А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В результате получается частотновременное описание сигнала. Недостаток оконного ПФ состоит втом, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования (рис. 16.5, а), которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.ВП имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всегоза счет свойства локальности у вейвлетов.
В вейвлетпреобразовании операция умножения на окно как бы содержится всамой базисной функции, которая сужает и расширяет окно(рис. 16.5, б): с ростом параметра a увеличивается разрешение почастоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшениемэтого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличивается по времени. Отсюда появляется возможность адаптивного ксигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временноеокно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов.
Это свойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.30516.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯffшab (t )ttttбаtРис. 16.5Возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локальновблизи положения возмущения, а ПФ распространяет ошибки повсему восстанавливаемому сигналу. ПФ также чувствительно к фазовым ошибкам, а при ВП этого нет.Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала,принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, дляих сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехнике,электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники.При этом стоит отметить, что ВП ни в коем случае не являетсязаменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет егодостоинств и значимости при работе со стационарными процессами.
ВП просто иное и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с другой точки зрения.Выше были приведены основные термины, характеристики исвойства вейвлетов и вейвлет-преобразования.За короткий срок теория ВП получила революционное развитие.Причина успеха обусловлена тем, что новый аппарат пригоден дляпредставления нестационарных и сложных сигналов, свойства которых меняются во времени или пространстве. Он давно ожидалсятеоретиками и практиками. Число текущих публикаций неуклонно растет и не поддается учету из-за огромного числа практических применений.
Из последних достижений следует отметить то,что новый Международный стандарт сжатия изображенийJPEC-2000 предусматривает сжатие при помощи разложения повейвлетам. Одним из вариантов ВП является анализ сигналов сомногими уровнями; параметры соответствующей системы приведены в стандартах Экспертной группы по движущимся306ГЛАВА 16.
ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАизображениям MPEG-4, обеспечивается сжатие информации болеечем в 300 раз [*.33].Подтверждением значимости ВП является и тот факт, что алгоритмы ВП представлены в составе широко распространенных пакетов Mathcad, Mathlab и Mathematica; кроме того, фирмой AnalogDevices разработаны и выпускаются однокристальные дешевыемикросхемы ADV6xx (ADV601, ADV601LC, ADV611, ADV612),основанные на ВП и предназначенные для сжатия и восстановления изображений в реальном масштабе времени.Более углубленно ознакомиться с теорией и применением ВПчитатель может по приводимому ниже списку литературы.
Следуетособо выделить книгу Воробьева В. И. и Грибушина В. Г. [*.4], вкоторой не только изложены вопросы теории ВП, но и разработаны принципы построения вейвлет-фильтров, практические аспекты преобразования, приведены технические данные о микросхемах ADV6xx, осуществляющих сжатие изображений на основе ВП.16.3.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕВыполняется в терминальном классе. Используется популярный математический пакет Mathcad-2001. Примеры вейвлетпреобразований приведены в прил. П.13.16.3.1. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ НА ОСНОВЕ MHAT-ВЕЙВЛЕТАСигнал S (t ) представляет собой сумму двух гармоническихколебаний, т. е.S (t ) = U1 sin[2π(t − τ1 ) / T1 ] + U 2 sin[2π(t − τ2 ) / T2 ] ,где U i , Ti и τi – амплитуда, период и задержка соответствующейгармоники.За исходные следует принять такие значения параметров:U1 = U 2 = 1 В, T1 = 50 , T2 = 10 , τ1 = τ2 = 0 .Требуется:а) определить вейвлет-спектр и вывести графики: а) поверхности Ws (a, b) в трехмерном пространстве, б) линий уровня на плоскости ( a, b );16.3.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ307б) построить несколько сечений спектра Ws (a, b) для различных(характерных) значений a и b , т. е. Ws (a1`, b) , Ws (a2 , b) , Ws (a, b1 ) ,Ws (a, b2 ) ; проанализировать результаты;в) изменяя параметры сигнала (амплитуды, периоды и задержкигармоник), проанализируйте их влияние на форму его вейвлетспектра.16.3.2.
ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СМЕСИ СИГНАЛА И ШУМАИсследуемый сигнал x (t ) представляет собой аддитивнуюсмесьx(t ) = S (t ) + n(t )детерминированного сигнала S (t ) и белого нормального шумаn(t ) , описываемого плотностью вероятностиw(u ) =12πσ()exp u 2 / 2 .Сигнал S (t ) берется по указанию преподавателя из табл. 16.2.Исходные значения параметров шума и сигнала: σ = 0.5 В и U = 5 В,T = 100 , τ = 50 , t0 = 10 , σ1 = 5 , α = 0.1 , U1 = U 2 = 2 В, T1 = 50 ,T2 = 10 , t01 = t02 = 0 , k = 0.1 .Требуется:а) дискретизировать сигнал x (t ) и представить его графически,аргумент t должен иметь ровно N = 2n0 элементов ( n0 – целое,например, 8);б) определить коэффициенты cm,k на основе встроенного прямого ВП ( wave( x) ) и представить графически семейства этих коэффициентов;в) исследовать влияние параметров сигнала и шума на структуру семейств коэффициентов cm,k ;г) осуществить синтез сигнала x% (t ) на основе встроенного обратного ВП ( iwave( w) ) ;д) принять w j = 0 для j := 2 L..N − 1 и исследовать влияние параметра L на форму синтезируемого сигнала и сглаживание (и подавление) шума.308ГЛАВА 16.
ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАТаблица 16.2Название сигналаАналитическое выражение,Отрезок синусоидыU sin[2π(t − t0 ) / T ] , t0 ≤ t ≤ t0 + τ1Прямоугольный импульсU , t0 ≤ t ≤ t0 + τ2Колокольный импульсU exp ⎡ −(t − t0 ) 2 / 2σ12 ⎤⎣⎦3Треугольный импульс⎧(2U / τ)(t − t0 ), t0 ≤ t ≤ t0 + τ / 2,⎨⎩(2U / τ)(−t + t0 + τ), t0 + τ / 2 ≤ t ≤ t0 + τ4Пилообразный импульс(U / τ)(t − t0 ), t0 ≤ t ≤ t0 + τ5Экспоненциальный импульсПара знакопеременныхпрямоугольных импульсовU exp[ −α (t − t0 )] , t > toСумма двух гармонических сигналовU1 sin[2π(t − t01 ) / T1 ] +Вариант06789Двапоследовательновключенных отрезка синусоидыЛЧМ-импульсS (t )⎧⎪U , t0 ≤ t ≤ t0 + τ,⎨⎪⎩−U , t0 + τ ≤ t ≤ t0 + 2τ+ U 2 sin[2π(t − t02 ) / T2 ]U1 sin[2π(t − t0 ) / T1 ] , t0 ≤ t ≤ t0 + τ ,U 2 sin[2π(t − t0 − τ) / T2 ] , t0 + τ ≤ t ≤ t0 + 2τU sin[(2π / T )(1 + kt )t ]ЛИТЕРАТУРА*.1.
Воробьев В. И., Грибушин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. –СПб.: Изд-во ВУС, 1999. – 208 с.*.2. Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие– СПб.:Изд-во 000 “МОДУС”. 1999. – 152 с.*.3. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд-воСПбГТУ. 1999. – 132 с.*.4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. – 464 с.*.5. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. –М.: Высшая школа,2000.
Глава 2, раздел 2.6. “Вейвлет-анализ”. – С.65–68.*.6. Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. – Екатеринбург, 1999. Глава 1, раздел 12. “Всплески”. – С.127-150.*.7. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: АФЦ, 1999. Глава 7.“Введение в теорию всплесков”, С.244-296.*.8. Чуи Т. К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.*.9. Дьяконов В.
П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер. 2002. – 608 с.ЛИТЕРАТУРА309*.10. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения// Успехи физических наук, – 1998. – Т.166. – № 11. – С.
1145-1170.*.11. Будников Е. Ю., Кукоев И. Ф., Максимов А. В. Вейвлет- и фурье-анализэлектрических флуктуаций в полупроводниковых и электрохимических системах// Измерительная техника. – 1999. – № 11. – С.40-44.*.12. Гречихин В. А., Евтихиева О. А., Есин М. В., Ринкевичус Б. С. Применение вейвлет-анализа моделей сигналов в лазерной доплеровской анемометрии //Автометрия. – 2000.
– № 4. – С. 51-58.*.13. Дольников В. А., Стрелков Н. А. Оптимальные вейвлеты // Изв. Тульскогогос. ун-та, серия математика, механика, информатика. – 1997. – т.4. – № 5 –С.62-66.*.14. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001. – Т.171. – № 5.
– С.465-501.*.15. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Практическое применениевейвлет-анализа // Наука производству, 2000.– № 6. – С.13-15.*.16. Желудев В. А. О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн-вейвлетов и вейвлет-пакетов // ДАН, 1997, Т. 356. – № 5. – С. 592-596.*.17. Захаров В.Г. Разработка и применение методов вейвлет-анализа к нелинейным гидродинамическим системам. Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук.– Пермь, 1997.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
