Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ляпуновым и с тех пор носит его имя. Определение устойчивости по Ляпунову состоит в следующем: состояние равновесия является устойчивым, если при любой заданной области е допустимых отклонений от состояния равновесия (иапример, область е вокруг точки равновесия 0 на рис. 4.15) можно указать область б(е), окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что нн одно движение, начинающееся внутри б(е), никогда не достигнет границ области н. Иными словами, устойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что отклонение от этого состояния не превысит сколь угодно малой величины, если начальное возмущение достаточно мало.
Если же возникающее малое отклонение с течением времени затухает, то такое состояние равновесия называется асимпготически устойчивым. Следовательно, если малые начальные отклонения приводят к возникновению достаточно малых периодических колебаний в системе, состояние равновесия считается устойчивым, ио не асимптотически. М. А. Ляпунов обосновал метод аналитического исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных цепей, заключающийся в замене характеристики нелинейного элемента касательной к ней, взятой вблизи исследуемого состояния. Рассмотрим метод Ляпунова для систем, описываемых нелинейными диф- Рис.
4.16 Рис, 4.16 ференциальными уравнениями первого и второго порядка. Пусть некоторая система описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка ах/гИ=/(х), (4.62) где х может быть током, напряжением, зарядом. Состояниям равновесия системы соответствуют значения х=хс. для которых !/х/аг'=О, или ! (хс) =О. (4.63) Для исследования устойчивости этих состояний будем считать х=хс+Ьх, (4.64) где Ах — малое отклонение от состояния равновесия. Подставляя (4.64) в (4.62), получаем г/Ах/г/! = / (ха+ Ах), (4.65) поскольку хс — величина постоянная. Правую часть (4.65) раскладываем в ряд Тейлора ! (хо+ох) =!/(ха)+Ах / (хс)+ / (хс)+" (4.66) 2! Согласно Ляпунову ввиду малости Ах ограничиваемся в выражении (4.66) первыми двумя слагаемыми.
Подставляя их в (4.65), получаем с учетом (4.63) линейное уравнение:первого приближения — уравнение вариаций: айх/а/ =/' (хс) Ах. (4.67) Обозначив /'(хс) =а, получим решение этого уравнения: Ах=С е". (4.68) где С вЂ” постоянная интегрирования. Если а>0, т. е. производная а//Их при х=хв положителыга. Ах будет нарастать, т. е.
состояние равновесия окажется неустой- 136 чивым. Если же а<0, то состояние равновесия при х=хо будет устойчивым. На рис. 4.16 построен график функции )(х), для которой равновесие имеет место в точках хоь ха», хоо. Остальные значения х изменяются во времени согласно (4.62): возрастают, если 7(х)>0, и уменьшаются, если 1(х)<0. Направления изменения координаты х отмечены стрелками.
Из рис. 4.16 и выражения (4,68) следует, что состояния равновесия; хш — устойчивое, хш и хоо — неустойчивые. Переходим к рассмотрению системы, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка или двумя уравнениями первого: — = Р (х, у) и — = 1~(х, у). о» ну (4.60) нг ог Состояния равновесия системы определяются координатами точек х„, уа, в которых производные о(х/И=О и ду/И=О или Р(ха, уо) =0 и Я(хо, уо) О.
(4.70) Дадим х и у небольшие начальные отклонения от ха н уо. х=ха+Лх и у=уо+Лу. (4,71) Подставляем (4.71) в (4.69) и раскладываем правые части в ряд Тейлора оЛ» — =Р(ха+Лх, уо+Лу) =Р(хо,уа) 4 ЛХР'»(ха, уо) + Ф +ЛУР о(хо Уо) +.- (4.72) дг ~~" =д(»о+Лх, уо+Лу) =Я(хо, уо)+Лхь)' (х., уо)+ +ДУЮ'о(хо, Уо) +-.
Здесь Р;»(хо уо) = (дР(дх)»,. ио Р о(ха Уо) .= (дР~ду)»„».' Ю'»(хо, у, ) = (дауд») „„„,; Ю'„(ха, уо) = (дВду) „ Пренебрегая в (4.72) слагаемыми, имеющими множители Лх и Лу в степенях выше первой (т. е. нелинейными членами), и принимая во внимание (4.70), получаем два линейных уравнения вариаций: ндх =Р (хо, Уо)ЛХ+Р~о(хо, Уо)ЛУ оз (4.73) =Я~»(хо, уо)ЛХ+Я о(хо Уо)ЛУ сИ которые после несложных преобразований сводятся к одному линейному уравнению второго порядка относительно Лх — — (Р',+Ц'„) — +(Р'Я'о — Р'Я'„)Лх=О (474) о»» от нли такого же относительно Лу.
137 Переписав это уравнение в виде (4.75) где ао=), аг= — (Р;,+Тв), аз=Р'Я'и — Р'Я'„, мы можем для оценки устойчивости состояния равновесия использовать критерий Рауса — Гурвица. Для иллюстрации метода Ляпунова рассмотрим вопрос об устойчивости состояний равновесия генератора на туннельном диоде. Принципиальная схема такого генератора для достаточна высоких частот (рис.
4.17а) состоит нз туннельного диода ТД, ивдуктивности Е, используемой для настройки ьн Рнс. 4.17 генератора, сопротивлегия нагрузки гэ и источника питания Е. Переходя к расчету генератора, учтем, что источник питания Е обладает некоторым внутренним сопротивлением )7», а тунпельный диод заменим аквивалентной схемой (Рис. 4.!7б), содеРжащей ))к — нелинейное сопРотнвление Р.л-пеРехода (его вольт-амперная характеристика г=Ф(и) приведена на рис. 4.18а), С вЂ” емкость р-п-перехода', Г.д — индуктивность выводов, ㄠ— сопротивление объема полупроводника, примыкающего с обеих сторон к р-л-переходу. Рис.
4.18 Приняв г=Иг+г,+га и Е=Ех+У.э, получаем эквивалентную схему генератора на ТД (рис. 4.18б). С учетом обозначений рис. 4.18б составим уравнения: Гг+ЦЙЧг11)+и=Е, 1=1„+го, (4.76) гя — — Ф(и), 1с=С(ди/Щ ) откуда С(й4Ш) =1 — Ф(и), Е(б1/гУ) =Š— и — Вс (4.77), (4.78) ' Величина емкости ТД также несколько зависит от напряжеяия. В последующем для упрощения анализа считаем С постоянной.
138 (4.81) (4 83) ( ) г( ()7»(. (4.89) Соотношение (4.89) называют углозиеи устойчивости ло аоста»иному току, так как его выполнение гарантирует сохранение рабочей точки па падающем частке, а нарушение приводит к переходу к другому состоянию равновесия. аням образом, для того чтобы рабочая точка находилась на падающем участие ТД, нитавие схемы необходимо осуществлять от источника напряжения, обладающего малым внутренним сопротивлением /7ь Для переменного така схема рис. 4.18б представляет параллельный холебательный контур с эквивалентным сопротивлением Я».=Ь/Сг, подключенный к нелинейному сопротивлению тг». Перепишем (4.83) в виде + — ~ — — ~ — + ~! — — у! Ь и = О. (4 90) бэЬи 1 г 1 1 т|Ыи 1 / г г(/ С /)з ())д ) 3/ ЬС ) %~ ! 139 Исхлючая из (4.77) и (4.78) одну переменную, получим нелинейное уравнение генератора на ТД аэи ( г Ф'(и) 1 г)и 1 Е г(Г» 1А С ! б/ Ес — + — + — — -(- — ' (и + г Ф (иЦ = —, ЬС ' (4.79) в котором Ф'(и)=ЫФ(и)/г(и.
В состоянии равновесия г)и/И=О и г!!/Ж=О, а потому согласно (4.77) и (4.78) г=Ф(и), г=(Š— и)/г. (4.80) Токи гэ и напряжения иь соответствующие возможным состояниям равнове- сия системы, должны удовлетворять обоим соотношениям, поэтому они могут быть определены, как показано на рис. 4.18а, по точкам пересечения характе- ристик (4.80). В общем случае получаем три состояния равновесия.
в двух (точ- ках В и С) нелинейный элемент обладает положительным дифференциальным сопротивлением, в одном (точна й) — отрицательным. Для оценки устойчивости этих состояний подставляем и=и,+Ьи и г=-гэ+Ьг в (4.77) и (4.78), считая, что иэ и !э удовлетворяют (480). Ограничиваясь в разложении Ф(и,+Ьи) для Ьи Сиз первыми двумя слагаемыми Ф(из+Ьи) =Ф(иэ)+ЬиФ'(иэ), получим 01~ и Ь ' = С вЂ” + Ь и Ф' (и ) . г(/ ЬЬг Ь вЂ” +Ь и+г Ь)=0. (4.82) г)/ Коэффипиент ф'(иа) =1//7» явлиется величиной, обратной дифференциально- му сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке.
Из (4.81) и (4.82) получаем уравнение вариаций Уравнение (4.83) аналогично (4.75), причем г 1 1 / г а,=:1, а,= — + . аэ=- ~1+ ). (4.84) = Ь С/(, -(ЬС~ К,/. Согласно критерию Рауса — Гурвица состояние равновесия при аэ)0 яв- ляется устойчивым, если аг- О и аэ)0. (435) Состояния равновесия, соответствующие точкам В и С, являются устойчи- выми, так ках в них /7»)0 и условия (4.85) выполняются. Для определения ус- тойчивости состояния равновесия в точке Л, где )г»<0, удобно обозначить гг| = — ()г»( (4.86) и переписать условия (4.85) в виде гСЦ.— !/(/1„(~О, 1 — г/!31,(~0. (4.37), (488) Условие 4.88 означает Условие устойчивости (4.87) можно записать как Я.<!з(,(. (4.9!) Из уравнения (4.90) следует, что при вынолнении услоккя устойчивости (4.89) колебания в генераторе затухают, если коэффициент прм вйи(г(! положзтельный.
и нарастают, если отрицательный. Неравенство (4.91) является условием предотвращения нарастании колебаний в точке А, поэтому его называют условием устойчивости ло переменному току. В усилителях на ТД требуется обеспечить устойчивость состояния равновесия на падающем участке, т. е. выполнить условия устойчивости и по постоянному и по переменному токам.
В генераторах нужно выполнить условие устойчивости по постоянному току (для того, чтобы рабочая точка находилась на падающем учасгке) н нарушизь условие устойчивости по переменному току, тогда волынка!ащее из-за действия флуктуаций колебание небольшой амплитуды будет нарастать.
Рассматривавшиеся до сих пор методы анализа и критерии устойчивости нелинейных устройств основываются иа использовании укороченных линейных уравнений первого приближения [смотрите например, переход от уравнения (4.66) к (4.67)!. Возникает естественный вопрос, в каких случаях результат исследования устойчивости с помощью линеаризованных уравнений вариаций совпадает с результатами такого же исследования исходной нелинейной системы. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
