Курс лекций по теме Управление в МИСО (1996) (1264200), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Кроме того, меняя параметры матрицы перехода (при малой эффективности) можно оптимизировать процесс.Недостатком такой цепи является «размытость» результатов при большомчисле состояний.Марковская цепь с непрерывным временем.Уравнение Чепмена-Колмогорова для вероятности состояний.Марковская цепь с непрерывным временем характеризуется тем, что переход из одного состояния в другое осуществляется в любые случайные моменты времени. Si → Si (t); Pi → Pi (t)  Pi = 1Для решения этой задачи нужно получить аналогию вероятностям перехода. Вероятность перехода в случайный момент времени равна нулю.Из теории вероятности известно: вероятность элементарного случайногособытия равна 0.

Вероятность не равна 0, когда мы имеем дело с множествомслучайных событий.P(ti) = 0P(t1<t<t2)  0Аналогом Pi j (переходная вероятность) становится  i j - плотность вероятности перехода.Страница 16 i j = lim t →0Pi j (  t )Если  i j = const то имеем однородную марковскую цепь.t12S1Имеем размеченный граф переходов.P1(0)=1; P2(0)= P3(0) = P4(0)=0.31Pi j(t)   i j tP11(t) = 1 – P12(t)Пусть:23S2S342P1( t + t ) − P1( t )  (1 − 12t ) t= P3 (t ) 31ttВозьмем предел левой и правой частейпри t → 04324S4P1 ( t + t ) − P1 ( t )= − 12 P1 ( t ) +  31P3 ( t )t →0t•P1 ( t ) = lim•P 2 (t ) = −  24 P2 (t ) +  42 P4 (t ) + 12 P1 (t ) −  23 P2 (t )•P 3 (t ) = −  31P3 (t ) +  23 P2 (t ) +  43 P4 (t )По аналогии:•P 4 (t ) = −  42 P4 (t ) −  43 P4 (t ) +  24 P2 (t )Из графа мы получили систему дифференциальных уравнений.

Одно изних можно исключить (самое сложное), т.к. есть связь  Pi =1.Как видно, эта система записывается по вполне определенному правилу.По существу это система уравнений с постоянными коэффициентами линейными. Ее решение известно. Изменение интенсивности перехода позволяет производить подбор необходимых параметров при анализе. Если совместить 2 динамические модели: непрерывного марковского процесса и динамические моделиобъекта можно исследовать сложную стохастическую иерархическую систему.Пример 2.Элементарная задача целераспределения.Группа из 5 самолетов совершает налет.

1-й самолет - постановщик помех. Пока он не сбит, остальные самолеты не обнаружены и не атакованы. Атакуется 1-й с интенсивностью  атак в час. Вероятность поражения P. Интенсивность успешных атак P. Если постановщик сбит, остальные самолеты обнаруживаются и обстреливаются с интенсивностью успешных атак.Когда самолет сбит, то атаки по нему прекращаются и на другие самолеты не переносятся. Нужно получить модель в виде марковского процесса и уравнения Чепмена-Колмогорова.S5 - все самолеты не сбиты;S4 - сбит 1 и все обнаружены;S3 - 1 сбит, 3 не сбито;S5PS44PS2 - 2 сбито, 2 не сбито;S1 - 3 сбито, 1 не сбит;S0 - 4 сбито.S33PСтраница 17S22PS1PS0••P 5 = − P  P5P 2 = −2P  P2 + 3P  P3P 4 = −4P  P4 + P  P5P1 = − P  P1 + 2P  P2P 3 = −3P  P3 + 4P  P4P 0 = P  P1••Показатель эффективности для ЗРК:••5P0 = 1 −  Pi - (все самолеты сбиты)1Меняя вероятность поражения Р, можно добиться увеличения Р0.Потоки событий.

Простейшие потоки. Пуассоновские потоки.Поток Эрланга.Простейшие и пуассоновские потоки.Переходы из состояния в состояние можно представить происходящимипод действием потока случайных событий.Поток событий - последовательность однородных событий, следующих одно задругим в случайный момент времени.Примеры: поток выстрелов по цели;поток вызовов на телефонной станции;поток неисправностей на ЭВМ и т.д.Поток событий называется регулярным, если события следуют черезстрого определенные промежутки времени (поток поездов в метро).Поток событий называется простейшим (Пуассоновским), если он стационарен, без последствия и ординарен.

Стационарность означает, что попаданиетого или иного числа событий в интервал длинны  не зависит от того, где наоси времени этот интервал находится. Поток без последействия - события появляются последовательно и независимо. Ординарность - события следуют поодиночке.Простейший поток является универсальным, т.к. наложение большогочисла стационарных ординарных потоков с последствием приводит к простейшему. Простейший поток характеризуется  - среднее число событий в единицувремени.

Нестационарный пуассоновский поток отличается от простейшего тем,что =(t).Свойства простейшего потокаа) В простейшем потоке число событий, попадающих на интервал описываетсяраспределением Пуассона:t0 +a m −aPm =e , a = r , где m - число событий на  , если a =  (t )dt = m!t0имеем нестационарный поток ПуассонаСтраница 18б) Важнейшей характеристикой простейшего потока с интенсивностью  является интервал времени Т между соседними событиями потока, вероятность попадания на интервал времени Т хотя бы одного события простейшего потока:F( t ) = P( t  T) = 1 − P0 = 1 − e − t•f ( t ) = F( t ) = e − tmt =−−- плотность распределения; t  f ( t )dt =  t  e −t dt =1- матожидание;11t =- дисперсия и СКО.2−Получили утверждение: промежуток времени между соседними событиями в простейшем потоке, распределяется по показательному закону с известнойплотностью распределения, матожиданием, и дисперсией.D t =  ( t − m t ) 2 f ( t )dt =в) i j =  это следует из P( t ) =  i j  t P( t )   tг) Из простейшего потока его прореживанием могут быть получены практически важные потоки с ограниченным последствием.

Таким потоком является поток Эрланга.Потоком Эрланга k-го порядка называется поток событий, который составляется из каждого k-го события простейшего потока.KTK =  Ti1Утверждение:k=4Величина Тк с интенсивностью  к=дующему закону:(t ) k −1 −t1f (t) =emt ( k) =( k − 1)!KСледствие: K (t ) =K →распределены по слеK t ( k) =1k KПоток Эрланга фиксированной интенсивности С при k→  неограниченно приближается к регулярному с постоянным интерва1лом между событиями Т = mt(k) = .C1→ 0 - рассеяние. Поток становится жестко заданным.kCТаким образом, задавая различные значения k, от полного отсутствия последствия (k = 1) можно перейти к потоку с полной предопределенностью (k =), т.е.

k может служить мерой последствия.Страница 19ПримерПодберем Эрланговое описание потоку событий.m t = 2 мин t = 0.9 минf51 1 соб1K== K = C t =→k 5m t 2 минkC  (t ) 4 −tf5 ( t ) =e ,4!f5 ( t ) = 4.1 t 4 e −2.5t = k k = 5C = 2.5123Замечание.

О методе псевдосостоянияДля марковских процессов очевидно, что переход из одного состояния вдругое описывается простейшим потоком событий. Т.е. время пребывания в каком-либо состоянии распределено по показательному закону, совпадающему сР0. Однако, в реальных задачах это часто не выполняется.ПримерОставшееся время до отказа узла зависит не только от текущего состояния, но и от того, сколько узел проработал.

Т.е. имеет место ограниченное последствие. Учет подобных факторов приводит к уравнениям в частных производных, исследование которых значительно сложнее. Эту трудность можнообойти сведением немарковского процесса к марковскому.Марковский процесс с последствием происходит под влиянием потокаЭрланга k порядка. Вводим k псевдосостояний и получаем простейший потокперехода состояний. Исследуя этот граф и систему обыкновенных дифференциальных уравнений Чепмена-Колмогорова, получим динамику Рi(t).

Для исходного графа:PiK(t) = Pi(t)P2K(t) = P11+P12+P13+P32S1S11S12S13S2Предельные вероятности состояний.Стационарные режимы.Уравнения Чепмена-Колмогорова дают динамику вероятностного процесса. Как и в ТАР, полезно изучить статику этих процессов в установившемсярежиме.Утверждение:Если число состояний системы конечно и из каждого состоянияможно перейти в другое за конечное число шагов, то пределывероятностей состояний (стационарные режимы) существуют ине зависят от начального состояния системы.Чтобы получить эти предельные величины нужно левые части уравненийЧепмена-Колмогорова приравнять к 0.Страница 202S1 0 = −5P1 + P3 0 = −P2 + 2P3 + 2P1 0 = −3P3 + 3P1 + 2P4 0 = −2P4 + P213S2S321Эта система уравнений неоднородна, т.к.

существует  P = 1, и одно уравнение исключается (заменяется на неоднородное).2S4Из примера следует простейшее правило записи стационарных состояний: перенеся все что с “–” влево, получим слева - то что “выходит”, а справа то, что “входит”.Рассмотрим получение предельных стационарных режимов 2 типичныхсхем непрерывного марковского процесса.1. процесс “гибели и размножения”1,2S12,3S22,1 N-1,NSi3,2 N,N-1SNЭтот граф удовлетворяет утверждению, что из каждого состояния можнопопасть либо в предыдущее, либо следующее состояние.1212 P1 =  21P2P2 =P 21 1 21P2 +  2 3 P2 =  3 2 P3 + 12 P112  2 3 2 3 P2 =  3 2 P3 и т.

д.P3 =P 21 3 2 1...12   N −1 N N −1 N PN −1 =  N N −1PNPN =P12   N N −1 1P = 1iПодставляя все Pi в выражение для суммы найдем P1 .2. циклическая схемаS11,2S23,2 N-1,NSN N,1Эта схема может быть использована в замкнутой САР как дискретнаяинтерпретация замкнутой САР, в которую входит несколько звеньев, а в точкахсвязи звеньев действуют случайные сигналы.Запишем алгебраические уравнения, соответствующие стационарнымрежимам:Страница 2112P1 2 3 12 P1 =  N 1PN12  2 3 P2 = 12 P1P=P3 3 4 1    Pi = 1P1 = ? P =N −1 N PN −1 N1 N  Pi = 112PN =P1  N 1 1= t i - среднее времяТак как имеем простейший поток событий, m i = i i +1P2 =пребывания в состоянии Si.tPi = N i - относительно среднее время пребывания в данном состоянии. tii =1Пример.ЭВМ находится в состоянии:t1 = 0.5 суток (12 ч)t2 = 1/48(0.5 ч)t3 = 0.25(6 ч)t4 = 1/24(1 ч)S1 - исправна;S2 - неисправна;S3 - ремонт;S4 - подготовка к пуску.P1 = 0.615P2 = 0.026P3 = 0.306P4 = 0.051Замечание.Графы допускают разветвления, что приводит к детализации задачи.Например ремонт ЭВМ может быть 2 типов:S11/t1p/t2S31/t3S2S51-p/t21/t5S41/t4II.

Характеристики

Список файлов лекций