Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Действие обратной связи оказывается эквивалентным включению параллельно контуру проводимости е„= — „ь 7 и и Ргх г 7(в~а 6 или сопротивления К =1/6 . Теперь условия самовозбуждения генератора можно записать как 6э+6вн<0 (4.1Б) 121 Для выполнения этого условия вносимая проводимость должна быть отрицательной (6„<0), а ее величина 16 1>6,; при этом общая активная проводимость эквивалентной схемы рис. 4.5а (4.16) 6общ= 6э+6ав<0.
где г„= — г)45/С. Условия самовозбуждения для схемы рис. 4.5б г+гэа <О или гэа <О и (гэа 1) г (4.19) '(420) 122 Общее активное сопротивление Я~~ — — Я игт ((гс +кт.)= — )Р 1'ат /(Л,— 1Р 1) (417), отрицательно, если при )т, <О знаменатель выражения (4.17) положителен, т. е. )гс, ~ <.г(„что эквивалентно условию (4.16). Отрицательное активное сопротивление, как показано в 9 2.3, является источником энергии переменного тока.
Поэтому отрицательное общее активное сопротивление (нли проводимость) схемы указывает на то, что б1оступающая в нее энергия переменного тока превосходит расходуемую, за счет чего происходит увеличение амплитуды и энергии колебаний. Таким образом, обьяснения самовозбуждения как следствия внесения энергии, компенсирующей затухание контура, или введения отрицательного сопротивления — совершенно идентичны. Обратная связь, способствующая самовозбуждению колебаний, называется положительной, В рассмотренном случае она соответствует М)0. Если знак М изменить на обратный, для чего достаточно поменять местами точки подключения одной из обмоток трансформатора, )т,„и 6, станут положительными; затухание контура возрастет, и самовозбуждение станет невозмождым.
Обратная связь, затрудняющая самовозбуждение, т. е. увеличивающая устойчивость состояния равновесия, называется отриг(отельной. Следовательно, для создания автогенераторов необходимо использование положительной обратной связи. Применение положительной обратной связи, меньшей критической (М<М р), приводит к увеличению общего эквивалентно- ГО СОПратИВЛЕНИя )т,бщ Н дОбратНОСтИ Я,и, КОНтура В СООтВЕтСтВИИ с выражениями )(общ=Лэ / ~1 — ' ).
Юэаа=((общ/р=Я /~1 — '). Это используется для увеличения усиления и, избирательности усилителей. Эквивалентная схема генератора, определяющая условия самовозбуждепия. нередно представляется в виде последовательного контура рис. 4.5б, в котором действие обратной связи характеризуется вносимым сопротивлением гэа. Такая схема соответствуег (4ЛО), переписанному а соответствии с (4.11) в виде ~~и — + — (г + гва) — + щ<, и = О.
(4.18) КРИТЕРИИ УСТОИЧИВОСТИ Для определения устойчивости состояния равновесия необходимо выяснить, как ведет себя система при малых отклонениях от него. Выше было показано, что эта задача обычно является линейной, поскольку при ее решении нелинейные зависимости заменяются линейными. Обозначим через у малое отклонение какой-либо величины (тока, напряжения, заряда...) от значения, имеющего место в состоянии равновесия. Будем считать, что поведение системы при малых значениях д описывается линейным дифференциальным уравнением и-го порядка а,— ~+а, ~ +...+аа т ~ +а„у=О.
(4.21) 11а ~1и-1 ' " а ~Ц Решение линейного уравнения можно искать в виде суммы слагаемых вида у=А ег'. (4.22) Подставляя (4.22) в (4.21), получаем характеристическое уравнение Е)(р) =азр" +а,р -'+ ... +о,п+а„=О, (4.23) имеющее а корней. Решение (4.23) можно записать как сумму слагаемых (4.22): у = Аг е~' + Аз ег'+ . " + Аа еРа" (4.24) где постоянные А,— А„определяются из начальных условий, а р~ — р„являются корнями характеристического уравнения (4.23). В общем случае характеристическое уравнение обладает действительными корнями р;=а; и парами комплексно-сопряженных корней р1=а1+.1рь Если среди общего числа а корней действительными окажутся т, то общее решение (4.24) можно представить в виде суммы т экспоненциальных и з=(а — ~т)12 осциллирующих членов у= УА,е '+ "~Вге1 созфг(+~рг), (4.25) 1=1 1=1 где В1е'"т' соз((4+%) представляет собой сумму двух слагаемых (4.24) с комплексно-сопряженными корнями. Характер процессов, соответствующих (4.25), может оказаться весьма сложным.
В общем случае изменение у происходит по апериодическому закону, на который накладываются процессы колебательного характера с нарастающими, затухающими или неизменными амплитудами различных частот. Отклонение, вызванное апериодическим слагаемым с а;>О, монотонно возрастает, а с а;<Π— монотонно уменьшается. Аналогично амплитуда В;еат каждого колебательного процесса с течением времени неограниченно возрастает, если а;>О, и затухает, если а;<О.
124 КРИТЕРИЙ РАУСА — ГУРВИЦА Критерий Рауса — Гурвица является аналитическим критерием, непосредственно устанавливающим условия, при которых вещественные части всех корней характеристического уравнения оказываются отрицательными. Для этого нужно написать главный определитель, пользуясь следующими правилами: первый столбец содержит коэффициенты уравнения (4.23) с нечетными индексами в порядке возрастания, а в каждом ряду вправо располагаются коэффициенты в порядке убывания их индексов аг:а,)О ~О О „.
оэ ~и'. пт,'поО "° а ах аэ ,'а,а1..„ (4.26) Далее из главного определителя нужно выписать и определителей (здесь и — степень характеристического уравнения) согласно пунктирным линиям в (4.26): первый определитель й, включает один столбец и одну строку х)1= ~а1~=аь (4.27) второй определитель содержит два столбца и две строки (4.28) Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную веществеяную часть, отклонение у от состояния равновесия с течением времени затухает, благодаря чему состояние равновесия является устойчив ы м.
Если хотя бы один из корней (например, рь) имеет положительную вещественную часть, а остальные отрицательную, то (л — 1) слагаемых в (4.24) с течением времени приближаются к ° нулю, тогда на~к А-е слагаемое Уз=Лье э неограниченно возрастает, уводя систему в целом все дальше от состояния равновесия.
При некоторых комбинациях коэффициентов аэ — а все корни характеристического уравнения (4.23) имеют отрицательные вещественные части. Весьма заманчиво установить соотношения, при которых это имеет место, ибо тогда можно будет судить об устойчивости состояния равновесия, не решая соответствующих дифференциальных уравнений. По существу, все критерии устойчивости представляют собой выраженные в той или иной форме условия, при которых все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.
Наиболее широкое распространение получили критерии Рауса — Гурвица, Найквиста и Михайлова, к изучению которых мы переходим. третий — три столбца и три строки а, ао О а а а аз аз аз (4.29) и т. д. Вз аз>0, (4Л1) Рз = ~ ~ = аз аз > О. (4.32) Если выполняется (4.3!), то для выполнения (4.32) требуется. чтобы аз>О. Таким образом, из критерия Рауса — Гурвица следует, что корин уравнения (4.30) имеют отрицательные вещественные части, если все козффициенты уравнения положительные.
Справедливость етого вывода можно проверить непосредственно из решения квадратного уравнения (4.30) риз=( — азж 1/азг — 4азаз)/2аь Если все козффнциенты уравнения положительны, то возможны два варианта: а) когда азз>4азаз, и тогда оба корня действительные и отрицательные; б) когда азз< (4азаз, и тогда корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью.
2. Характеристическое ураннение третьей степени азрь+азрз+пар+аз=о. (4.33) Условия устойчивости при аз>0 записываются как )зз=-аз>0, (аз аз ~=а — а а >О, аз аз (4.34) а а О аз аз аз о о (4.35) = аз (аз аз — азах) > О. И случае выполнения (4.34) из (4.33) следует аз>0. Если же учесть, что азаз>0 и аз>0, то для выполнения условия (4.34) необходимо, чтобы аз>0. Таким образом, для обеспечения устойчивости требуется, чтобы все козффициенты характеристического уравнения были бы положительными и, кроме того, выполнялось условие (4.34) .
3. Характеристическое уравнение четвертой степени азрз+азрз+азрз+азр+аз 6, 126 Критерий Рауса — Гурвица устанавливает, что в с е к о р н и х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я (4.23) п р и ао>0 имеют отрицательные вещественные части, если все и определителей 1)з (где А=), 2, ..., и) положит е л ь н ы. При составлении определителей следует считать коэффициенты аз=О, если индекс (>и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
