Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 34
Текст из файла (страница 34)
! (4.156) Прн Р(и, и) =О решение (4.155) является гармоническим колебанием вида (4.154) с периодом колебания 2п. Прн этом й=- — А зйп(т — гр). (4. 157) Если г(и, й) чьО, но принимает достаточно малые значения, можно решение (4.155) или и и й искать в виде (4.154) и (4.157), счнтая А=А(т) и гр=ф(т) медленно меняющимися функциями времени. Предположение о медленности изменения амплитуды и ' Для того чтобы подчеркнуть малость функции г(я, й), уравнение (4.155) часто ааписывают в виде в+и=)гр~(и, п), считая здесь в<1, а Р~(н, й) — одного порядка с и н й.
Для (4.155) можно принять )г=л. фазы колебания основывается на том, что в колебательных контурах относительное изменение этих величин за период колебаний оказывается порядка пЯ, а поэтому при больших добротностях С7 этн изменения действительно небольшие. Поскольку из (4.154) производная и= — А з(п(» — ф) +Асов(» — ф) +А«р з(п(» — ф), (4.156) определение й согласно (4.157) означает наложение дополнительного условия А сов(» — ф) +А«райн(» — ф) =О, (4.159) Определяя теперь й из (4.157) и годставляя полученное выражение, а также (4.154) и (4.157) в (4.155), имеем — А з!п(» — «р) +Аф сов(» — ф) =Г(А сов(» — ф), — А з(п(» — «р) 1. (4.160) обозначая Решаем совместно два последних уравнения » — ф=«р: «!А — = — з(п«р г(А созф, — Аз(п«)«), ««» (4.161) — ф = — сов «рг" (А соз«р, — А з(п«р).
«!ф ! с«» А До сих пор никаких ограничений на зависимости А(») и «)«(») не накладывалось, поэтому (4.161) являются столь же точными, как и (4.155). Теперь наложим на эту систему ограничение: заменим скорости изменения А и «р в пределах периода колебаний средними скоростями их изменения, т. е. примем — = — 1А (2п) — А (О) 1, — = — (ф (2п) — ф (О) 1, «И 1 «1ф 1 «!» 2п «!» зп что допустимо в случае медленности изменения этих величин, т.
е. использования колебательных систем достаточно высокой добротности. Заменяя правые части (4.161) их средними значениями за период 2п, получаем = «1«««(А) э «!А «!» (4.162)' — =Ч'а(А), йр «!» где фз (А) = — — ~ Р (А соз «р, — А зйп ф) з1 и «р «!«)«. ! г «« (4.163) Ч«,(А) = — ) Р(Асов«р, — Аз(п«)«)соз«)««1«). ! и 2пА,) а !63 Уравнения (4.162) называются укороченными, или уравнениями медленно меняющихся амплитуд и фаз, поскольку они справедливы в тех случаях, когда А и ф медленно (мало) меняются за период колебаний. Из выражения (4.162) следует, что в общем случае в процессе установления колебаний, т. е. при изменении амплитуды А, происходит изменение и величины о2ф/ААт. Следовательно, во время этого процесса мгновенная частота колебаний ы', определяемая как ы = — =ы — =Аз[1 — -Ч"2(А)1, йф йр 211 211 2 — = — (2, А- — А')А,~ ИА г т 212' ~ 4 2~Я' ~ — м"2 211 22 (4. 164) Переходим к исследованию укороченных уравнений.
СТАЦИОНАРНЫИ РЕЖИМ В стационарном режиме амплитуда А и фаза ф постоянны. Положив в (4.164) 2(А/211=0 и иф/211=0, получим уравнения стационарного режима: (2а2+ 2 А2)А=О, «2~ — «2~о=О. (4.165), (4.166) 4 164 также меняется. Величины — 2Фв(А) и 2Ч"2(А) являются коэффициентами при з(пф и созф разложения функции г'(Асозф, — Аз1пф) в ряд Фурье.
Это означает, что для получения укороченных уравнений нужно в правую часть нелинейного дифференциального уравнения (4.155) подставить и=А сов ф и й= — А япф, разложить полученное выражение в ряд Фурье и приравнять величину — 22/А/А/т коэффициенту ряда прн з|пф и 2Адф/2/т коэффициенту ряда при соз2р. Достаточно часто амплитуды первых гармоник функции Г(Асов ф, — Аз(п ф) можно получить с помощью элементарных тригонометрических преобразований. Так, в случае уравнения (4.151) из (4.156) имеем 1 Е(и, й) = — (2а,+уА2соз'ф)А япф+зА сов ф= =(2о,+ — уА ) — з(пф+зАсозф+ — А япЗф. ! 2 А 7 з 4 22 422 Используя коэффициенты при з(пф и соз ф, получаем укороченные уравнения 2 — = — ~2 а + — А2) —, 2 — =з из ~ 4 22 йт или, возвращаясь к времени 1=т/ьь А Аз+ЬА.
(4.1701 Подставляем (4.170) в первое из уравнений (4.164). Учитывая, что блей!! О. я пренебрегая нз-за малости ЬА. слагаемыми с ЬА в степени выше первой, получим 2 — + 2 аз А, + 2аз ЬА + — у Аз + — т Ао Ь А = О. НЬА 1 3 3 3 б! — ' ' 4 о 4 Исключая подчеркнутые слагаемые, удовлетворяюшие уравнению (4.!66), получим: ЫРРА — ~+л1ЬА =О, и! (4.171) где аг = а.+ (3/6) ТАзь (4.1'72) Согласно критерию Рауса — Гурвица величина ЬА. получаемая иэ решения (4.17Ц, будет с течением времени затухать, т. е.
колебание с амплитудой Аз окажется устойчивым, если аз>0. (4.173) Подставляя А~ 0 в (4.172), убеждаемся, что состояние равновесия явлжтся устойчивым, если а,>0 илн М(М„р. и неустойчивым, если о,~О, т. е выполняется условие самовозбуждення (4.169). Для Аз Аз из (4.172) 0 (4.!67) и, йпз, стационарный динамический режим согласно [4.173) является устойчи. вым, если о (О или Мокр. УСТАНОВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ГЕНЕРАТОРЕ Для нахождения закона установления амплитуды колебаний А (1).
воспользуемся первым укороченным уравнением (4.164), умножив все его слагаемые на А: — Аэм — 2из( 1+ У Азр)Аэ. и! ~ 6 аз 1'66 Из (4.165) получаем два значения амплитуды: А)=О, Аз=)/ — 8аз/Т, (4.167) Из них первое соответствует отсутствию колебаний, а второе с учетом (4.152) — амплитуде А = 2 )~'5 гг!М (4.168) '= 1/злз полученной выше (4.141). Амплитуда АзФО, если М>М, =гС/о, (4.169) что определяет условие самовозбуждения автогеиератора. Зависимость стационарной амплитуды А от величины М„получающаяся из (4,168), соответствует рис.
4.26б. Прн М =М„„ единственным решением является А,=О, при М)М„р получаем два значения: А!=О и АзФО. При А=Аз согласно (4.166) частота ш=шм Используя укороченные уравнения, можно проверить устойчивость стационарных режимов. Для этого предположим, что амплитуда А отклонилась нз небольшую величину ЬА от стационарного значения Ас (нм может быть А, илн Аз): иеля правую и левую части на квадрат амплитуды Ааа стационарных колебаний, используя (4.167) и обозначая К= (А/Аа) ~, (4.174) приходим к уравнению г(К/сЫ= — 2а,(1 — К)К.
Разделяем переменные: аК =2а Ш. Интегрируя, получаем — =Ст е, где С, — постоянная -га Ю 1 — К интегрирования. Находя К, подставляя его в (4.174) и принимая во внимание, что в автогенераторе 2а,(0, получаем Ах ' — г- — -Г~— (4.1751 1+ Се. Из (4.175) Здесь Се=1/Сь Обозначим через А(0) амплитуд А и и Г=О.
у при Со= (А'г/Л'(О) ) — 1. Теперь закон изменения амплитуды записывается как А=А,/ 1/ 1+/ — ' — 1~ е ~л'(о) (4.176) А При заданной величине 2пэ д/и) е 3 характер изменения амплитуды во времения определяется со- 7' г 7 - отношением стационарной и начальной амплитуд. Во всех случаях при 1-эсо А-ам Если Л(0) (Аь то амплитуда Л монотонно возрастает, приближаясь к Ам как показано на рис. 4.33. Когда амплитуда колебания нарастает, начиная с очень малой величины А (О), обязанной наличию флуктуаций, т. е.
когда Рис. 4.33 Аа/А(0) ~1, Са =А'а/А' (О) (4.177) Пренебрегая для начального этапа нарастания амплитуды единицей в знаменателе выражения (4.175), получаем А = А (О) е'"э" (4.178) экспоненциальный закон нарастания амплитуды. Причина этого состоит в том, что при малых амплитудах генератор ведет себя как линейный колебательный контур с отрицательным затуханием, а в последнем нарастание амплитуды колебаний происходит по экспоненте. При больших амплитудах сказывается нелиней- 1И (4.132ь ность генератора, в результате чего происходит постепенное приближение к амплитуде Аз. Теоретически время установления колебаний 1„, как следует из '(4.176), бесконечно большое, если А(0) отличаетсЯ от Аз.
ОбРатимся к вычислению времени установления 1„ для случая А /А(0) »1, определив 1» как время, в течение которого амплитуда А нарастает до 0,9А». Используя (4.176), запишем (4.175) как 0,8 ~ 1+ — е 1 ж 1 или 2 — =е . (4.179) Аз -2 1о 11 1 Аа 1о«1 к» Аз (О) 1 А (о) Отсюда время установления колебаний (»= — )п 2 — '= — '1д 2 — ' 1 Аэ 4,6 Аз (4.180) )а, ! А (О) ) 2 ,) А (О) Отношение Аз/А(0) обычно бывает порядка 10з — 10». Поэтому даже тогда, когда регулировка параметров схемы в широких пределах вызывает изменение амплитуды Аз в 2 — 3 раза, величина )й 2 — изменяется незначительно. Рассмотрим зависимость 1» .4« А« от ) а,~, представив последний как 1 (а,)= — шэ~(МЮ вЂ” гС) = — «Р Я ~М вЂ” — »)= — «~ ~ — — 1) .
2 2 ' ~ ы,30~ 2 О(,й4„ (4.181) Полагая, что при регулировке параметров схемы частота ш« остается неизменной, убеждаемся в том, что увеличение М илн 5 приводит к уменьшению 1»; уменьшение добротности контура Я (за счет увеличения г или С) вызывает увеличение 1», если же при этом изменять М так, чтобы М1М„р=соиз1, время установления 1„уменьшится. Время установления колебаний 1 при неизменных ~а,( и Аз зависит от начальной амплитуды А(0), определяемой флуктуацнонными процессами: при меньших А(0) 1„возрастает. Как правило, при каждом включении генератора А(0) оказывается разной, а потому различными оказываются и 1„. Покажем теперь, что общее уравнение переходного процесса (4.123), полученное квазнлинейиым методом, приводит в рассмотренном случае мягкого режима саиовозбуждения к тому же закону (4.176) изменения амплитуды А во времени.
Для этого достаточно показать, что (4.123) сводится при кубической аппроксимации вольт-ампераой характеристики нелинейного элемента к первому из укороченных уравнений (4Л64). Используя принятое здесь обозначение (11 А), перепишем (4.123) в виде «А 7 ~ср ~ср«) и ~ 3 3 Лля мягкого режима 8«р=з — — а«А'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
