Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 30
Текст из файла (страница 30)
И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, К. Ф. Теодорчнка и др.) был создан ряд разновидностей этого метода. Метод фазоэоб плоскосты является графическим методом, используемым для анализа стационарных и переходных процессов по интегральным кривым иеливейиого дифференциального уравнения второго порядка.
Метод яэляетс» более общим, чем упомянутые выше, пригоден для исследования как синусоидальных, так и несииусондальных (релаксациоииых) колебаний. Недостатки метода состоят в необходимости выполнения трудоемких построений и отсутст. вии аналитических решений. Метод фазовой плосиости был разработан для решения задач небесной механики выдающимся французским математиком А. Пуанкаре н развит применительно к задачам радиотехники А. А. Ацпроновым и другими. Метод палого параметра основан иа отыскании решение нелинейного дифференциального уравнения в виде ряда по степеням малого параметра.
Метод пригоден для определения параметров стационарных колебаний. Используется при теоретических исследованиях автоколебаний. Метод первоначально также был разработан для изучения движения планег (А.Пуанкаре и другие). Дальнейшее его развитие связано с работами А. А. Аид. ронова, Л. И. Мандельштама, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митро- польского н других советских ученых. Математическое моделирование основано на формировании уравнений, опи. сывающих процессы в нелинейных цепях, в виде, удобном для решения иа вы. числительной машине, и выполнении исследований с ее помощью. Преимущества этих методов возрастают по мере повышения порядка нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы.
Нередко они явлюотся единственно возможными. В следующих параграфах рассматриваются основные черты наиболее распространенных методов (квазилинейного, медленно меняющихся амплитуд, фазовой плоскости), а также вытекающие из их применения общие особенности автогенераторов. Вопросы машинного анализа нелинейных цепей вынесены в гл. 7. 144 4.4 КВАЗИЛИНЕЙНБ1И' МЕТОД СТАЦИОНАРНЫЙ РЕ)КИМ АВТОГЕНЕРАТОРА Квазилинейпый метод, как уже упоминалось, является основным инженерным методом анализа автогенераторов синусоидальных (точнее, почти синусоидальных) колебаний.
На рис. 4.21 приведена оГюбщенная схема генератора с контуром в выходной цепи усилителя, активным элементом (АЭ) которого могут быть электронная лампа (триод, тетрод, пентод), биполярный или (лг полевой транзистор. Благодаря значительной добротно- А1 сти (обычно порядка БΠ— 200) а ~ Лэ 'а колебательные контуры генера- м1 ' ~ „1 кз ~их1 торов обладают большой избирательностью.
Поэтому даже тогда, когда выходной ток усилителя сильно отличается от л синусоидального из-за нели- Рис. 4.21 нейности АЭ, напряжения на контуре ав и на входе АЭ ив оказываются почти синусоидальными, лишь незначительно отличающимися от их первых гармоник вм и ивь Квазнлинейиый метод применяется для исследования автогенераторов и других устройств, в которых напряжения (или токи) мало отличаются от гармонических. Он состоит в замене соотношений между токами и напряжениями в схеме соотношениями между их первыми гармониками. Поскольку эти величины являются гармоническими одной частоты, их можно характеризовать комплексными амплитудами, связанными между собой комплексными уравнениями. Решая последние, можно определить амплитуды и частоты стационарных колебаний, условия самовозбуждения, исследовать переходные процессы и т. п. Анализируемый генератор состоит из двух частей: нелинейной (АЭ) и линейной (контура и катушки связи).
Запишем соотношения между комплексными амплитудами первых гармоник токов и напряжений. Нелинейный элемент будем характеризовать средней крутизной, определяемой отношением комплексных амплитуд тока 1„, в выходной цепи АЭ к амплитуде напряжения возбуждения Оы на входе АЭ: (4.99) Зср = 1н!%в ь Вследствие нелинейности АЭ З,р зависит от амплитуды У,ь Пренебрегая влиянием напряжения Ом на ток явь получим из (4.99) Тв! = Зср1Твь (4.100) !45 Если первая гармоника тока 1„, совпадает по фазе с первой гармоникой напряжения возбуждения им, средняя крутизна оказывается действительной 3ср=оср. (4.101~) Однако на практике выражение (4.101) может и не иметь места, например, при работе на достаточно высоких частотах, на которых в результате конечного времени прохождения носителей через прибор ток (н, отстает по фазе от и„'.
Поэтому в общем случае среднюю, крутизну (4.99) следует считать комплексной. Для линейной части схемы рис. 4.21 при 1,г — — 0 имеем бк1= =1я,усэ и (4.102) 1)вг Ко.санг Ко.сУэ(н1 причем комплексный коэффициент обратной связи К,.с=-О э0к1= =М/А=К, с оказывается действительным. Произведение К, су„ характеризующее линейную часть схемы, называют унравляюи(им сопротивлением (4.103) 2у = Ко.с~э. Заметим, что напряжение и, на выходных зажимах активного элемента и„=ń— и„ь поэтому переменные составляющие напряжений и„и и„, находятся в противофазе: 1),= — икь (4.104) В стационарном режиме должны одновременно удовлетворяться оба уравнения (4.100) и (4.102). Подставляя (4.100) в (4.102), получим комплексное уравнение генератора: 3срКо.сХэ=1. (4.105) Оно имеет очевидный физический смысл: в стационарном режи~не;комплексный коэффициент передачи по замкнутому контуру генератор а равен единице.
Если воспользоваться (4.103), придем к иной форме комплексного уравнения генератора: (4.106) Представляя каждую из комплексных величин в показательной форме ! оэ Я,р — — Я,р е !он $ уз Кос=Ко с е ", Хэ=Л, е (4.107) можем записать уравнение (4.105) в виде ~(вэ + як+'Рэ ) (4. 108) ' Другим фактором, выаываюгднм появление сдвига фаз мс>кду г и нэь как будят показано ниже, является нссинусоидальность колебаний. !46 уравнение (4.108) имеет место, если одновременно выполняются два условия: !рз+ср~+грв=-О, 2п, ..., (4.109) БсрКс.сиз=-1.
(4.110) Соотношения (4.!09), (4.110) являются важнейшими в теории автогенераторов, определяющими параметры стационарного режима. Выражение (4.109), называемое условием баланса фаз, означает, что в стационарном режиме сумма всех фазовых сдвигов по замкнутому контуру генератора равна нулю или целому числу 2п. Поскольку каждый нз сдвигов фаз, входящих в выражение (4.109), зависит от частоты по-разному, в большинстве генераторов существует лишь одна частота го, на которой выполняется условие баланса фаз, т. е. на которой возможно ге пер ирование колебаний.
Таким образом, нз условия баланса фаз определяется частота генерируемых колебаний. В схеме рис. 4,21 !рв=О, а потому, если те=О, т. е. сдвига фаз в АЭ не происходит, то и гр,=О. Прн этом частота генерируемых колебаний ш равна резонансной частоте контура гоо. Если же имеется небольшой сдвиг фаз гр,чьО, то частота генерируемых колебаний должна настолько отличаться от шо, чтобы возникающий н контуре сдвиг фаз гр, полностью компенсировал гр,; гр, = = — агс (ц 1;! (2Лчо/чоо) = — грз. Выражение (4.110), называемое условием баланса амплитуд, говорит о том, что в стационарном режиме коэффициент передачи по замкнутому контуру генератора равен единице.
В этом условии две величины (Кос и с„) от амплитуды, колебаний не зависят, а одна 18ср) зависит от (/,ь Следовательно, условие баланса амплитуд выполняется лишь при определенной амплитуде (/вь Для определения амплитуды стационарных колебаний удобно (4.110) переписать в виде асср (('в1) = 1/Кс.сиз (4.111) На рнс. 4.22 построены зависимость Бсо('(/в!)„называемая характеристикой средней крутизны, н прямая обратной связи, проведенная на уровне 1/Кс.сиз.
Точка пересечения этих зависимостей определяет стационарную амплитуду колебаний (/'в!, для которой выполняется условие баланса амплитуд. Если частота генерируемых колебаний равна резонансной частоте контура, то со=Ко и условие баланса амплитуд ~от! ((/в1) — 1/Кс.сЛв. (4. И 1') В случаях, когда часть сдвигов фаз (в 4.109) оказывается зависящей не только от частоты, но и от амплитуды колебания, определение амплитуды н частоты стационарных колебаний требует совместного решения (4.109) и (4.110). ~спользованное выше уравнение (4.!ОО) не учитывает нлияния выходного иапрялсения усилителя на тои у„ь Более точные результаты получаются, если !47 считать, что ток („ является функцией управляющего нанряження и„— и + +Рис, где Е1<<1, н заменить (4.100) на !к»4 аср(()о|~+Е10»). (4.И2) Подстановка (4.112) н (4.104) в (4.102) приводит к комплексому уравнению генератора зсрк»(К».с — 0) ='1 (4.
!! 3) илн Кс о Х1+1/Ясрк», известному как условие Баркгаузеяа стационарного режима автогенератора. Учет влияния напряжения ию, как следует нэ сопоставления (4.106) н (4.!13), сводится к некоторому изменению величины козффяциента обратной связи до К'о. =Ко.с — Е1, что не меняет характера основных зависимостей, а лишь несколько влияет на количественные соотношения. Тк! Еу~ "4! Рнс. 4.23 Рис.
4.22 Пря выводе (4.!05) считалось, что входной ток АЭ с =0 Если !»чьО (что характерно для биполярных транзисторов н электронных ламп, работающих с сеточными токами), целесообразно активный элемент считать нлеальным с »,=0, а его входное сопротннление Х»с=йод/!»» рассматривать как нагрузку, включенную иа выходе линейной части схемы. В таких случаях может оказаться более удобным комплексное уравнение генератора в виде (4.106). Если средняя крутизна АЭ вЂ” величина действительная, а а =4)т+!Хт — комплексная, уравнение (4.106) разбивается на два действительных 3.,Л,=-.1, Х,=О. (4.114), (4.!16) обеспечивающих определение обоих параметров стационарных колебаний.
Пра этом нелинейность входной характеристики АЭ можно характеризовать средним по первой гармонике входным сопротивлением Х»с.ср((гм) =О,с/!»ь Соотношения, свойственные квазнлннейному методу, могут быть получены и из нелинейного дифференциального уравнения генератора. Так, заменяя в (4.8) для схемы рис. 4.!б напряжение и, н ток г„их первыми гармониками н полагая, что первая гармо- ника тока может быть определена как (к!=Бор(()р1)и,с, получим уравнение "щ+( — '- ' '1""+„, Йз ).Я» С ЕС ! »(! являющееся линейным для постоянной амплитуды напряжения (Евг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
