Курс лекций по теме Управление в МИСО (1996) (1264200), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Действительно, оптимальное решение не будет изменяться пока вектор состояния будет принадлежать своей подобласти.Устойчивость решения свидетельствует, что требование полного знаниявектора состояний чрезмерно.Пример:(способ нахождения районной оптимальности)Y1Y2Y3X10.20.240.22X20.760.180.34X30.180.80.86X40.840.020.46n=4m=3p1 + p2 + p3 = 1Страница 54Информация о вероятностях типа 3.P2I rs = I r - I s = 03I rs = Pj ( a r j − a s j ) = 0Gj=1P1Всего 6 границ. Для нахождения области G используется метод контрольной точки.

Она имеет следующий смысл: например точка с координатами(1,0) соответствует состоянию Y1.Выделим 1-й столбец. Он соответствует следующему соотношению доминирования: x2 > x1;x1 > x3; x4 > x1; x2 > x3; x4 > x3; x4 > x2;P2Соотношения доминирования соответствуют контрольной точке (1,0).1I12 = 01I14 = 0По мере продвижения влево от контрольной точки переходим через границу.2I23 = 0I24 = 0I34 = 09I31 = 0P1При переходе через границу соответственное соотношение доминированияизменяется на противоположное.Например для области 3.1x2 > x1;x3 > x1;x4 > x1;x3 > x2;x2 > x4;x3 > x4;здесь 3-оптимальный для стратегии Х3.1, 2, 3, 4 области образуют G43 - область оптимальности для Х3 (это можно показать).5, 7  G42 X2 - opt6, 8, 9  G44  X4 - optX1 - не оптимальный.G44 и G42 - многосвязные, а G43 - односвязные.Из примера видно, что для оптимальности решений не нужно знать точновероятность.  p1     p 2  принимаем X4 оптимальным.4 ситуация.Никакой информации о векторе P(p1…p) нет.

Состояние среды являетсястатистически устойчивым. Наиболее рациональной является принятие гипотезы о значении этих вероятностей.Страница 55Самой простой является гипотеза Лапласа: если факторы неопределенные и равновероятные, то можно считать: pj = 1/m, j =1m.Страница 56max H ( p) = max−m p j ln p jH ( p) =j =1Допустим:m p j ln p jj =1а) P2 = 1 Pj = 0 j  2  H (P) = 0б) P2  Pj  появляется неопределенность H(P)>0 т.е. действительно H(P) мера неопределенности.Т.о. критерий Джексона - критерий выбора Р из условий максимума неопределенности. m nmax −  P j ln P j +   P j − 1  = max VPj  1 j =1 Pj =1mm Pi=11Замечание: При дополнительных ограничениях на Р можно показать, что максимизация энтропии приводит к экспоненциальному закону распределения.Т.е.

P j  B j  P j = e  j именно такой вид имеет распределение Пуассона, который применяется при описании Марковских цепей.5 ситуация.Отсутствует информация о Р. Неизвестно также то, является ли состояниесреды статически устойчивым, имеют ли они законы распределения. В этой ситуации применяют ПГРР. При этом в ТСР оформилось применение антагонистического подхода, когда среде присваивают свойство антагонизма решений Xi.Естественно используется критерий Вальда: max min a ij → Xi opti jили Сэвиджа: min max rij , r ij = max a ij - a ijijiНеантагонистический подход описывается в общем случае критерием Гурвица:max  min a i j + (1 − ) max a i j ,0<  1jjВ критерии Гурвица заложен весь диапазон конфликтности: от антагонизма через несогласованность к полной согласованности.max min a i j =   X i opt - гарантирующее решение.ij - нижняя цена игры.imin max a i j =  → I j opt - гарантирующая стратегия среды.jiМаксиминимальный критерий дает гарантированное значение не меньше сторон, принимающей решение.

Минимаксимальный критерий дает решение,обеспечивающее проигрыш природы не больше, чем .Страница 57Хорошим свойством задачи в условиях антагонизма является наличиеравновесия  = . Тогда имеет место устойчивость в дополнительной информации (к изменению) и X i , Yi .Достаточно решить задачу по одному из критериев.Всегда выполняется соотношение   .Пример.– max min → X3 optijmin max = max min = 3Y1Y2Y3X12-34-3X2-34-5-5X33563356Оптимальная пара (X3,Y1) имеет местоситуация равновесия и устойчивость кинформации.Если учесть сетку X,Y (почти выйдем ... а (X,Y)), то при равновесии будем иметь седловуюточку.ZЕсли равновесия нет, чтоможно расширить понятие решения.

Это новое решение имеет слеXдующий вид: рассмотрим не чистые стратегии X , а векторYX=(X1 …Xn) со своими вероятностнымивесами(q1…q m).q i =1. Аналогично и для противоположной стороны Y=(Y1 …Ym) с весами(p1…p m). Доказано, что на таких смешанных стратегиях всегда имеет месторавновесие, т.е.:max min W(Q, P) = min max W( P, Q) = QPQPW =  p jq i a i jijP = ( p1p m ),Q = (q 1q n ).Из этого суждения фон-Неймана имеют место следствия:Теорема фон-Неймана.Во всякой mxn игре существует хотя бы одно оптимальное решение (SX0, SY0).x1 x n y1 y n Sx = Sy = q1q n p1 p n Следствие 1.Страница 58Каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которойчисло “чистых” не более, чем минимум [m,n].Страница 59Следствие 2.Какую бы стратегию (активную) не применил один противник, другой,применяя оптимальную смешанную, обеспечить себе выигрыш .

Активнаястратегия отличается от оптимальной тем же составом чистых стратегий, толькос другими вероятностями.На основании этих следствий приведем графоаналитический способ решения (2xm); (nx2), который затем обобщим на (nxm).Рассмотрим игру (2хm). Пусть m = 4.Графический шаг.Y1Y1Y2Y3Y4X1a11a12a13a14q1X2a21a22a23a24q2p1p2p3p4Y4Y2p=1Y3q2q=1Смешанная стратегияпротивникаq1Y j = a 1 jq 1 + a 2 jq 2 → Y jq 1 + q 2 = 1выбираем максимум из нижних границ.Y3Смешанная стратегия противника.

Она включает 2 чистых Y4 и Y3  p3Y4 p4 Состояние Y2 не участвует в образовании нижней границы, следовательно его можно не рассматривать.Аналитический шаг.X1 X 2 S0X =  q1 q 2 Y3S0Y = p 3Y4 p4 P3 + P4 = 1Из следствия 2 имеем: когда сторона Y принимает стратегию:Y3SY = 1Y4  - активная стратегия, то сторона Х получает выигрыш.0a 13q 1 + a 23q 2 =  - усреднение по 3 столбцу.Y3SY = 0Y4   a 14 q 1 + a 24 q 2 =  - усреднение по последнему столбцу.1Страница 60a 13 q 1 + a 23 q 2 = a 14 q 1 + a 24 q 2 =  - 3 уравнения с 3 неизвестными , q1, q2.q + q = 12 1X 1 X 2 Y3 Y4 Применим следствие 2 для стороны Х.

SX = SY = 0 1p 3 p 4 a 13 p 3 + a 12 p 4 = - усреднение по строке. Аналогично решается игра (nx2).p1 + p 2 = 1Пример.Y1Y2X1211212q1X2221222q2p1p2Y1   2n1  неопределенностьY2   2n2 2 ( K opt ,  2n ),min max 2S X SYЕсли решить задачу при некоторых заданных числах, то получим X1 X 2 SX = 0.75 0.25Во оптимальном решении, обеспечивающем min max в большинствеслучаев участвует X1.Задача (nxm) сводится к задаче линейного программирования. Допустимсторона Х принимает оптимальное решение:x1 ,, x n Sx =  - оптимальная стратегия.q1 ,, q n Y1Ym  - какая - либо стратегияS y =  1,00 a 11q 1 + a 21q 2 ++ a n1q n  Y1 Y2 Y3  Ym S y =  a 12 q 1 + a 22 q 2 ++ a n 2 q n  0100Y1 Y2 Y3  Ym  a 1m q 1 ++ a nm q m  S y =  0 0 0 1Страница 61m a i 1 q i    i =1m a im q i   i =1m q i = 1  i =1q  0,  x i = i  0nПоделим все неравенства на  :xii=1− min ( )Форму (*) нужно минимизировать из условия a i1 x i  1  i =1От неравенств можно перейти к равенствам, вводя ( ) дополнительную переменную, а затем ее исключая.n a x  1im i,  - задача линейного программирования, отсюда находимi =1X.x i  0nРешение:Замечание:q i = x iПредполагалось, что  > 0 это всегда имеет место, если a ij > 0  > 0.

Если существует a ij < 0, то может существовать   0.Тогда по наименьшему отрицательному a ij находим вспомогательноеслагаемое C, от прибавления которого ко всем { a ij } они все становятся > 0.a ij = a ij + cРешаем эту задачу с помощью , .

Находим . Далее  =  - сМатричные игровые задачи теории статистический решений могут бытьобобщены антагонистическими дифференциальными играми теории управления.Здесь имеется обобщение - переход от дискретной конечной задачи к непрерывной с бесконечным множеством исходов.x = f1 ( x, u)uU- уравнение динамики;- вектор управления (Х);y = f 2 ( y, v)vVI = I(x, y, u, v) - показатель эффективности для (Х) и потерь для (Y).В дифференциальных играх в нормальной форме множество стратегийсовпадает с множеством управлений.

Часто эта модель может быть замененадругой:Z = ( Z, U, V),u  U, v  VI(Z, U, V);Страница 62Z= X−YВ ней многообъектность скрыта, т.к. мы рассматриваем только относительное движение.Для того, чтобы существовала ситуация равновесия в антагонистическихдифференциальных играх описание модели (показатель) должны обладать рядомсвойств.Типичный показатель: I = I(U, V)1. Если множество V и U - компактные (замкнутые и ограниченные множества),а I - выпукло-вогнутый (выпуклый по V и вогнутый по U), то в антагонистической дифференциальной игре имеет место равновесия.2. I = I1 ( U) + I 2 ( V)x = f ( X, U, V) = f ( X, U) + f ( X, V) - разделимость по Uи V - необходимое условие равновесия.3. Ситуация  - равновесия: мини-максимум близок к макси-минимуму.В настоящее время в антагонистических дифференциальных играх сложилось несколько направлений исследования.

Эти направления применяют известные в теории управления принципы оптимальности и развивают их:1. на основе аналитического конструирования. Это линейно-квадратичныезадачи (линейная модель, квадратичный показатель).2. используя принцип максимума Понтрягина.3. Принцип экстремального прицеливания Красовского Н. Н.В его основе лежит задача управления множествами достижимости. Целью управления является поглощение 1-го множества другим или увод одногомножества из другого (сбить или уйти).Множество достижимости - множество концов траекторий в некоторый фиксированный момент Т при исходе из фиксированной начальной точкиХ(Т0) и применении всех возможных управлений u  U.4. Подход Айзекса.

Это метод графоаналитического синтеза для нелинейныхзадач невысокой размерности. Он основан на уравнениях оптимальностиАйзекса-Белмана. Они приводят к построению сингулярных поверхностейв задачах с малой размерностью с последующим определением U(X), V(X).Выделяют терминальные множества, в которые можно попасть в конечный момент. Фазовое пространство вокруг терминального множества делится на2 подпространства:• Одно подпространство составляют точки, из которых возможно минимаксимальное попадание в терминальное множество.• Второе подпространство - нет этого попадания.Первый вид поверхностей называется барьером и является границей области управления.

Время Т задает окончательную замкнутую область попадания.Страница 63X’Другие сингулярные поверхности:терминальноемножество- переключения (построение траектории вобработанное время).- универсальная поверхность обладаетсвойством притяжения траекторий.Xбарьербарьер- рассеивание поверхностиложны универсальным и др.противопо-Часть из них определяется свойствами правой части нелинейной системы, а часть - игровым характером задачи. Если построить все эти линии, то каждой фазовой точке соответствует одно из значений управлений:|U|1U = {+1, -1, особое управление)5.

Характеристики

Список файлов лекций