. аз>(а1/2)а. В последующем для упрощенна выкладок считаем а'~вам (4200) Решение (4.198) при условии (4.200) имеет вид х=А е — а~ а(п(юг(+ар), (4.201) где А и ф определнют"я начальными условиями, а частота свободных колебаний в,= )~ взз — аз.
для определецня характера фазовых траектории воспользуемся решением (4.201). дифференцируя его, получаем бх а,Г у — — =Ам е а ~сов(втг+ч) — з(п(вар+ ч)1. 81 На основании (4.200) пренебрегаем вторым слагаемым в квадратных скобках, прнниман у =Ам, е — о' сов(в~.'+ср) . (4,202) Заменяя х на х~=в,х, имеем х1= А в1 е-а' а1п (в11+гр) . (4.203) Для построения фазовых траекторий на плоскости хьу обозначим онр+гр=ф, в1А е-о'=р (4 204) ерепншем (4.203) и (4202) в полярных координатах: х|=р з(пф, и п у=рсозф Исключая из (4.204) время 1, получаем уравнение фазовой траекторви а (Ф ю) р=вт Ае (4.205) соответствующее свертывающейся логарифлшческой спирали (рис.
4.36о). При иных начальных условиях получим другие спирали, сходящиеся к началу координат. Каждая спираль соответствует затухающему колебанию, построенному на рис. 4.36а. Начало координат соответствует устойчивой особой точке, нбо всякое отклонение от иее с течением времени затухает. Особая точка, охваченная фазовыми траекториями вида вложенных друг в друга закручивающихся спиралей, называется особой точкой гиии устойчивого фокуса Если в (4.198) а,=2а<0 (отрицательное затухание может быть следствием использования положительной обратной связи или введения отрицательного сопротивления), величина р в (4.205) с течением времени будет возрастать, а потому фазовые траектории будут иметь характер раскручивающихся спиралей (рис. 4.36б). Амплитуда таких колебаний будет нарастать по зкспоненциалькому закону, состояние равновесия окажется неустойчивым. Особые точки, охваченные фазовыми траекториями, имеющими характер вложен- иых друг в друга раскручивающнхсв спиралей, называютсн особыми лаками тила нвуогодчивоео фокуса.
Пример 3 Процессы в контуре, описываемые (4)26) уравнении (4 ЫО) виях должны быть вещественными. Здесь возможны три случая: Рнс. 4.36 1) аз<0, а,— любое; корни р1 и рз — действительные разных знаков: л = А, ео' + А, ел* г, (4206) у= — =А, р,е"1 + А,р,ео' . бх ~ г г(г Есин А,ФО и АзФО, то с увеличением Г одна компонента выражений (4.206) стремится к нулю, вторая — к бесконечности. Следовательно, с течением времени система удаляется от состонния равновесия", последнее оказывается неустойчивым. Характер получающихся фазовых траекторий вблизи особой точки х,=-О, уз=О показаны на рис.
4.37а. Такая особая точка называется седлом. 2) а~>О, 0<аз<(а,/2)з; корин р~ и рз — действительные отрицательные. Величины каждого слагаемого в выражениях (4.206) стремятся к нулю. Лю- Рис. 4.37 )73 и Седло Рис. 436 , Х бая изображающз.'н тоыса с течением времени приближается к особой точке по апериодическому закону, как показано на рис. 4.37б, особая точна устойчива. Таггая точка называетсн устойчиоыл узлохч 3) а,<0, 0<аз<(аей)з; корни р, и да — действительные положительные.
Оба слагаемых в выражениях (4.206) нарастают, в результате чего изображающая точка удаляется от состояния равновесия по апериодическому закону, как показано иа рис. 4.37в. Особая точка неустойчива и называется яеуггойчовыл узлом. Эависимость характера особых точек от козффипиевтов линейного уравнения (4ййз) показана иа рис. 4.36. рассмотренные примеры показывают, что вид фазовых траекторий вблизи особой точки полностью определяет ее устойчивость. В частности, если изображающая точка с течением времени удаляется от состояния равновесия, последнее является неустойчивым, если приближается к нему, то асимптотическн устойчивым. В случае нелинейных систем исследование характера фазовых траекторий вблизи особых точек совпадает с исследованием устойчивости состояний равновесия по Ляпунову (см. $4.2), при котором нелинейная система второго порядка (4.69) для малых отклонений заменяется линейной (4.74).
Поскольку (4.74) не отличается от рассмотренного здесь уравнения (4.198), особые точки для нелинейных цепей второго порядка могут быть только тех же шести видов: центр, устойчивый и неустойчивый фокус, устойчивый и неустойчивый узел и седло. Фазовые траектории бывают разомкнутые и замкнутые. Последние заслуживают особого внимания. Если изображающая точка движется по замкнутой фазовой траектории и притом такой, что ни в одной ее точке ое не обращается в нуль, т.
е. она не проходит через особую точку„то по прошествии некоторого определенного времени Т процесс (изменение х и у во времени) будет повторяться. Следовательно, такая фазовая траектория характеризует периодическое колебание с периодом Т. Замкнутые фазовые траектории, соответствующие возможным периодическим колебаниям, называются предельными циклами. Если соседние фазовые траектории с течением времени приближаются к предельному циклу„как показано ниже на рис.
4.39а, такой предельный цикл называется устойчивым; он соответствует устойчивому периодическому колебанию. Предельный цикл, от которого соседние фазовые траектории с течением времени удаляются, называется неустойчиеым предельным циклом; ои соответству- ет неустойчивому периодическому режиму. В реальных системах могут существовать периодические колебания, соответствующие только устойчивым предельным циклам. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ КОЛЕБАНИЙ ГЕНЕРАТОРОВ фазовыми портретами колебаний исспедуемых систем называют совокупность большого числа фазовых траекторий, определяющих характер процессов в системе при любых начальных условиях. Построим такие портреты для генераторов, работающих в различных режимах. Ряс.
4.39 На рнс. 4.39а изображен фазовый портрет колебаний генератора в мягком режиме, соответствующем взаимоиндукции М=М, на рис. 4.26, при которой в генераторе возможны два стационарных состояния: равновесия (точка 0) и периодических колебаний (точка Ао). Уравнение генератора (4.161) для этого режима (ао~ (О, Т)0) запишем как с(и/с(1=у, йу/Ж= — ((2а,+уи') у+оооои). Фазовая скорость пф = ~'у'+ ( (2а, + уи') у+ со'ои)'.
(4.207) Координаты ио, уо особых точек (состояний равновесия) определяем из условия пф=О. Б правой части (4.207) оба подкоренных слагаемых положительны, поэтому ио=О и уо — — О, единственная особая точка соответствует началу координат. При малых и (4161) не отличается от (4.198), а поскольку а,(0, особая точка имеет характер неустойчивого фокуса, т. е. фазовые траектории около нее соответствуют рнс. 4.36б. Устойчивые периодические колебания с амплитудой (7' характеризуются устойчивым предельным циклом, который при надлежап1ем выборе масштабов близок по форме к окружности. Учиты- 175 вая, что колебания с очень большой амплитудой являются затухающими, поскольку реальный источник питания не может отдавать энергию, необходимую для поддержания таких колебаний, и что все переходные процессы носят колебательиый характер, получаем фазовый портрет, приведенный на рис.
4.39а. Генератор в жестком режиме при М=л44 на рис. 4.27а обладает тремя стационарными режимами, и его фазовый портрет (рис. 4.39б) характеризуется следующими особенностями: а) состояние равновесия, соответствующее началу координат, является устойчивым; б) стационарные колебания с меньшей амплитудой 6'" — неустойчивые, с большей (7' — устойчивые.
Из приведенных на рис. 4.39 фазовых портретов вытекает важная особенность предельных циклов: они разделяют области с различным характером фазовых траекторий, соответствующих нарастающим и затухающим колебаниям. По семейству фазовых траекторий можно наглядно определить: возможные состояния равновесия и их устойчивость, возможные периодические режимы (амплитуду, частоту и форму колебаний) и их устойчивость, а также характер переходных процессов при любых начальных условиях. Таким образом этот метод позволяет выявить все те характеристики интересуюшего нас устройства, которые могут быть получены из решения дифференциального уравнения.
Прн этом метод фазовой плоскости пригоден для рассмотрения систем, колебания в которых могут иметь любой характер: гармонический или релаксационный. В этом отношении он является более общим, чем квазилинейный метод или метод медленно меняющихся амплитуд, пригодные для анализа только таких систем, колебания в которых мало отличаются от синусоидальных. 4.7. ГЕНЕРАТОРЫ НА ДВУХПОЛЮСНИКАХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГО МЕТОДй Автогенераторы на двухполюсниках с отрицательным сопротивлением (ОС) являются основными в диапазоне сверхвысоких частот.
К их числу относятся генераторы на полупроводниковых и электровакуумных приборах: диодах Ганна, туннельных и лавинно-пролетных диодах, отражательных клистронах, лампах обратной волны, магнетронах. В большинстве случаев эти генераторы являются генераторами почти гармонических колебаний, и основ. ным методом анализа их работы, как и генераторов с внешней обратной связью, является квазнлиней- 5 ~" ный. ~Ь Схема генератора на двухполюснике с ОС приведена на рис. 4.40. Она отличается от схемы рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
