А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 41
Текст из файла (страница 41)
16.4 показаны вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной плотности. При n = 1 получаем вейвлет первого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нулевым моментом. При n = 2 получаем MHAT –вейвлет, называемый“мексиканская шляпа” (mexican hat – похож на сомбреро). У негонулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.29916.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯωt2g1(t)1Sg1(ω)g2(t)0Sg2(ω)g3(t)1Sg3(ω)g4(t)Sg4(ω)2343 21 0 1 23 465.554.543.532.521.510.500 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4ωtРис. 16.4СВОЙСТВА ГАУССОВЫХ ВЕЙВЛЕТОВ:• четность каждого вейвлета совпадает с четностью его номера;• любой вейвлет g n (t ) имеет ровно n нулей и стремится к нулю при возрастающем абсолютном значении аргументаt →±∞g n (t ) ⎯⎯⎯→ 0 ;• вейвлеты более высокого порядка n имеют больше равныхнулю моментов и позволяют извлечь из сигала информацию обособенностях более высокого порядка;• из определения семейства вейвлетов (на основе производныхфункции Гаусса) видно, что производная вейвлета совпадает с точностью до знака с вейвлетом более высокого (на один) порядкаdg n (t ) / dx = − g n +1 (t ) ;(16.8)• соотношение (16.8) позволяет заключить, что экстремумы гауссового вейвлета g n (t ) совпадают с нулями функции g n +1 (t ) ;• учитывая (16.8), можно получить общее выражение для значения интеграла от g n (t ) на любом интервалеt2∫ gn (t )dt = gn−1 (t2 ) − gn−1 (t1 ) ;t1• относительная площадь вейвлетаtw(t ) = ∫ g n (t ) dt0∞∫ gn (t ) dt(16.9)0достигает единицы практически при t = 5 .
В работе [*.26] показано, что вейвлеты имеют приблизительно равную площадь на любом интервале t . Это позволяет выбрать общий для нескольких ВП300ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАмасштабный коэффициент Cψ . При этом совместное использование g1 − g 4 для ВП существенно повышает точность вейвлетанализа.Наиболее простой пример дискретного вейвлета – этоHAAR-вейвлет. Недостатком его является несимметричность формы и негладкость – резкие границы в t -области, вследствие чеговозникает бесконечное чередование “лепестков” в частотной области, хотя и убывающих как 1/ ω .LR - вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в ω- области,можно считать другим предельным случаем.Общий подход, учитывающий требования, предъявляемые квейвлетобразующим функциям, известен под названием многомасштабного анализа.
Из ряда вещественных базисов этим требованиям удовлетворяют функции Добеши (Daubechies) [*.1, *.4,*.14, *.24], одна из которых ( db 2 ) используются, например, в качестве встроенной для ВП в Mathcad (см. прил. П.13).Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется базис, основанный на хорошо локализованном и во временной и вчастотной областях вейвлете Морле. Характерный параметр ω0позволяет изменять избирательность базиса.
Вещественная и мнимая части ψ (t ) – это амплитудно-модулированные колебания.Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерывный или дискретный) целиком зависит от характера поставленнойзадачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналыудается анализировать тем или иным способом, и критерием успехаобычно служит простота получаемого разложения. При этом решающим фактором оказываются интуиция и практический опытисследователя.СВОЙСТВА ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗАПрямое ВП содержит комбинированную информацию об анализируемом сигнале и анализирующем вейвлете. Несмотря на это, ВПпозволяет получить объективную информацию о сигнале, потомучто некоторые свойства ВП не зависят от выбора анализирующеговейвлета. Независимость от вейвлета делает эти простые свойстваочень важными.Так как вейвлет-спектр cmk связан со спектром Ws (a, b) НВП[см. выражение (16.7)], то ниже выпишем основные свойства лишьвейвлет-спектра Ws (a, b) сигнала S (t ) .
Будем использовать обозначения W [ S ] = W (a, b) .30116.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯЛинейность. Она следует из скалярного произведения (16.2):W [αS1 (t ) + βS2 (t )] = αW [ S1 ] + βW [ S2 ] = αW1 (a, b) + βW2 (a, b) .Инвариантность относительно сдвига:W [ S (t − b0 )] = W [a, b − b0 ] .Инвариантность относительно изменения масштаба:W [ S (t a0 ) ] =1 ⎡a b⎤W ⎢ , ⎥,a0 ⎣ a0 a0 ⎦т.
е. растяжение (сжатие) масштаба сигнала приводит также к растяжению (сжатию) его в плоскости W (a, b) .Дифференцирование:W [dtm S ] = (−1)m∞∫ S (t )dtm[ψ ab (t )]dt ,−∞где dtm = d m [...]/ dt m , m ≥ 1 . Из этого свойства следует, что проигнорировать, например, крупномасштабные составляющие и проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала S (t ) можно дифференцированием нужногочисла раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Если учесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет-формулой, то это свойство весьма полезное.Масштабно-временная локализация.
Она обусловлена тем, чтоэлементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижнымчастотно-временным окном.За счет изменения масштаба (увеличение a приводит к сужению фурье-спектра функции ψ ab (t ) ) вейвлеты способны выявлятьразличие в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счетсдвига анализировать свойства сигнала в разных точках на всемисследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарныхсигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, котороедает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций(комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена набесконечном интервале.302ГЛАВА 16.
ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАПоэтому неслучайно многие исследователи называют вейвлетанализ “математическим микроскопом”. Это название хорошоотражает замечательные свойства метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига b фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент a – увеличение, и, наконец, выбором материнского вейвлета ψ определяют оптические качества микроскопа. Способность этого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойства продемонстрирована на многих примерах (см., например, [*.10]).ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИАналог равенства Парсеваля:∞Эs =∫−∞2S (t ) dt =1Cψ∞ ∞∫ ∫W ( a, b)2dadb−∞ −∞a2.(16.10)Плотность энергии сигналаЭ w ( a, b) = W ( a, b)2(16.11)характеризует энергетические уровни анализируемого сигала S (t )в области ( a, b) .Локальный спектр энергии. По плотности энергии Эw ( a, b) спомощью “окна” ξ(b − t0 ) / a можно определить локальную плотность энергии в точке b = b0 = t0⎛ b − t0 ⎞Э ξ ( a , t0 ) = ∫ Э w ( a , b ) ξ ⎜⎟ db .⎝ a ⎠Если в качестве окна использовать дельта-функцию δ(t ) , то2Э ξ ( a , t0 ) = W ( a , t0 ) .Эта характеристика позволяет исследовать временную динамикупередачи энергии сигнала по масштабам, т.
е. обмен энергией между составляющими сигнал компонентами разного масштаба в любой фиксированный момент времени t0 .30316.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯГлобальный спектр энергии. Он характеризует распределениеэнергии по масштабам a2Эw (a ) = ∫ W ( a, b) db = ∫ Эw ( a, b) db .Этот спектр называют также скалограммой (scalogram).Мера локальной перемежаемости:I w (a, t ) = Эw ( a, t ) / Эw ( a, t )– это мера локальных отклонений от среднего поля спектра на каждом масштабе.
Угловыми скобками здесь обозначено усреднение.Мера I w (a, t ) позволяет определить степень неравномерностираспределения энергии по масштабам. Равенство I w (a, t ) =1 привсех a и t означает равномерность распределения энергии, т. е.все локальные спектры энергии одинаковы.Мера контрастности:Cw ( a , t ) =Э w ( a, t )Э'w (a, t ), Э'w (a, t ) =a′= a∫Э w ( a′, t )da′ .a′Она позволяет определить даже самые малые изменения в сигнале,если необходимо, например, выявить слабые вариации на фонекрупной структуры.СОПОСТАВЛЕНИЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕКлассическое преобразование Фурье (ПФ) является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов.
При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусовили комплексных экспонент. Эти базисные функции простираютсявдоль всей оси времени.С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обладает временным разрешением. ПФ даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, аэто является теоретической абстракцией. Обусловлено это тем, чтобазисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое колебание, которое математически определено на вре-304ГЛАВА 16.
ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛАменном интервале от - ∞ до + ∞ . ПФ не учитывает, что частота колебания может изменяться во времени. Локальные особенностисигнала (разрывы, ступеньки, пики и т. п.) содержат едва заметныесоставляющие спектра, по которым обнаружить эти особенности, итем более их место и характер, практически невозможно. В этомслучае очень сложно и точное восстановление сигнала из-за появления эффекта Гиббса. Для получения о сигнале высокочастотнойинформации с хорошей точностью следует извлекать ее из относительно малых временных интервалов, а не из всего сигнала, а длянизкочастотной спектральной информации наоборот. Кроме того,на практике не все сигналы стационарны, а для нестационарныхсигналов трудности ПФ возрастают многократно, делая его практически невозможным.Часть указанных трудностей преодолевается при использованииоконного ПФ:∞S (ω, b) =∫ S (t )w(t − b)e− jωtdt ,−∞в котором применяется предварительная операция умножения сигнала на “окно” w(t − b) ; при этом окном является локальная вовремени функция, перемещаемая вдоль оси времени для вычисления ПФ в разных позициях b .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
