Курс лекций по теме Управление в МИСО (1996) (1264200), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Понятие о методе динамики средних.Уравнение динамики боя. Уравнение Ланчестера.Особенности метода1. Если число состояний системы велико, а она состоит из однородных элементов, то ее исследование на графах состояний делается сложным и не приноситкачественного результата.2. Однородность элементов позволяет перейти к графу состояний элемента, асостояние системы характеризовать числом элементов, находящихся в томили ином состоянии.Страница 22Пример.Вычислить комплекс из ЭВМ.S1 - все исправны; S2 - одна неисправна; S3 - 2 неисправны...Если учесть еще ремонт, осмотр, разветвления, то число состояний резкоувеличится.

Но система состоит из однородных единиц, причем любая ЭВМможет находиться в одном из 4-х состояний:1212421 - исправна;2 - осмотр;413 - простой;4 - ремонт.4Число состояний элемента (4) меньше числа состояний системы.23343Состояние системы можно охарактеризовать числом элементов, находящихся в этих состояниях.Число элементов, находящихся в k-м состоянии, характеризуется матожиданиеми дисперсией: mK(t), DK(t).Состояние элементов: 1, . . .

, K , . . .Число элементов в состоянии 1, ... ,K ,..: X1, . . . ,XK;. . .Каждую величину XK теперь можно представить в виде .N 0 N i  KX K =  X (Ki) ( t )X (i)(t)=Ki =1 1 N i  KN ( i)mK = M X Ki =1N  - т.к. X( i)DK = D XKi =1K(i)независимые величины.Будем считать, что состоянию элемента соответствует вероятность PK.Т.к. случайная величина дискретная:M / XK(i)/ = 1PK – 0(1–PK) = PKDK /XK(i)/ = (1–PK)2PK + (0 –PK)2(1–PK) = PK(1–PK)Nmm K =  PK = NPKD K = NPK (1 − PK ) = m K (1 − K )Ni =1Вернувшись к исходному примеру, можно получить окончательный результат:••Умножив на NmP1 = − 12 P1 +  41P41 = − 12 m1 +  41m 4получим:••P 2 = −( 24 +  23 )P2 + 12 P1•P 3 = −  34 P3 +  23 P2•P 4 = −  41P4 +  34 P3 +  24 P24 Pi = 11Страница 23m 2 = −(  24 +  23 )m 2 + 12 m1•m 3 = −  34 m 3 +  23 m 2•m 4 = −  41m 4 +  34 m 3 +  24 m 2Это система дифференциальных уравнений, характеризующая системуоднородных элементов.

Ее размерность меньше, чем размерность системы, полученной при простом анализе.Зависимость интенсивности перехода от численности состояний.Квазирегуляроность.В ряде задач интенсивность потока событий зависит от численности элементов, находящихся в данном состоянии.Пример 1Ремонт большого числа однородных единиц.Для каждого элемента 2 состояния:1 - исправна;2 - ремонт. 12 - интенсивность потока отказов; 21 - интенсивность потока ремонта.112212Обратный переход из 2 в 1 зависит от числа ремонтируемых единиц, если ремонт имеет вполне определенную пропускную способность. X 2при X 2  K Xк - число рабочих в ремонтной бригаде;2 21 ( X 2 ) =  - интенсивность ремонта, на 1 элемент; K п р и X  K 21 - интенсивность перехода, на 1 элемент.2 X 2Если N велико, то отклонение Xi от mi невелико.

В этом заключаетсяпринцип квазирегулярности.M 21 (m 2 ) =  MK m 2•при m 2  Km 1 = − 12 m 1 +  21 (m 2 )  m 2п ри m2  Km 2 = −  21 (m 2 )  m 2 + 12 m 1•2mi = Ni =1Пример 2Метод динамики среднего для описания боя 2-х группировок войск NА,NБ. Каждая единица производит пуассоновский поток выстрелов со скорострельностью  1 и эффективностью выстрелов = 1p, где p - вероятность поражения противника 1 выстрелом. Для каждой группировки может быть указано 2состояния:I - число уцелевших единиц;А I А12 IIБ I Б12 IIII- число пораженных единиц.А12=Б X БIX АIБ12=А X АIX БIСтраница 24X АI  0X БI  0Организация управления каждой группировки построена по принципу незапаздывания информации.

Информация поступает и доводится до средствмгновенно.Найдем средние численности по принципу квазирегулярности:• АБ m IБААББАI 2 mm АII = N А − m АII = −  12 m = −  mIIm АIА m АIm IБmАI = NA;БI 2 При t = 0:• Бm I = − Б12 m БI = − А mАIm БII = N Б − m БImБI = NБ.Бm АI = N А  ch А Б  t − N Б А  sh А Б  tА БА БА Бm I = N Б  ch    t − N АБ  sh    tРешение системы:Разделим на NА и NБ соответственно; получим квадратичный закон Ланчестера (убывание численности боевых единиц больше зависит от числа боевыхединиц, чем от скорострельности, как 1-я степень и корень квадратный).III.

Моделирование операций методом статистических испытаний.Любое современное моделирование не может обойтись без метода статистических испытаний. Это альтернатива стохастической оптимизации, т.к. позволяет на основе математического эксперимента получать статистические оценки, аналогичные тем, которые получаем в стохастической задаче анализа. Стохастические оценки (М, Д, ) в этом методе получаются на основе умения имитировать случайную реализацию.Например, математическое ожидание промаха: много раз разыгрываемполет снаряда к цели. При этом используются центральная предельная теорема, теорема Бернулли, теорема Чебышева.ПримерИмеется плоская площадная цель.YrXr - радиус поражения каждой ракеты;n - число ракет;Для поражения цели нужно накрытьбольше, чем k % площади цели.Найти P0 вероятность поражения и математическое ожидание пораженной площади.ZSцАналитическое решение этой задачи гораздо сложнее, чем применениестатистических испытаний.

Поэтому необходимо уметь многократно разыгры-Страница 25вать ситуацию, заключенную в наведении n ракет. В каждом эксперименте оценивается S поражения:если S поражения больше k % цели, то событие А произошло,если S поражения меньше k % цели, то событие А не произошло.МА - опыты, в которых произошло поражение.NP0 =MA- оценка вероятности P;NSn =SiNni- средняя оценкапораженной площади.По теореме Бернулли при повышении N оценка P0 → P ,а Sn→ M[ Sn ].Используем это свойство.

При большом N из центральной предельнойтеоремы следует, что закон распределения частоты событий А сводится к нормальному, причемP(1 − P)m P0 = P P0 =- его характеристики.NСледовательно, число опытов, для которых удовлетворяется равенствоQ{ | P0 – P | <  } = 0.95  0.98 находится из следующего соотношения:  Q P0 − P   = 2Ф , где Ф(z) - функция Лапласа  P0 Z1 Z −2Ф ( z) = e dz2n 0 P0 =откуда следуетP0 (1 − P0 )N22  Q  = Ф −1    2   P0 P0 (1 − P0 )  −1  Q  N=Ф  2  22Такое число опытов обеспечивает близость P и P0. Многократно повторяясерию опытов, получаем P0 и т.д.

снова ищем оптимизационное управление.Найдем матожидание и дисперсию Sn. По теореме Чебышева:NM[S n ]  Sn =N Sn iS2niD(S n ) = M[S n 2 ] − M 2 [S n ] = i− Sn2NNКонтроль точности (число экспериментов должно обеспечивать близостьзначений) следует из центральной предельной теоремы: закон распределениясреднего арифметического Sn - нормальный, причем его параметрыiN Sn i[S n ], где S n = iNNТогда аналогично можно написать связь для определения:M [S n ] = M [S n ][S n ]=Страница 26 NQ S n − M [S n ]   = 2Ф   2N2 Q= Ф −1    2 2откуда следует 2  −1  Q  N  2 Ф    2  2Сведение статистических испытаний к стандартному механизмурозыгрыша (СМР).Следующая важная задача - умение поучать случайную реализацию.

Дляее получения необходимы некоторый механизм розыгрыша. При этом для множества физических задач обладают полнотой следующие 4 модели с определенным механизмом розыгрыша:1) произошло или нет событие А;2) какое из возможных событий Аi, i = 1…k произошло;3) какое значение приняла случайная величина X;4) какую совокупность значений приняла система величин Xi .Для указанных 4-х моделей применим простой стандартный механизмрозыгрыша, заключенный в получении случайных величин Xi , равномерно распределенных на интервале [0, 1]. Плотность распределения постоянна.Задача 1.

Произошло или нет событие А с вероятностью P(А) = p.СМР:R - случайная величина, 0 < R < 1.R < p A не произошло;R > p A произошло.PВероятность P(R  p) =  f (r )dr = p ,где f(r) - нормированная плотность рас0пределения вероятности.Таким образом СМР и дополнительное условие R < P воссоздает случайную реализацию для задачи 1.Задача 2. Какое из возможных событий А i произошло.P (Ai) = pi pi = 10p1p1+p2p1+p2+p3Если равномерно распределенная величина R попадает на участокp1  R  p1+p2 - то произошло событие А2, т.к.

P { p1  R  p1+p2 } = p2,P=p1 + p2 f ( r )dr = p2p1Задача 3. Какое значение приняла случайная величина X.Страница 271Если случайная величина X дискретная и принимает конечное число значений, то задача 3 переходит в задачу 2 (каждому значению дискретной случайной величины придаем смысл Ai ).Пусть X - непрерывная случайная величина и задан ее закон распределеP ( X < X 1 ) = F ( X1 )ния:Покажем, что если при стандартном меха1низме розыгрыша выпала R < F ( X1 ), то- F(X1)гда X1 = F -1( R ) и эта величина X является искомым значением, т.е.P ( X < X1 ) = P ( R < F ( X1 ) ).Доказательство: по определениюX1P ( X < X1 ) = F ( X1 )F ( X1)P(R  F ( X1 )) =  f (r )dr = F ( X1 ), что и требовалось доказать.0Таким образом, получив с помощью СМР случайную равномерно распределенную величину R мы тем самым через X1 = F -1( R ) получаем реализациюX, которая имеет закон распределения F ( X ).Пусть закон распределения f ( x) =Пример.x − mxx→z=, тогда m z = 0,  z = 1x1 x 2n1 −2zf ( z) =e2n− ( x − mx ) 2e2  2x2f ( z)dz = 0.5 + Ф( z)С помощью СМР разыграем величину R = 0.5 + Ф(z).

Отсюда получаем:z = Ф-1 ( R – 0.5 )  x = xz + mx = x Ф-1 ( R – 0.5 ) + mxЭтот пример можно решать не аналитически, а с помощью ЭВМ, еслииспользовать центральную предельную теорему: при сложении равномернораспределенных величин числом больше 6, получим величину, распределеннуюпо нормальному закону.R i  [0; 1] - равномерный закон6M [ V ] =  M [ R i ] =  0.5 = 31Z=V − M[ V ][V ]Задача 4.6V =  R i - по нормальному закону16 2 [V ] =   2 [R i ] = 11= 0.5126X =  x   R i − 3 2 + M x1Какую совокупность значений принимает система случайных величин Xi, i = 1…n.Имеем систему { Xi } с совместною плотностью распределения f (x1,…,xn).Страница 281.

Если случайные величины независимы, то задача 4 переходит в задачу 3, т.к.закон примет вид f = f(x1)  f(x2)  …  f(xn).2. Типичная ситуация: f = f1(x1)  f2(x2/x1)  f(x3/ x1x2)  … , т.е. сначала для f1(x1)нужно решить задачу 3, затем при реализации x1 решаем задачу 3 для законаf2(x2) при заданном x1 отсюда находим x2 и т.д. Получаем набор случайныхвеличин { Xi }.Пример.Нужно разыграть пару X1, X2 с помощью СМР.f = f1(X1)  f2(X2/X1) ,гдеf1 (x1 ) = 2x1 ,0  x1  1f1 (x1)2121f2 (x1/x2)x10 , x1  0F (x1 ) = x 2 ,0  x1  11 , x  11СМ Р: → R 1 → R 1 = x12x1 = R 1 = cx1-1x1x1+11x20 , x 2  c − 11 (x − c + 1)F (x1 / x 2 ) =  2 2, c − 1  x1  c + 11 , x 2  c + 11R 2 → R 2 = (x 2 − c + 1)2x 2 = 2R 2 + c − 13-й этап статистического испытания - сам стандартный механизм розыгрыша (1 - получение числа экспериментов; 2 - получение случайной реализациилюбого закона).

Характеристики

Список файлов лекций