А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. вектор x , должен иметьровно N = 2n0 элементов ( n0 – целое число). Результатом функцииwave( x) является вектор, скомпонованный из коэффициентовдвухпараметрического вейвлет-спектра cmk .338ПРИЛОЖЕНИЯПример. Исследуемый сигнал x (t ) представляет собой аддитивную смесьx(t ) = S (t ) + n(t )прямоугольного видеоимпульса S (t ) и белого нормального шумаn (t ) :s (t ) :=U if t0 ≤ t ≤ t0 + τ0 otherwiseU = 5 В, t0 = 40 τ = 60Представление сигнала и шума в дискретном виде:n0 = 8 , N = 2no , N = 256 , i := 0..N − 1si := s(i )σ := 0.3 ni := σ −2ln(rnd (1)) sin(2πrnd (1))7xi−276543210120020406080100 120 140 160 180 200 220 240 260i260xi := si + niВейвлет-анализ, т.
е. прямое ВП:i := 0..N − 1 y := x w := wave( y )z := n0 − 1 z = 7 m := 1, 2..zcoeffs(level ) := submatrix( w, 2level , 2level − 1,0,0)ci , z − m := coeffs( m)⎡⎤⎢⎥i⎥flor ⎢⎢⎛ N ⎞ ⎥⎢⎜ m ⎟ ⎥⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥339П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙСемейства коэффициентов вычисленного вейвлет-спектра показаны на рис. П.11, а весь спектр – на рис. П.12.2.5( )2〈0〉c i( c〈1〉)i− 1.500050100150200i2502565(c〈2〉 ) i(c〈3〉 ) i0(c〈4〉 ) i− 6.50050100150200i25025620 20(c〈5〉) i(c〈6〉) i(c〈7〉) i10010− 150050100150i200250256Рис. П.11( )Примечание. У коэффициентов cmiнижний индекс i означает номер те-кущего отсчета времени и принимает N значений от 0 до N – 1, а верхний m имеет тот же смысл, что и у вейвлет-коэффициентов cmk , определяемых по формуле(16.5).
Напомним, что параметры m и k (которым соответствуют индексы вейвлет-коэффициентов) характеризуют дискретные изменения временного масштаба340ПРИЛОЖЕНИЯ( a = 2m ) вейвлета и его сдвига (b = k 2m ) во времени. Для текущего масштаба mпараметр k имеет 2 n0 − m значений от 0 до 2 n0 − m − 1 . В частности, для m = 0( a = 1 ) вейвлет ψ 0 k ( x ) смещается N раз (включая нуль), т. е. индекс k в cmk и( ) совпадают. При m = 1 вейвлет ψиндекс i в c01k ( x )iрасширяется по сравне-нию с вейвлетом ψ 0 k ( x) в два раза и общее число сдвигов будет в два раза меньше; при этом значение k будет изменяться через два отсчета i . Для наибольшеговременного масштаба, когда m = n0 − 1 (в данном случае 7), k = 0 и один вейвлет( )ψ 7,0 ( x ) “накроет” весь временной интервал; при этом значение c7iбудет по-стоянным и равным c7,0 при всех значениях i от 0 до N – 1.cРис.
П.12Вейвлет-синтез, т. е. обратное ВП.x1i := iwave( w) .Синтезируемый сигнал:Осуществим синтезирование сигнала с подавлением коэффициентов cm,k при быстрых (высокочастотных) слагаемых обобщенного ряда Фурье (16.6):j := 2 L..N − 1 w j := 0 .Результаты представлены на рис. П.13. Очевидно, что приL = n0 = 8 синтез происходит без подавления составляющих и исследуемый xi и синтезируемый x1i сигналы полностью совпадают.С уменьшением параметра L расширяется полоса подавлениясоставляющих в вейвлет-спектре, что эквивалентно пропусканиюсигнала через фильтр низких частот с уменьшающейся полосойпропускания фильтра и, следовательно, росту подавления шума иП.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ341относительно высокочастотных компонент сигнала; последнееприводит к искажению (затягиванию) фронтов импульса.7xix1i−2765432101276543210127xix1i−27xix1i−27xix1i−276543210120020406080 100 120 140 160 180 200 220 240 260i260L = no = 80020406080100 120 140 160 180 200 220 240 260i260L := 60020406080100 120 140 160 180 200 220 240 260i260L := 420406080100 120 140 160 180 200 220 240 260i260L := 3765432101200Рис.
П.13342ПРИЛОЖЕНИЯ3. MATLAB С ПАКЕТОМ WAVELETПакет Wavelet, прилагаемый к MatLAB, представляет пользователю полный набор программ для исследования с помощью вейвлетов многомерных нестационарных процессов. Пакет весьма полезен для таких приложений, как обработка речевых сигналов иаудиосигналов, телекоммуникация, локация, геофизика, финансы,медицина и др.Основные свойства пакета 1 :– усовершенствованный графический пользовательский интерфейс и набор команд для анализа, синтеза, фильтрации сигналов иизображений;– преобразование многомерных непрерывных сигналов;– дискретное преобразование сигналов;– декомпозиция сигналов и изображений;– широкий выбор базисных функций, включая коррекцию граничных эффектов;– пакетная обработка сигналов и изображений;– анализ пакетов сигналов, основанный на энтропии;– фильтрация с возможностью установления жестких и нежестких порогов;– оптимальное сжатие сигналов.Пакет позволяет анализировать такие особенности, которыеупускают другие методы анализа сигналов, а именно, тренды, выбросы, разрывы в производных высоких порядков.
Пользуясь пакетом, можно сжимать и фильтровать сигналы без явных потерь дажев тех случаях, когда нужно сохранить и низко- и высокочастотныекомпоненты сигнала. В пакет включены следующие материнскиенаборы вейвлетов: “материнская шляпа”, Хаара, Мейера, биортогональный и др. Обширное руководство пользователя поясняетпринципы работы с пакетом, сопровождая их многочисленнымипримерами и ссылками.4. ВЕЙВЛЕТЫ ДОБЕШИ. БВПСуществуют алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования(БВП), разработанные в соответствии с концепцией кратномасштабного анализа (КМА) [33, 34]. В них используются компактно заданные вейвлеты и, в частности, вейвлеты Добеши (Daubechies) [34].Материнский вейвлет Добеши описывается уравнениями:2 n −1ψ ( x) = 2 ∑ g k ϕ(2 x − k ) ,k =01Дьяконов В.
П. MatLAB. Учебный курс. СПб.: Питер. – 2001. – 592 с.(П.13.1)П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ2 n −1343ϕ( x) = 2 ∑ hk ϕ(2 x − k ) ,(П.13.2)g k = ( −1)k h2 n −1− k , hk = ( ϕ( x), ϕ(2 x − k ) ) .(П.13.3)k =0гдеФункция ϕ( x) , получаемая из решения уравнения (П.13.2), называется масштабирующей (её часто называют также “отцовским”вейвлетом). Коэффициенты hk принято называть вейвлеткоэффициентами. Они образуют дискретный фильтр ВП и полностью характеризуют саму функцию ϕ( x) , т. е. эта функция можетбыть получена с любой точностью.
Число n – это порядок вейвлета.Вейвлеты n -го порядка существуют только на интервале длиной(2n − 1) и имеют 2n отличных от нуля вейвлет-коэффициентов hk .Решение уравнения (П.13.2) дает 2 :• для n = 2 (четырехточечный фильтр Добеши):h0 = (1 + 3) /(4 2) = 0.482963,h1 = (3 + 3) /(4 2) = 0.836516,h2 = (3 − 3) /(4 2) = 0.224144,h3 = (1 − 3) /(4 2) = - 0.129409,•g0 = h3 , g1 = −h2 , g 2 = h1 , g3 = − h0 ;для n = 3 (шеститочечный фильтр):h0 = 0.332670, h1 = 0.806891, h2 = 0.459877,h3 = – 0.135011, h4 = – 0.085441, h5 = 0.035227.• для n = 4 (восьмиточечный фильтр):h0 = 0.230377, h1 = 0.714847, h2 = 0.630881,h3 = – 0.027984, h4 = – 0.187035, h5 = 0.030841,h6 = 0.032883, h7 = – 0.010597.2Функции Добеши первого порядка ( n = 1 ) совпадают с функциями Хаара.344ПРИЛОЖЕНИЯНа рис.
П.14 приведены отцовский (сплошной линией) и материнский вейвлеты второго, третьего и четвертого порядков, которые задаются приведенными выше коэффициентами фильтров.Простейший вейвлет четвертого порядка (восьмиточечныйфильтр D 4 или db 4 ) используется в вейвлет-преобразованиях,осуществляемых системой МаthCAD. Очевидно, что вейвлеты высокого порядка ( n = 3 и n = 4) более гладкие по сравнению с D 2 ;все функции ϕn и ψ n непрерывны и несимметричны. Порядоквейвлета определяет число нулевых моментов.
В главе 16 отмечалось, что чем большее число нулевых моментов содержит вейвлет(т. е. чем выше его порядок), тем более тонкую структуру сигналаон позволяет анализировать.2.01.51.00.50-0.5-1.0-1.50.2n=2010.132n=30.200-0.1-0.124n=40.160246Рис. П.14С использованием вейвлетов Добеши осуществлен один из алгоритмов быстрого вейвлет-преобразования. Расчет вейвлеткоэффициентов cmk выполняется итерационной процедурой от“тонкого” масштаба к “грубому” [гл.6, *20, *24].
На самом “тонком” значении масштаба ( m = 0 , a = 1 ) за коэффициенты принимаются сами отсчеты сигнала xi , т. е. c0 k = s0 k = xi . При переходеот текущего масштаба m к следующему m + 1 число вейвлеткоэффициентов уменьшается в два раза и они определяются по рекуррентным соотношениям:sm +1,k = ∑ hl − 2 k sml , cm +1,k = ∑ gl − 2 k sml .llПри восстановлении сигнала по его вейвлет-коэффициентампроцесс идет от крупных масштабов к мелким и на каждом шагеf km = ∑ ( hk − 2l sml + g k − 2l sml ) .lП.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ345Число операций умножения при прямом БВП будет 2LN ,L = 2n , где n – порядок вейвлета [*24]. Столько же операций необходимо для восстановления (реконструкции) сигнала. Таким образом, для анализа-синтеза сигнала в базисе вейвлетов необходимовыполнить 4LN операций, что не превышает (и даже меньше) числа операций для БПФ ( N log 2 N ).БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1.
Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник. – М.: Радиои связь, 1986. – 512 с.2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник. – 2-e изд. – М.:Высшая школа, 1988. – 448 с.3. Радиотехнические цепи и сигналы. Учеб. пособие для вузов / Под ред.К.А. Самойло. – М.: Радио и связь, 1982. – 528 с.4. Радиотехнические цепи и сигналы. Рабочая программа и контрольныезадания / Сост.
А.Н. Яковлев, В.П. Разинкин, В.М. Меренков; Новосиб. электротехн.ин-т. – Новосибирск, 1992. – 46 с.5. Радиотехнические цепи и сигналы: Примеры и задачи / Под ред.И.С. Гоноровского. – М.: Радио и связь, 1989. – 128 с.6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Руководство к решениюзадач. – М.: Высшая школа, 1987. – 207 с.7.
Жуков В.П., Карташов В.Г., Николаев А.М. Задачник по курсу радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 1986. -192 с.8. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника:Примеры и задачи. Учеб. пособие для вузов. – М.: Сов. радио, 1980. – 544 с.9. Заездный А.М. Основы расчетов по статистической радиотехнике. – М.:Связь, 1969. – 448 с.10. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – М.: Радио и связь, 1982. -624 с.11. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
– М.:Радио и связь, 1989. – 656 с.12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Д. Справочник по математике для инженерови учащихся втузов. – М.: Физматгиз, 1986. – 544 с.13. Янке Е., Эмне Ф., Леш Ф. Специальные функции, формулы, графики,таблицы. – М.: Наука, 1977. – 342 с.14. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. – М.:Связь, 1975. –272 с.15. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа: Основы и применения. – М.:Мир, 1980. –575 с.16. Хармут Х.Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
