Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(4.50) Уравнение В«=.0 является характеристическим уравнением рааомхнутого четырехполюсняка, определяющим его поведение при и|=О. В дальнейшем считаем разомкаугый чегырехполюсняк устойчивым, что имеет место, если все его корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части Если замкнуть цепь обратной связи, та и,=иь В~= Юм и (4.50) сведется к (В» —.Вс)Ю«еяс= — О, из сопоставления которого с (4.48) следует, что В= — В (4.51) при любых р. Если на входе разомкнутого четырехполюснака действует гармоническое напРЯжение Всесс«с, то Р=кэ, и из (4.50) можно опРеделить комплексный коэффициент передачи (4.46) как К(! ю) .=: ~ЧВ С учетом (4.51) К(! ы) =1 — Г(! ы), (4.Щ где Г(!а)=-)г(!сэ)/В«(!ы).
(4.54) Здесь согласно (4.39) Р(!ы) =аз(!ы — р1) (!а — рс) ... (ма — р„). Прк выводе критерия Михайлова было показано, что каждый из векторов г«=1!э — р«, в котором Р«величина действительная отрицательная, при изменении частоты а от 0 до "' поворачивается в положителыюм направлении (против часовой стрелки) на у"ол м/2, а веюгоры гы у яоторых р» комплексные сопряженные с отрицательными вещественными частями, в среднем поворачиваются на тот же угол. Если х'е Рх имеют положительные веществеяпые частя, то поворот векторов 㫠— — )ы— р«происходит на такие «ке величины, но в противоположном (отрицательно«с) направлении.
Поэтому, если из общего чнсла л корней уравнения В(р) = =О л| корней имеют отрицательные вещественные части, а ૠ— положительные (лс+лс=п), то при изменении ы от 0 до»» вектор В(!а) поворачивается на Угол (л~ — л )сс!2 «ак как все корни вектора ГГ» имеют отрицательные вещественные части (условие устойчивости разомкнутой цепи), то общий угол поворота вектора 5« 18й Гбы) ~рэ=(п,— а — ш)п/2. Критерий Найквисга доказывается для случая одинаковых степеней полиномов В и Вэ, что соответствует омическому сопротивлению 2»ю При этом т=п и ил = (и» вЂ” п» вЂ” и) и/2. (4Л5) Система устойчива в замкнутом сосгоинии, если все п корней характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.
При этом п~.= =п, п,=о и фэ=О. Следовательно, состояние равновесия замкнутой системы яв.чается устойчивым, если при изменении ы от 0 до ь» угол поворота нектора Г(!ы) равен нулю тэ=О. На рис. 4.10 сплошаые лигшн представлнют амплитудно-фазовые характеристики (АФХ) комплексной функции Г(мэ). Согласно сформулированноьгу здесь критерию рис.
4.10а соответстяуег неустойчивому состоянию равновесия, поскольку при обходе АФХ угол пэ=2»г; рис. 4.10б н з соответствуют устойчивым состояниям равновесия, ибо для них фэ=о. Переход от АФХ функции Г(иэ) к АФХ функции К(!ы) осуществляем согласно (4.53): сначала на рис. 4.10 наносим пунктирными линиями АФХ функции --Г(!а), а затем сдвигаем их вправо на 1, что приводит соответственно « ис. 4.11п — в. Точка (О, 0) плоскости Г переходит в точку (1, 0) плоскости К. 1оэтому величина э»э ца плоскости К равна полному углу поворота д» раляуса-вектора э, проведенного из точки (1, О) в точку (К, гр) при иэмененяи м от 0 до ьэ ) -l -г (ь» а) Рис. 4.10 гу (йб) р„=О Рис. 4.П !'Одографы вектора К(!Ф), построенные на рис.
4.11, являются АФХ разомкнутого четырехнолюсника рис. 4,9б. Теперь сформулируем критерий Найквиста: со ст о я н н е равновесия з а мжиутой системы является устойчивым, если амнлитудно-фазовая характеристичс разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (1,0), Следовательно, рис, 4.11а соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а рис. 4.11б и в — устойчивым.
В большинстве случаев АФХ коэффициента передачи К(1ы) представляет замкнутую кривую, проходящую через начало ко. ординат из-за того, что при со=0 и ы=сс К=О. Прн в=О это имеет место, например, если одни части схемы отделены от других разделительными конденсаторами: при а=со это является следствием наличия у любого прибора выходной емкости, включенной параллельно нагрузке. Строго говоря, рассмотренный метод пригоден лишь для анализа устойчивости линейных цепей. В 1221 показано, что данный метод можно применять и для приближенного определения стационарных режимов автоколебаний и нх устойчивости в автоколебательных системах, характеризующихся медленным( малым за период колебаний) изменением амплитуды.
Для этого нужно снять и построить семейство АФХ при различных амплитудах 1l входного сигнала, определяя К» как средний по первой гармонике коэффициент передачи усилителя (см. $2.3). В большинстве случаев величина К уменьшается с ростом амплитуды Уп Поэтому АФХ, снятые при разных У,(У',(У"~<У"',)„оказываются вложенными друг в друга, как показано на рис. 4.12. Рис. 4.И Поскольку автоколебания начинаются с малых амплитуд ((1~=0',), состояние равновесия такой системы является неустойчивым, колебания в ней должны нарастать и притом на частоте ыс, на которой фаза коэффициента передачи К((ы) <Р=О. Когда амплитуда достигнет У,=(1"ь в схеме установятся стационарные автоколебания, соответствующие точке А(1, 0). Если АФХ снимать при большой амплитуде У~=У"'ь то может быть сделан неправильный вывод о том, что состояние равновесия является устойчивым.
Поэтому для оценки устойчивости состояния равновесия нелинейной цепи АФХ следует снимать прн малой амплитуде входного сигнала. В усилителях и автогенераторах годографы К(1ы) обычно имеют характер кривых, приведенных на рнс. 4 11а, б и 4.12: опи оказываются замкнутыми и притом такими, что если годограф "ересекает ось абсцисс в точке (К>1, ~р=О), то гр»ФО и состояние равновесия оказывается неустойчивым. В таких условиях возможен более простой аналитический подход к оценке устойчивости состояния равновесия. 1аэ На рис. 4.13 приведена схема усилителя с обратной связью, в ней ()з= [()1+Ко.с(1оу) Оз) Ку((ю), а поэтому комплексный коэффициент передачи схемы с обратной связью определяющего частоту ого, на которой коэффициент передачи К()оз) становится действительным, и амплитудного условия Кгг(озс) Ко.с (гос) = К(оус) (,1. Самовозбуждение колебаний в усилителе происходит, если при соблюдении условия баланса фаз (4.57) знак неравенства в (4.58) меняется на обратный.
)!ля илжострации крвтерня Найквиста рассмотрим определение условий самовозбуждення генератора рис. 4.1б. Размывая схему в точках, обозначенных нрестинвми, и принимая Хэв=со, получим эквивалентную схему рис. 4.14а. Считаем схему для малых амплитуд напряжения и, линейной с крутизной 8 в рабочей точке и вренебрегаем влиянием напряжения на контуре на тов гга тогда комплексная амплитуда его первой гармоники )вг=50 . Рис. 434 8)!э частоте ()в =!ю Еа = (!+!с) ()в Напряжение иа контуре на любой й Л 63 где в Ю вЂ” — обобпгенная расстройка контура. Выходное напрявгеяие гва ()вы*= ОвМ)(.. Комплексный коэффициент передачи схемы рис.
4.!4а равен ().и, )ИЖэ К()ы) =- (4.59) (), ь(!+ 1И (4.56) )г + Кос(! ) Ку»! При из=О (короткое замыкание на входе) схема рис. 4.13 сводится к схеме рис. 4.3 и произведение К,с()оу) )(у((оу) равно коэффициенту передачи напряжения по замкнутой цепи генератора рис. 4.3 или 4.9а. Обозначим Ку((ю)=Ку(оз)е'~У "1, Кос((пз)= =К,.,(то)е 'ео !") .
Тогда условие пересечения годографом оси абсцисс при К<1 можно записать в виде двух условий: условия баланса фаз гру(со) +~ро с(ю) =2пп, где п=й, 1, 2, ..., (4.57) (469) получаем выражсния фазовой и частотной характеристик: гр= — вгс (ц 4, (4.60) 'А( З Кв /(4 З Кз К( ) Е -рг1 гвз = В -рг1+1 з Кзссзгр. (461] Здесь Ка= (й(/Е)БК,— козффициент передачи при <р= — О, т. е. нв частоте, равной резонансной частоте контура аь ПостРоение амплитудно-фвзаясй характеристики разомкнутой цепи илл рирует Рис. 4.14б. Задаваясь Различными значениями частоты го, из,(460) у чаем ~р, а затем согласно (4.61) определяем К как проекцию вектора К, нв линию, идущую под углам ю к оси абсцисс. Линия, прочерчиваемая концом вектора К()ю), при изменении ы от 0 дс сс и будет АФХ.
В рассматриваемом случае она проходит через вершины прямоугольных треугольников, а потому оказывается окружностью диаметра Кс. По критерию Нвйквиств условие самовозбУждениа генеРатсРв бУдет Кз>0 или с Учетом (4.61) /И>А/Яйы что совпадает с условием самсвозбуждения (4.13), получеяным из решения диффереяцивльного уравнения генератора. Частоту ы возникающих колебаний определим, приравнивая нулю (4.60): ю=шз=1/ р'/.С. Критерий Найквиств широко используется при оценке устойчивости усилителей и других устройств. Достоинством его является то, что он не требует составления подчас весьма сложных дифференциальных уравнений исследуемых устройств, а оперирует с частотными и фазовыми характеристиками отдельных звеньев системы, почти всегда определяемыми расчетным или экспериментальным путем при проектировании каждого устройства.
В то же время он является менее общим, чем критерий Михайлова, так как оказывается непригодным в случае неустойчивой разомкнутой 'цепи, а также тогда, когда порядок дифференциального уравнения разомкнутой цепи выше, чем замкнутой. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПО ЛЯПУНОВУ Классический метод определения устойчивости был разработан в конце Х1Х в, выдаюгцимся русским математиком М. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
