Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. если такие коэффициенты в (4.23) отсутствуют. Поскольку главная диагональ определителя (4.2б) содержит коэффициенты аь аю ..., а„, в нижней строке последнего определителя ()„слева от а оказываются коэффициенты с индексами 1>и, потому они должны быть заменены нулями. Рассмотрим примеры. 1. Характеристическое уравнение второй степени азат+а,р+аз=О. (4ЛО) Полаган а,>0, получаем два условия устойчивости по критерии Рауса — Гурвица: Условии устои ввести при ао>0 оказываются Р,=а1)0, ' Рз=аюаэ — аоаэ)0, ) (4.361 Рз=авРз — аз~ и)0, Рг=аьРа)0.
/ Легко показать, ото если эти условия вьпюлияются, то а4>0, аз>0 и аз>0. В общем случае для обеспечения устойчивости необходимо (хотя для л>2 недостаточно), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными а>0, 1=0, 1, 2, ..., и. (4.37) Если все коэффициенты аг положительны, то не все условия йл>0 оказываются независимыми: из положительности определителей йл четного порядка следует положительность определителей нечетного порядка и наоборот. С учетом этого Льенар и Шиппар сформулировали критерий: все корни характеристического уравнения (423) имеют отрицательные вещественные части, если: а) все коэффициенты а; уравнения (4.
23) положительные и 6) выполняются условия Вв>0 В4>0 ... или Рз>0 го>0 Читателю рекомендуем самостоятельно проверить, что при выполнении (4.37) жарни характеристического уравнения третьей степени будут иметь отрицательные вещественные части, если йв>О„четвертой степени, если .0з>0, пятой степени, если йз>0 и Ю4>0. Критерии Рауса — Гурвица н Льенара — Шиппара широко используются при теоретических исследованиях различных устройств с обратной связью. КРИТЕРИИ МИХАЙЛОВА Графоаналитический критерий Михайлова предназначен для исследования устойчивости замкнутой системы по ее характеристическому уравнению (4.23). В случае сложных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, используемые по критерию Рауса — Гурвица выражения становятся громоздкими и ненаглядными, и в этих условиях преимущества критерия Михайлова оказываются особенно ощутимыми.
Для вывода критерия Михайлова перепишем левую часть характеристического уравнения (4.23) в виде ь1(р) ао(р — р1) (р — ря)...(р р ), (4.38) где р„рм ..., р„— корни характеристического уравнения Щр)=О. Подставляя в правую часть (4.38) р=йо, получим .О((ю) =ао(1ю — р1) (1оз — рг) .. (1 го — ро). (4.39) Каждый из сомножителей выражения (4.39) можно предстаВить на комплексной плоскости вектором го=но — рл=гл е ов, а Весь характеристический многочлен — вектором Г К во Р(1го) =аз е г,гв:.гв. (4.40)' 127 Обозначая г1ги-.'и= Ганг«« ~'„фл=ф и ! «=1 можем переписать (4.40) в виде л Р(1 а) =пи еигпгл. (4.41) При изменении частоты си каждый из векторов гл меняет положение.
Величина ф характеризует направление результирующего вектора 0(1си). Рассмотрим, в каких пределах изменяются аргументы фл при изменении частоты си от 0 до оо в различных случаях. 1. Корень рл=ал<0 — действительный отрицательный. Для итого случая на рис. 4.7а отложены векторы рм иа и г«=1сл — рм При изменении си от О до оо вектор гл повернется на угол фл=л/2. Поворот вектора против часовой стрелки считаем положительным, по часовой стрелке — отрицательным. В=с х « Р-м Ю « Рис. 4.7 2. Корни рлдн+~=-а«~4« — комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью (а«<0). При изменении си от 0 до оо (рис.
4.7б) углы поворота векторов гл и г«+, оказываются равными соответственно фл=л/2+7 и фл+1=л/2 — у где 1ку= =(1«7а«. Суммарный поворот двух векторов ф«+ф««1=л. 3. Корень рл=ал>0 — действительный положительный. Изменение о« от 0 до со приводит к повороту г« (рнс. 4.7в) на угол фл = — л/2. 4. Корни рл,«+1=а«~1рл — комплексные сопряженные с положительной вещественной частью (ал>0).
При изменении си от 0 до оо (рнс. 4.7в) углы поворота векторов оказываются: фл —— = — (л/2+7), фл+,= — (л/2 — у). Суммарный поворот двух векторов фл+ф«ы= — л. Устойчивым системам соответствуют первые два случая, при которых среднее изменение каждого агумента при изменении частоты от О до оо оказывается равным л!2. 128 Состояние равновесия системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением л-го порядка, является устойчивым, если и р и изменении частоты в от О до оо вектор П()в) п о в ер нет с я на угол зр=л — против часовой стрелки. Если угол 2 а поворота гр отличается от и †, состояние равновесия неустойчивое. 2 В этом и состоит критерий Михайлова. Траектории конца вектора П((в), т. е.
годограорьо вектора П((в) называются кривыми Михайлова. На рис. 4.8а показан характер кривых Михайлова для устойчивых состояний равновесия Рис. 4.8 в системах различного порядка. Точка, соответствуюгцая в= — О для устойчивой системы„ всегда лежит на оси абсцисс справа от начала координат, так как при р=мо=О из (4.23) В(О) =а„, а согласно критерию Рауса — Гурвица в такой системе все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. В устойчивой системе вектор В((в) с ростом частоты поворачивается против часовой стрелки вокруг начала координат. В качестве примера рэссмотрнм хзрзктеристпческое урявяение (4.ЗЗ) П(р)=аор'+а|до+азр+аз=О с корнями рь ръ рз.
Соитием осе коэффициенты уравнения (ао, аз, аз, аз) положительными, что, кзк отмечалось при изучении критерия Рнусэ — Гурвиця, яоляотся условием необходимым, по псдоствточным, для устойчивоств состояния равновесия. Заменяя в хярэктеристическом урввнепни р нв ко, получаем (З(1в) =Е),(в)+! )зз(в). (4.42) где й, (со) =аз- -авз, ))о(в) =в (а.— аовз). Прв в=-О 11„(О)=а,, 1)о(0)=0. Поэтому в=о соответствует тонка А на оси абсцисс (Рис. 4.8б), где х=аз. ПРи Увеличении частоты ст 0 до оо благоднря полокопельности всех коэффициентов а; )э„уменьшается, стремясь к — оо; Гзз сначэлэ возрястзет (достигзя максимума при в= )1аз(зао), в затем также умепьшвется, стремять к — оо. Значит, при в — осо вектор Гз((в) попадает в третий квздрввт.
При этом могут получиться кривые Мнхзйловз двух типов: охватывзющие (кравзя 1) и не охвэтывязощие (кривзя 11) пачэло координат. б — 92 429 Кривая 1 соответствует тому случаю, когда с увеличением ю вектор П(!ю) "начала совпадает с осью Гь что имеет место иа частоте шь на которой Пь(еч) =0 илн юз1=аэ/аь (4.43) и лишь потом на более высокой частоте гээ) юй «4.44) совпадает с осью х, что имеет место, когда' Пэ(юэ) =0 или ю'э=аз(аа (4А5) Кривая 1 характеризуется условием (4.44). Возводя обе части неравенства (4.44) в квадрат и используя (4.43) и (4.45), приходим к выражению аэа,— — аеаэ>О, совпадаюшему с условием устойчивости (4.34) по критерию Рауса— Гурвица.
Кривая П характеризуется тем, что при увеличении ю вектор Р(1ю) сначала на частоте юэ совпадет с осью абсцисс (Вв(ш,) =О], а затем на более высокой частоте сч совпадает с осью ординат (В„(в,) =О]. Следовательно, для кривой П ю~.ьгэз или аэа, — аэаэ(0, что означает нарушение одного из условий устойчивости Рауса — Гурвнца. Итак, кривая 1 соответствует устойчивому состоянию равновесия, кривая П вЂ” неустойчивому. )(ля любой нэ этих характериствк при гэ-ьсс обозначенный иа рис.
4.8б угол ф=м/2, что следует из выражения Пл (ю), в (аз — аэ юэ) 1йп (яф = 11ш — =!пп = Ос. и-~ а-с Пх(ю) а- ~ (аз — ахю ) Проследив теперь непосредственно по графикам рнс. 4.8б за поворотом вектора П(1ю) при изменении гэ от 0 до сю, легко убедиться в том, что обший угол поворота вектора (у(1ю) оказывается для криной 1 ~рг Зп/2, что соответствует устойчивому состоянию равновесия яо критерию Михайлова; для кривой П угол грм= — и/2, что означает неустойчивость состоянии равновесии. Таким образом, как и следовало ожидать, оба метода оценки устойчивости (по критерию Рауса — Гурвнца и Михайлова) дают одинаковые результаты.
КРИТЕРИЙ НДЙКВИСТА Критерий Найквиста решает вопрос об устойчивости состояния равновесия замкнутой цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи: по ее амплитудно-фазовой характеристике «ЛФХ). Представим цепь с внешней обратной связью (см. рис. 4.2 или 4.3) в виде четырехполюсника рис. 4.9а; его входное сопротивление считаем Х„. Разомкнем цепь обратной связи, позаботившись о том, чтобы режим работы четырехполюсника остался прежним; ш 4) для этого подключим на его выходе сопротивление нагрузки, рав- ноеУ,,„, как показано на рис.
4.96. Свойства разомкнутого четырехполюсника в последующем будем характеризовать его комплексным коэффициентом передачи К((ю) =Ке'е=()в/()ь (4.46) определяемым отношением комплексных амплитуд выходного Оз и входного ()~ напряжений. Траектория конца вектора К((ю) на ' Уравнение Пэ(в)=0 имеет еше одно решение в О, что соответствует начальной точке крйвой Михайлова: х=аэ. 130 комплексной плоскости, получаюп(аяся при изменении частоты ю от О до сю, т. е. годограф вектора К(!св) называется аплитудноразовой характеристикой четырехполюсника.
Схема рис. 4.9а при малых амплитудах колебаний описывается пикейным дифференпиальным уравнением л-го порядка д» из с(» ! и с)из из +и«+ ... +и„— +и» из=-О, (4.47) ,!!»,!!» — ! ' в--г»! Подстановка в (4.47) и«=Ю«еяс приводит к характеристическому уравнению (4.23) В(р) =О. Уравяение (4.47) можно записать как ВЮ«ез'=О. (4.48) Разомкнутая система рис. 4.9б описывается дифференциальным уравнением Н»' из сг» ' из с(из ь,— — +ь, — + ...+Ь вЂ” +Ьмиз= ,у ' б,— 1 '" "— и! с(Ь ис с!ис =- сз — +... + с — -+ сь и«.
(4.49) с!1~ которое в случае комплексного Х«х может иметь порядок более высокий, чем уравнение (447). Пусть ис=-Ю,езс и и«=Ю«е»с. Обозначая Вэ(р)=Ь»р + +Ь,р '-'+... +Ь -,р+Ь и В~(р) =-с«р" +сьа« '+... +с«-~р+с«, запишем (4.49) в виде В»Ю«е»'=В«Ю ев'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
