А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

+ S n (t )S&1(ω) + ... + S&n (ω)S (t m τ)S& (ω)e m jωτS (t )em jΩtS& (ω ± Ω)S (at )1 &⎛ ω⎞S⎜ ⎟a ⎝a⎠S ( −t )− S& (−ω)d ( n) S /( dt ) n( jω) n S& (ω)t∫ S (t )dt(1/ jω) S& (ω)S (t )U (t )S& (ω) ⊗ U& (ω)S (t ) ⊗ U (t )S& (ω)U& (ω)−∞⊗ – знак интеграла свертки:∞1S& (ω) ⊗ U& (ω) =∫ S& (ξ)U& (ω − ξ)d ξ ;2π −∞∞S (t ) ⊗ U (t ) =∫ S (τ)U (t − τ)d τ−∞П.5.ОБ АКТИВНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ И ШИРИНЕ СПЕКТРАИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛАВычисления выражений (2.13) и (2.14) для некоторых импульсных сигналов приведены в книге А. А. Харкевича “Спектры ианализ” (М.: Физматгиз, 1962.

– 236 с.). Выбирая kэ = 0.9 , получимрезультаты, приведенные в табл. П.1. Здесь μ = τэ ⋅ Δf э .318ПРИЛОЖЕНИЯТаблица П.1τэΔf эμsin(ωτ / 2)ωτ / 20.90τ1τ0.9S0α + jω1.155α0.98α1.130.54τ0.84τ0.462 S0 τ cos(ωτ / 2)π 1 − (ωτ / π) 20.596τ0.73τ0.43S0 π −ω2 / 4β2eβ0.825β0.26β0.22Импульс S (t )ПрямоугольныйS (t ) = S0 , t ≤ τ / 2ЭкспоненциальныйS (t ) = S0e −αt , t > 0Треугольный2S ⎛ τ⎞S (t ) = 0 ⎜ − t ⎟ , t ≤ τ / 2τ ⎝2⎠КосинусоидальныйS (t ) = S0 cos ω0t , t ≤ τ / 2 ,τ = T / 2, T = 2π / ω0КолокольныйS (t ) = S0e −β2 2tS& (ω)S0 τS0τ ⎛ sin(ωτ / 4) ⎞⎜⎟2 ⎝ ωτ / 4 ⎠2Значение μ = τэ ⋅ Δf э оказывается наибольшим у импульсов, характеризующихся разрывом функции S (t ) (экспоненциальный ипрямоугольный импульсы), меньшим – у импульсов с разрывомпервой производной S ′(t ) (треугольный и косинусоидальный) исамым малым – у колокольного импульса, характеризующегосянепрерывностью как функции S (t ) , так и всех ее производных.Из рассмотренного следует, что эффективная ширина спектраимпульса связана с его длительностью зависимостьюΔf э = μ / τэ ,где μ – коэффициент, зависящий от формы импульса и принятогоуровня kэ полной энергии, а следовательно, и уровней τ и Δf .Выбирая kэ = 0.95 (95 %), получаем результаты, приведенные втабл.

П.2, взятой из книги Я.С. Ицхоки “Импульсные устройства”(М.: Советское радио, 1959. – 728 с.Оценку эффективной ширины спектра импульса можно произвести также с помощью графика рис. П.1. На нем и в табл. П.2 приняты обозначения: τ0.5 – длительность импульса, измеряемая наполовинном уровне от амплитуды ( 0.5U ); tфа – активная длительность фронта, определяемая разностью соответствующих моментоввремени достижения импульсом значений 0.9U и 0.1U .319П.6.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЕМ ПО ЛАПЛАСУТаблица П.2Δf э = Δf 0.95Импульс2/τПрямоугольныйС экспоненциальными фронтами τфа / τ0.5 = 0.20.9 / τС экспоненциальными фронтами τфа / τ0.5 = 0.11.37 / τТрапецеидальный0.9 / τТреугольный0.94 / τ1/ τКосинусоидальныйКолокольный0.31/ βΔf0.95 ф0.521.61.20.80.400.10.20.30.40.50.6Рис. П.1П.6.СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЕМ ПО ЛАПЛАСУИ ОРИГИНАЛОМF ( p)f (t )1δ(t )1/ pσ(t )1/ p 2 ; 1/ p 3 ; 1/ p 4t ; t 2 / 2 ; t3 / 61/( p + a )e − atp /( p + a)δ(t ) − ae − at1/[ p ( p + a )](1/ a )(1 − e− at )1/[ p ( p + a ) 2 ](1/ a 2 )(1 − e − at − ate − at )p /( p 2 − a 2 )ch(at )1/[( p + a )( p + b)][1/(b − a )](e− at − e −bt )0.70.8 tфа ф0.5320ПРИЛОЖЕНИЯp /[( p + a )( p + b)][1/( a − b)]( ae− at − be −bt )1/( p + a ) 2te − atp /( p + a )2(1 − at )e − at1/( p + a)3(t 2 / 2)e− atp /( p + a )3t (1 − at / 2)e− atp 2 /( p + a )3(1 − 2at + a 2t 2 / 2)e − at1/( p + a ) 4(t 3 / 6)e− atp /( p + a )4(t 2 / 2)e− at − (at 3 / 2)e− atω /( p 2 + ω2 )sin ωtp /( p 2 + ω2 )cos ωtω /[( p + a) 2 + ω2 ]e − at sin ωt( p + a ) /[( p + a ) 2 + ω2 ]e − at cos ωt1/[ p 2 ( p + a )](1/ a 2 )(e− at + at − 1)1/{ p[( p + a ) 2 + ω2 ]}[1/( a 2 + ω2 )][1 − e − at (cos ωt + (a / ω)sin ωt )]p /[( p + a )( p 2 + ω2 )][1/(a 2 + ω2 )][− ae − at + a cos ωt + ω sin ωt )]p 2 /[( p + a )( p 2 + ω2 )][1/( a 2 + ω2 )][a 2e− at − aω sin ωt + ω2 cos ωt )]1/[( p + a )2 ( p + b) 2 ]⎡1/(a − b)2 ⎤ ⎡e− at t + 2 /(a − b)) + e−bt (t − 2 /(a − b) ⎤⎣⎦ ⎣⎢⎦⎥()П.7.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИЭтот закон широко используется не только в радиотехнике [1–3,8–11], но и практически во всех областях знаний, так как большоечисло различных по своей природе случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному (рис. П.2)w(u ) =2211 1 − x2 / 2 1e − (u − a ) / 2σ =e= w( x) ,σ 2πσ2πσ(П.1)где x = (u − a ) / σ – относительное отклонение случайной величиныU ; следовательно, u = xσ + a ; w( x) – плотность вероятности сединичной дисперсией (табл.

П.3).321П.7. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.w(u)F(u)1.01/ 2ру0.50aa0uuРис. П.2Таблица П.3Значения функции w( x)x0.00.10.20.30.40.5w( x )0.3989.3970.3910.3814.3838.3521xw( x )xw( x )xw( x )xw( x )x0.60.70.80.91.01.1.3332.3123.2897.2661.242021791.21.31.41.51.61.7.1942.1714.1497.1295.1109.09401.81.92.02.12.22.3.0790.0656.0540.0440.0355.02832.42.52.62.72.82.9.0224.0175.0136.0104.0079.00603.03.23.43.63.84.0w( x ).0044.0024.0012.0006.0003.0001Вероятность попадания случайной величины X в интервал[−∞, x] равна интегралу от плотности вероятности w( x) в пределахот −∞ до x , т. е.x∫ w( z )dz = Φ( x) ,(П.2)21Ф( x) =e− z / 2 dz, Ф(− x) = 1 − Ф( x)∫2π −∞(П.3)P(−∞ ≤ X ≤ x) = F ( x) =−∞гдеx– табулированный интеграл вероятности (табл. П.4).Таблица П.4Значения интеграла вероятности Ф( x)xФ( x )x0.00.10.20.5000.5598.57930.60.70.8Ф( x)x.7257 1.2.7580 1.37881 1.4Ф( x )x.8849 1.8.9032 1.9.9192 2.0Ф( x ).9641.9713.9772xФ( x)xФ( x )2.42.52.6.9918.9938.99533.03.23.4.9986.9990.9993322ПРИЛОЖЕНИЯОкончание табл.

П.4xФ( x ).6179.6554.69150.30.40.5xxФ( x)0.91.01.1.8159 1.5.8413 1.6.8643 1.7Ф( x )x.9332 2.1.9452 2.2.9554 2.3xФ( x)xФ( x )2.72.82.9.9965.9974.99813.63.84.0.9995.9997.9999Ф( x ).9821.9861.9893Характеристическая функцияθ(v) = e jva −σ2 2v /2(П.4)ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:математическое ожидание ................................среднеквадратическое отклонение ...................срединное отклонение .......................................второй центральный момент (дисперсия) ........третий центральный момент .............................m=a;σ;E = 0.66 ⋅ σ ;D = μ2 = σ2 ;μ3 = 0 ;коэффициент асимметрии .................................

γ1 = μ3 / σ3 = 0 ;четвертый центральный момент ...................... μ 4 = 3σ 4 ;коэффициент эксцесса ....................................... γ 2 = μ4 / D2 − 3 = 0 ;энтропия .............................................................. H = ln(σ 2πe ) .П.8.ПРИМЕРЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО И СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗАНЭ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ СТЕПЕННЫМ ПОЛИНОМОМГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗНиже представлены значения амплитуд и фаз составляющихна выходе безынерционного нелинейного элемента в случае, когдаy = f ( x ) = a0 + a1 x1 + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ,x = x (t ) = X 0 + X m cos(ω0t + ϕ0 ) .№п/пЧленполиномаЧастота и фазасоставляющейАмплитуда составляющей1a00a02a1x0a1 X 0ω0 , ϕ0a1 X m3П.8.

ПРИМЕРЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО И СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА№п/пЧленполиномаАмплитуда составляющей0a2 X 02 + a2 X m2 / 25ω0 , ϕ02a2 X 0 X m62ω0 , 2ϕ0(a2 / 2) X m20a3 X 03 + (3/ 2)a3 X 0 X m28ω0 , ϕ033a3 X 02 X m + (3/ 4)a3 X m92ω0 , 2ϕ0(3/ 2)a3 X 0 X m2103ω0 , 3ϕ03(1/ 4)a3 X m0a4 X 04 + (3/8)a4 X m412ωo , ϕo34a4 X 03 X m + 3a4 X 0 X m132ω0 , 2ϕ03a4 X 02 X m2 + (1/ 2)a4 X m2143ω0 , 3ϕ03a4 X 0 X m154ω0 , 4ϕ0(1/ 8)a4 X m44711a2 x 2Частота и фазасоставляющейa3 x3a4 x 4y (t ) = Y0 + Y1 cos(ω0t + ϕ0 ) + Y2 cos 2(ω0t + ϕ0 ) + Y3 cos 3(ω0t + ϕ0 ) ++ Y4 cos 4(ω0t + ϕ0 )гдеY0 = b0 + (1/ 2) a2 X 0 + (3/ 2) a3 X 0 X m2 + (3/ 8) a4 X m4 ,Y1 = b1 X m + (3/ 4) a3 X m3 + 3a4 X m3 , Y2 = (1/ 2)b2 X m2 + (1/ 2) a4 X m2 ,Y3 = (1/ 4)b3 X m3 , Y4 = (1/ 8)b4 X m4 ;здесьbn =3231 dny, b0 = a0 + a1 X 0 + a2 X 02 + a3 X 03 + a4 X 04 ,n ! dx n x = X 0b1 = b0′ = a1 + 2a2 X 0 + 3a3 X 02 + 4a4 X 03 ,b2 = b1′ / 2 = a2 + 3a3 X 0 + 6a4 X 02 ,324ПРИЛОЖЕНИЯb3 = b2′ / 3 = a3 + 4a4 X 0 , b4 = b3′ / 4 = a4 .СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗНиже представлены значения амплитуд и фаз спектральных составляющих в случае, когдаy = f ( x ) = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3 ,x = x (t ) = X 1 cos(ω1t + ϕ1 ) + X 2 cos(ω2t + ϕ2 ) + X 3 cos(ω3t + ϕ3 ) .№п/пЧленполиномаЧастота и фазасоставляющейАмплитуда составляющей1b00b02b1xω1, ϕ1 ,a1 X1ω2 , ϕ2 ,a1 X 2ω3 , ϕ3 ,a1 X 30a2 ( X12 + X 22 + X 32 )62ω1, 2ϕ1a2 X12 / 272ω2 , 2ϕ2a2 X 22 / 282ω3 , 2ϕ3a2 X 32 / 29ω1 m ω2 , ϕ1 m ϕ2a2 X1 X 210ω1 m ω3 , ϕ1 m ϕ3a2 X1 X 311ω2 m ω3 , ϕ2 m ϕ3a2 X 2 X 3ω1, ϕ1 ,(3/ 4)a3 X1( X12 + 2 X 22 + 2 X 32 )13ω2 , ϕ2 ,(3/ 4)a3 X 2 ( X 22 + 2 X 32 + 2 X12 )14ω3 , ϕ3 ,(3/ 4)a3 X 3 ( X 32 + 2 X 22 + 2 X12 )152ω1 m ω2 , 2ϕ1 m ϕ2(3/ 4)a3 X12 X 2162ω1 m ω3 , 2ϕ1 m ϕ3(3/ 4)a3 X12 X 3172ω2 m ω3 , 2ϕ2 m ϕ3(3/ 4)a3 X 22 X 334512b2 x2b3 x3325П.9.

ФУНКЦИИ БЕРГА (КОЭФФИЦИЕНТЫ ГАРМОНИК)№п/пЧленполиномаЧастота и фазасоставляющейАмплитуда составляющей18ω1 m 2ω2 , ϕ1 m 2ϕ2(3/ 4)a3 X1 X 2219ω1 m 2ω3 , ϕ1 m 2ϕ3(3/ 4)a3 X1 X 3220ω2 m 2ω3 , ϕ2 m 2ϕ3(3/ 4)a3 X 2 X 3221ω1 m ω2 m ω3 ,ϕ1 m ϕ2 m ϕ3(3/ 4)a3 X1 X 2 X 3223ω1, 3ϕ1(1/ 4)a3 X13233ω2 , 3ϕ2(1/ 4)a3 X 23243ω3 , 3ϕ3(1/ 4)a3 X 33П.9. ФУНКЦИИ БЕРГА (КОЭФФИЦИЕНТЫ ГАРМОНИК)γ 0 (θ) =I0sin θ − θ cos θIθ − sin θ cos θ=, γ1 (θ) = 1 =,πSU mπSU mγ n (θ) =α n (θ) =In2 sin(nθ) cos θ − n cos(nθ)sin θ, n = 2,3, 4,....=SU m πn(n 2 − 1)InI max=γ n (θ), I max = SU m (1 − cos θ) ,1 − cos θcos θ = (U н − U o ) / U m при S > 0 , cos θ = (U o − U н ) / U m при S < 0 .326ПРИЛОЖЕНИЯТаблица П.5θ5101520253035404550556065707580859095100105110115120125130135140145150155160165170175180γ0γ1γ210 γ 310 γ 4α0α1α210 α310 α4.0001.0006.0019.0045.0086.0148.0233.0344.0483.0653.0855.1090.1359.1661.1996.2363.2759.3183.3631.4099.4584.5081.5585.6090.6591.7081.7554.8004.8424.8808.9150.9442.9678.9854.99631.000.0001.0011.0038.0088.0170.0288.0449.0655.0908.1210.1560.1955.2392.2866.3371.3900.4446.5000.5554.6100.6629.7134.7608.8045.8440.8790.9092.9345.9551.9712.9830.9912.9962.9989.99991.000.0001.0011.0037.0085.0160.0265.0400.0564.0750.0954.1166.1378.1580.1761.1912.2027.2098.2122.2098.2027.1912.1761.1580.1378.1166.0954.0750.0564.0400.0265.0160.0085.0037.0011.0001.0000.0014.0109.0355.0798.1452.2297.3280.4317.5305.6132.6690.6892.6676.6022.4950.3520.1828.0000-.1828-.3520-.4950-.6022-.6676-.6892-.6690-.6132-.5305-.4317-.3280-.2297-.1452-.0798-.0355-.0109-.00140.0000.0014.0107.0388.0730.1258.1857.2423.2842.3001.2822.2272.1378.0226-.1050-.2288-.3320-.4005-.4244-.4005-.3320-.2288-.1050.0226.1378.2272.2822.3001.2842.2423.1857.1258.0730.0338.0107.00140.0000.0185.0370.0555.0739.0923.1106.1288.1469.1649.1828.2005.2180.2353.2524.2693.2860.3023.3183.3340.3493.3642.3786.3926.4060.4188.4310.4425.4532.4631.4720.4800.4868.4923.4965.4991.5000.0370.0738.1102.1461.1811.2152.2482.2799.3102.3388.3658.3910.4143.4356.4548.4720.4870.5000.5109.5197.5266.5316.5348.5363.5364.5350.5326.5292.5250.5204.5157.5110.5068.5033.5009.5000.0369.0731.1080.1408.1710.1980.2214.2409.2562.2671.2735.2757.2736.2676.2580.2453.2298.2122.1930.1727.1519.1312.1110.0919.0741.0581.0439.0319.0220.0142.0084.0044.0019.0005.0001.0000.3678.72031.04301.32291.54941.71471.81381.84541.81131.71661.56891.37831.1563.9153.6678.4259.2003.0000-.1682-.2999-.3932-.4488-.4693-.4594-.4252-.3733-.3108-.2445-.1803-.1231-.0762-.0411-.0181-.0055-.00070.0000.3658.7049.99301.21021.34321.38591.34011.21461.0246.7900.5328.2757.0392-.1596-.3086-.4018-.4387-.4244-.3684-.2829-.1817-.0782.0159.0919.1444.1718.1758.1609.1332.0995.0660.0376.0172.0054.00070.0000327П.10.

Характеристики

Список файлов книги