Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 29
Текст из файла (страница 29)
А. Ляпуновым было доказано, что это имеет место в случаях, когда решение линеаризованных уравнений возмущения аспиптотически устойчиво или неустойчиво. Если же решение линеаризованных уравнений приводит к устойчивости неасимптотической (например, к малым незатухающим колебаниям около состояния равновесия), для нелинейной системы такое решение может оказаться неверным, поскольку отбрасываемые при линеаризации выражений (4.66), (4.72) и других нелинейные члены высшего порядка малости приобретают теперь решающее значение. Подтвердим сказанное примером. Пусть уравнения вариаций системы второго порядка имеют вид пх гЫ вЂ” — — му ) их')/ха+ уз — = и х+ п у )/ха+ уе, (492), (4.93) пу 4! где и сапа!.
Будем рассматривать движение на плоскости х, у. Обозначим г= )/хэ+у" — расстояние до начала координат. Умножая (4.92) на х, а (4.93) на у и складывая их почленно, получим уравнение г(ггг(!=ига. Разделяя иеременные и интегрируя от гз до А полагая, что при этом расстояние изменяется от г, до г, получим г=гог'(1 — и О(! — Ц). (4.94) При и(0 и г-ьчь г-ьо, что соответствует асимптотической устойчивости„ при сг)0 и (-ь(о+)(ига г-~-са, что означает неустойчивость состояния равновесия. Если же линеаризовать правые части уравнений (4.92) и (4.93), палучкм г(л иу дз.к г(! ' й! гу — =-тлу, — =ах или — +и'х=о. Корни соответствующего характеристического уравнения будут мнимыми (как для колебательного контура без па'~ерь), что оаначает существование колебаний с постоянной амплитудой г= =сонэ(, т. е.
неасимптотическую устойчивость состояния равновесия. Как вздвм в данном случае анализ устойчивости состояния равновесия нелинейной системы по линейным уравнениям первого приближения приводит к неверным результатам. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА М. А. Ляпуновым был предложен и другой метод анализа устойчивости состояния равновесия нелинейных систем, называемый прямым или вторым методом Ляпунова.
Этот метод основан на формировании и рассмотрении специальных функций у(х, у), где х и у — небольшие отклонения (вариации) переменных от состояния равновесия', соответствующего х=О и у=О. Требования к функции У1х, у): в некоторой области, окружающей начало координат, У(х, у) непрерывна вместе со всеми частными производными первого порядка; в начале координат У(0,0) =0; во всех остальных точках этой области У(х, у) отличается от нуля и принимает значения одного знака. Функция У(х, у), обладающая такими свойствами, называется знакоопределенной: определенно-положительной или определенно- отрицательной. Функцию называют знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она также сохраняет в области постоянство знака, однако нулевые значения имеет не только в наоале координат. Эти функции называют функциями Ляпунова.
Рассмотрим некоторые функции У(х, у). Функция У=х'+у', (4.95) построенная на рис. 4.19а, является знакоопределенной (определенно-полоакительной): в точке равновесии 1'(О, 0) =О, а в любых других точках У>0. Функция У=ха — 2ху+уа=1х — у)а, построенная на рис. 4.19б, знакопостоянна (положительна), но не знакоопределенна, таккак У=О не только в начале координат, но и в точках, где х=у; при иных значениях х и у У:»О. Обращаясь к знакоопределенным функциям, у например к (4.95), можно х е заметить, что кривые и У .5' У(х, у) =С, где С вЂ” фиксированный параметр, яв- х .Щ ляются замкнутыми кривыми, охватывающими на- Рис.
4Д9 чало координат, причем кривые с меньшими С располагаются ближе к началу координат. Используя эту особенность у-функций, М. А. Ляпунов доказал теоремы [8) Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного Р "У ФУ Р Р ° Р Р У ся наума неаааисимыми переменными х и у, хотя метод применим дая систем акуаоуо порядка !4! р'(х. у), производная которой Ир/Их была бы знакопостоянной функцией противоположного с Г знака нли тождественно равна нулю, то равновесие системы в начале координат устойчиео.
Теорема 2. Если же производная пГ/ох йвляется знакоопределенной функцией противоположного с $' знака, то равновесие системы в начале координат асимптотически устойчиво. Для иллюстрации этих теорем на рис. 4,20 построено несколько замкнутых кривых определенно-положительной функции У Х 'и'(х, у) =С для значений С1( <Се<Си. Аргументами функции и'(х, у) являются отклонения х и у от состояния рав/ новесия, которые изменяются и во времени в соответствии с характером возмущенного движения. Поэтому н значения функций $'(х(т), у(П) и ее производной й'и/Ф также изменяРис. 4.20 ются во времени.
Пусть производная с(Р/Ж знакоопределеина и имеет противоположный с $' знак, для рис. 4.20 она определенно-отрицательна (с()т/И<0). Если в начальный момент /с Р-функция имела значение Го=Си, то за время т — (о она изменится на величину $' — т'е — — ( ~~ й/:О. от' ~(4.96) Очевидно, и'<Гс=-Св. В рассматриваемых условиях с течением времеви функция )т последовательно проходит через значения Св, См С, и вместе со своими компонентами х и у приближается к началу координат (линия 1 на рис.
4.20), что означает асимптотическую устойчивость состояния равновесия. Если же функция и"и/й/ в рассматриваемом случае знакопостоянна (отрицательна), то в процессе уменьшения Ь', происходящем согласно (4.96), она может достичь значения )/=$'ь при котором дФ/~Й=О при х,~0. Тогда дальнейшее уменьшение функции, т. е. приближение к состоянию равновесия приостановится. Этому соответствует неасимптотическая устойчивость состояния равновесия н линия П на рис. 4.20. Прямой метод Ляпунова является исключительно эффективным методом исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем. Основной трудностью на пути его использования является отсутствие общего метода построения функций Ляпунова, хотя существует ряд приемов, пригодных для уравнений вариаций определенного типа. П р и и е р. Пусть вовмунтенное движение описывается уравнениями т/к/!си=у — акт, йу/йс= — к — зуз (4.97) 142 с состоянием равновесия х=-у=о.
Лниеаризация уравнений (бхл(г — у и сйх луди= — х) приводит к обшему уравнению возмущенного движения — +х=о б(з с мнимыми корнями характеристического уравнения, что означает неасимптотическую устойчивость состояния равновесия линеаризоваяной системы и, как следствие, необходимость анализа устойчивости нелинеарнзованиой системы. Выберем зиакопеременпую (определенно-положительную) функцию Ляпунова вида )г(х, р) =ха+уз (4.98) Производную по времени функции Ляпунова вычисляем как производную сложной функции л)г др Их д)Г оу + й( дх г(( ду Ф Используем (4.98) и (4.97) (И' — =2х(у — 2х') 2у(х+нрз) .= — 2(2хь+бу').
лг Производная оуро( оказалась зиакоопределеиной функцией противоположного с )' знака — определенно-отрицательной. Следовательно, в силу упомянутой выше второй теоремы Ляпунова состояние равновесия нелинейной системы асимптотически устойчивое. 4.3. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Как было показано выше, процессы, происходящие в автоколебательных системах, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Точных аналитических методов решении нелинейных дифференциальных уравнений (за редким исключением) не существует.
В связи с этим было разработано большое количество разнообразных методов приближенного анализа нелинейных цепей. Каждый метод обладает определенными преимуществами при решении некоторых задач, уступая другим в иных случаях. Даже при исследовании одной и той же схемы автогенератора в зависимости от режима его работы, интересующих иас вопросов, от требуемой точности и наглядности решения приходится применять различные методы. Наиболее распространенными методами являются: метод линеаризации; квазилииейный метод (метод гармонической линеаризации); метод медленно меняющихся амплитуд; метод фазовой плоскости; метод малого параметра; метод математического моделирования.
Каждый из этих методов обладает рядом разновидностей. Метод лилзлризацни заключается в замене нелинейных зависимостей пикейными, что возможно только для малых возмущений (отклонений). Применяется в основном при исследовании условий устойчивости и условий самозозбуждення для исследования поведения системы при больших амплитудах (стационарные автоколебания, переходные процессы) не пригоден.
Этот метод использовался в $4.2. Квазилинзйный метод, полу~ивший иаиболыпее распространение для инженерных расчетов стационарных режимов автогенераторов (пригоден н для изучения переходных процессов), основан на исследовании соотношений между . г43 первыми гармониками токов и напряжений и замене нелинейного элемента эквивалентным линейным, характеризуемым средним по первой гармонике параметром. После такой замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может исследоваться методами линейной теории (например, методом комплексных амплитуд). Нелинейность схемы проявляется в зависимости средне.
го параметра от амплитуды. Квазнлинеиный метод применим для сястем, нолебаиня в которых близки к гармоиическкм. Квазилинейный метод разработан Ю. Ь. Кобзаревым, другой с~о эариаит —- С. И. Евтяновым; в последнее десятилетие благодаря работам Е. П. Попова, Л. С. Гольдфарба н других получил широкое развитие в теории автоматического регулирования под названием метода гарлонической лилеаризаяии Метод медленно леклюк(ихся амплитуд, так же как и квазилинейвыя, пригоден для исследования колебаний, близких по форме к синусоидальным.
Такие колебания в большинстве случаев являются следствием использования высоко- добротных контуров. Для последних характерно сравнительно медленное изменение во времени амплитуды и фазы колебаний (малое относительное изменение этих параметров эа период колебаний). Использование этой особенности позволяет упростить и понизить порядок нелинейного дифференциального уравнения, описывающего работу схемы. Метод широко используется при исследованиях разнообразных нелинейных систем, в том числе при анализе стационарных и переходных процессов в автогеиераторах. Метод медленно меняющихся амплитуд впервые был предложен и применен для исследования автогенераторов голландским физиком Ван-дер-Полем. В последующем трудамн советских ученых (Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
