А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При этом в соответствии с принципом неопределенности произведение эффективной длительности ( τэ ) и эффективной ширины спектра ( Δωэ ) функции ψ ab (t ) (площадь прямоугольников на рис. 16.2) остается неизменной. Кроме того, из-замасштабирования и временного сдвига ( b / a = Δ = const ) сохраняется относительная “плотность” расположения базисных функцийпо оси t .aa3a2Дщэфэa1bobРис. 16.2Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование (НВП илиСWT – continuous wavelet transform). Сконструируем базис функционального пространства ( L2 ) с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов материнского вейвлета ψ (t ) спроизвольными значениями базисных параметров a и b в формуле (16.1).Тогда по определению прямое (анализ) и обратное (синтез)HВП (т.
е. ПНВП и ОНВП) сигнала S (t ) запишутся:Ws (a, b) = ( S (t ), ψ ab (t )) =1a∞⎛ t − b⎞⎟ dt ,a ⎠∫ S (t )ψ ⎜⎝−∞(16.2)29316.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯS (t ) =1Cψ∞ ∞∫ ∫ Ws (a, b)ψ ab (t )−∞ −∞dadba2,(16.3)где Cψ – нормирующий коэффициент∞Сψ =∫2Ψ (ω) ω−1dω < ∞ ,−∞Ψ (ω) – фурье-преобразование вейвлета ψ (t ) . Для ортонормированных вейвлетов Cψ = 1.Из (16.2) следует, что вейвлет-спектр Ws (a, b) (wavelet spectrumили time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличиеот фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент a (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т. е.
обратен частоте, а второй b – аналогиченсмещению сигнала по оси времени.Следует отметить, что Ws (a1 , b) характеризует временную зависимость (для временного масштаба a1 ), тогда как зависимостиWs (a, b1 ) можно поставить в соответствие частотную зависимость(для смещения b1 ).Если исследуемый сигнал S (t ) представляет собой одиночныйимпульс длительностью τu , сосредоточенный в окрестности t = t0 ,то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами a = τu , b = t0 .Способы представления (визуализации) Ws (a, b) могут бытьразличными.
Спектр Ws (a, b) является поверхностью в трехмерномпространстве (см. рис. П.8). Однако часто вместо изображения поверхности представляют её проекцию на плоскость ab с изоуровнями (рис. П.9), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах ( a ) и во времени ( b ).Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумовэтих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), которыйвыявляет структуру анализируемого сигнала.Разложение сигнала в ряд по вейвлетам.
При непрерывном изменении параметров a и b для расчета вейвлет-спектра необходимы большие вычислительные затраты. Множество функций ψ ab (t )избыточно. Необходима дискретизация этих параметров при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразо-294ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАвания. Дискретизация как правило осуществляется через степенидвойки [*.1, *.2, *.4]:a = 2m , b = k 2m , ψ mk (t ) =1 ⎛t −b⎞1ψ⎜ψ (2− m t − k ) ,⎟=ma ⎝ a ⎠2(16.4)где m и k – целые числа.
В этом случае плоскость ab превращается в соответствующую сетку mk .Рис. 16.3 на примере вейвлета Хаара иллюстрирует дискретизацию ab : для различных значений m ширина ψ mk (t ) различна ивыбор b = k 2m гарантирует, что растянутые вейвлеты на уровне m“покрывают” ось времени так же, как это делают исходные вейвлеты на уровне m = 0 .1ш30 (t )0124ш20 (t )00ш(t )8t8tш21(t )2ш10 (t )1646ш11(t )2ш13 (t )46ш01(t )8tш07 (t )1.024− 1.Рис. 16.368t29516.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯПрямое и обратное дискретные вейвлет-преобразования (ДВП)непрерывных сигналов запишутся в виде:cmk = ( S (t ), ψ mk (t ) ) =∞∫ S (t )ψ mk (t )dt ,(16.5)−∞S (t ) = ∑ cmk ψ mk (t ) .(16.6)m,kПроводя аналогию с преобразованием Фурье, коэффициентыcmk разложения (16.5) можно определить через НВП Ws (a, b)()cmk = Ws 2m , k ⋅ 2m .(16.7)Обращаясь к (16.5) и (16.7), видим, что вейвлет-спектр cmkможно представить как “лес” из вертикальных отрезков, размещенных над mk - плоскостью (сеткой); при этом целочисленные координаты m и k указывают соответственно на скорость изменениясигнала и положение вдоль оси времени.Из (16.6) следует, что сигнал S (t ) может быть представленсуммой “вейвлетных волн” с коэффициентами cmk .
Формальнообобщенный ряд Фурье (16.6) отличается от рассмотренного ранееряда (1.13) тем, что суммирование проводится не по одному, а подвум индексам. Однако это несущественно, так как обе системыиндексации принадлежат одному классу бесконечных счетныхмножеств.Примечания. 1. Статьи, касающиеся практического использования ВП, содержат в основной своей массе результаты компьютерных расчетов, в которыхиспользовано дискретное вейвлет-преобразование (ДВП). При этом не толькопараметры a и b, но и сигналы также дискретизируются во времени. Если числоотсчетов составляет N = 2n0 , то максимальное значение m в формулах (16.4)будет равно n0 − 1 . Наибольшее значение k для текущего m определяется:k = 2n0 − m − 1 .
В частности, для m = 0 (т. е. a = 1) число сдвигов k базисноговейвлета составит 2 n0 − 1 = N − 1 ; с каждым последующим значением m (1, 2, …)вейвлет ψ mk (t ) расширяется в два раза, а число сдвигов k уменьшается в двараза. Для максимального значения m = mmax , равного n0 − 1 , k = 0 , т. е. одинвейвлет ψ mmax, 0 (t ) “накрывает” весь интервал сигнала (рис. 16.3; N = 8 ).296ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА2.
В некоторых публикациях параметры a , b и базисные функции задаются ввидеa = 1/ 2 j , b = k / 2 j , ψ jk (t ) = 2 j ψ (2 j t − k ) ,(16.4’)т. е. с ростом j параметр a уменьшается, что соответствует сжатию функцииψ jk (t ) . Согласно формулам (16.4) с ростом m увеличивается и коэффициент a ,т. е. функция ψ mk (t ) растягивается.3. Вейвлет-коэффициенты cmk (или c jk ) можно вычислить с помощью итерационной процедуры, известной под названием быстрого вейвлет-преобразованияБВП [*.16, *.24].
Алгоритм БВП приведен в прил. П.13. При этом, если необходимо, можно сжать полученные данные, отбросив некоторую несущественнуючасть закодированной таким образом информации. Осуществляется это квантованием, в процессе которого приписываются разные весовые множители различнымвейвлет-коэффициентам. Аккуратно проведенная процедура позволяет не толькоудалить некоторые статистические флюктуации и повысить роль динамическиххарактеристик сигнала, но и существенно сократить компьютерную память и требования к передаче информации и, следовательно, снизить расходы.ГЛАВНЫЕ ПРИЗНАКИ ВЕЙВЛЕТАВ качестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременнодолжна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом.
Приведем здесь основные из них.Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:ψ2∞=∫2ψ (t ) dt < ∞ .−∞Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте.Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:ψ (t ) ≤ C (1 + t ) −1−ε и SΨ (ω) ≤ C (1 + ω )−1−ε , при ε > 0 .Например, дельта-функция δ(t ) и гармоническая функция неудовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ297Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см.рис.
16.1) и иметь нулевую площадь∞∫ ψ(t )dt = 0 .−∞Из этого условия становится понятным выбор названия “вейвлет” –маленькая волна.Равенство нулю площади функции ψ (t ) , т. е. нулевого момента,приводит к тому, что фурье-преобразование Sψ (ω) этой функцииравно нулю при ω = 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях a это будет набор полосовых фильтров.Часто для приложений бывает необходимым, чтобы не тольконулевой, но и все первые n моментов были равны нулю:∞∫tnψ(t )dt = 0 .−∞Вейвлеты n -го порядка позволяют анализировать более тонкую(высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.Автомодельность. Характерным признаком ВП является егосамоподобие.
Все вейвлеты конкретного семейства ψ ab (t ) имеютто же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ (t ) , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований ( a ) и сдвига ( b ).ПРИМЕРЫ МАТЕРИНСКИХ ВЕЙВЛЕТОВОсновные вейвлетообразующие функции, или материнскиевейвлеты, приведены в табл. 16.1.Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса ( g0 (t ) =)= exp(−t 2 / 2) . Это обусловлено тем обстоятельством, что функцияГаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной областях.298ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАТаблица 16.1ВейвлетыАналитическая записьψ(t )Спектральная плотностьψ (ω)Вещественные непрерывные базисыГауссовы:– первого порядка или−t exp(−t 2 / 2)(iω) 2π exp(−ω2 / 2)WAVE –вейвлет,– второго порядка илиMHAT-вейвлет “мексиканcкая шляпа” –mexican hat),(1 − t 2 )exp(−t 2 / 2) (−1) ndn ⎡exp(−t 2 / 2) ⎤⎦dt n ⎣– n -го порядка,(−1) nDOG – difference ofgaussianse −tLP-Littlewood & Paley(πt ) −1 (sin 2πt − sin πt )22− 0.5e−t2/8(iω)2 2π exp( −ω2 / 2)(−1)n (iω)n 2π exp(−ω2 / 2)22π (e−ω/22− e−2ω )⎧⎪(2π)−1/ 2 , π ≤ t ≤ 2π,⎨⎪⎩0, в противном случаеВещественные дискретныеHAAR – вейвлет⎧ 1, 0 ≤ t ≤ 1/ 2,⎪≥ ⎨ −1, 1/ 2 ≤ t ≤ 1,⎪⎩ 0, t < 0, t > 0.FHAT – вейвлет или“французская шляпа”(French hat – похож нацилиндр)⎧ 1, t ≤ 1/ 3,⎪≥ ⎨ −1/ 2, 1/ 3 ≤ t ≤ 1,⎪⎩ 0, t > 1.КомплексныеМорле (Morlet)eiω0t e −tПауля (Paul) (чем больше n, тем больше нулевых моментов имеетвейвлет)Г ( n + 1)2ieiω / 2sin 2 ω / 4ω/ 44 sin 3 ω / 33 ω/ 3σ(ω) 2πe− (ω−ω0 )/2in(1 − n)n +12/2σ(ω) 2π (ω)n e−ωНа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
