Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 4
Текст из файла (страница 4)
д.). Как правило, динамические процессы, происходящие в таких элементах, опясываются непрерывными дифференциальными нлн ннтегроднфференцнальнымн уравнениями. Процессы, происходящие в цифровых вычислительных машинах н преобразователях сигналов нз непрерывной формы в цифровую н об атно, обычно описываются в виде разностных уравнений. $ ннамяческне элементы систем в завнснмостн от нх математического описания подразделяются на два типа: стационарные н нестационарные. К стационарным элементам относятся такие, которые описываются днфференцнальнымн уравнениями с постоянными козффнцнентамн (генератор постоянного тока, магнитный н электромашннный усилители, гндравлнче.
скнй насос я т. д.) К нестацнонарным элементам относятся элементы, коэффнцненты дифференциальных уравнений которых являются функциями времени (летательные аппараты, намоточные машины, электрические двнгателн большой мощностн). В свою очередь, стационарные н нестацнонарные динамические элементы описываются дифференциальными уравнениями в полных нлн в частных производных (с сосредоточенными ялн распределенными параметрами). тепловые н газодннамнческне объекты регулирования, длинные линии передачи электроэнергии, жидкости н газа описываются днфференцнальнымн уравнениями в частных производных.
Дифференциальные, ннтегроднфференцнальные н разностные уравнення образуют математическую модель физического элемента н выводятся на основе различных упрощающих предположений. Подобного рода ндеалн- И зация значительно упрощает методику анализа и синтеза систем автоматического регулирования. В частности, лннеаризация дифференциальных и разностных уравнений приводит иас к линейным динамическим элементам и линейным динамическим системам, математический аппарат которых разработан наиболее полно.
В результате решения таких уравнений получаются характеристики переходного процесса, зависящие от времени и параметров системы. Применяя преобразование Лапласа к линейным дифференциальным уравнениям при нулевых начальных условиях, получим передаточные функции элементов или систем автоматического регулирования. Передаточ.
ной функцией линейного стационарного динамического элемента (системы) называется отношение преобразования Лапласа выходного сигнала (регулируемого) к преобразованию Лапласа входного сигнала (задающего) при нулевых начальных условиях. Динамические характеристики элементов и систем автоматического регулирования могут быть определены с помощью частотных характеристик (амнлитудной и фазовой), построенных в зависимости от круговой частоты.
В отличие от методов, основанных на решении дифференциальных уравнений, частотный метод является не только расчетным, но и экспериментальным. Подавая на вход элемента системы синусоидальные сигналы с постоянной амплитудой, находят относительную амплитуду выходного сигнала и сдвиг фазы. Меняя частоту входного сигнала, определяют несколько значений относительных амплитуд (амплитудная -частотная характеристика) и сдвигов фаз (фазовая частотная характеристика). Амплитуду и диапазон изменения частоты сииусоидального входного сигнала выбирают в зависимости от динамических особенностей элемента системы.
Для того чтобы установить диапазон линейности элемента, необходимо снимать частотные характеристики прн различных амплитудах входного сигнала. Независимость амплитудной и фазовой частотных характеристик от амплитуды входного сигнала указывает на линейность рассматриваемого элемента. Определив реакцию элемента на дельта-функцию, получим импульсную переходную функцию, которая также является его динамической'характеристикой.
Зная импульсную переходную функцию, можно с помощцю преобразования Фурье получить передаточную функцию элемента (или системы) автоматического регулирования. На основе передаточных функций элементов составляют струюпурные схемы, позволяющие уточнить внутреннюю структуру элемента, оценить влияние различных связей и действие возмущений. Применительна ко всей системе автоматического регулирования структурная схема позволяет проектировщику находить не только наилучшие места включения корректирующих и усилительных устройств, но и устанавливать нх передаточные функции !7, 13, 34, 36, 441. 1.1, СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ЛИНЕАРИЭАЦИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ И СТРУКТУРНЫХ СХЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ В соответствии с принятыми в теории регулирования способами идеализации элементов регулирования предлагаются задачи на определение дифференциальных и рвзностных уравнений, а также передаточных функций, н составление структурных схем динамических элементов.
14 Егд. ДИНАМИЧЕСКИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ где й; — постоянная электродвигателя по напряжению. Движущий момент электродвигателя независимого возбуждения Мя (1) А„Ф,( (1), (1.2) где Ф, — поток возбуждения; й' — постоянная электродвигателя по току. Уравнение вращения якоря электродвигателя М (() — М, (1), (1.З) Л Рис. Х.Е амттродкяеатояо яоаяототго тока о яекгоисиммм оообутдояаем где лк — момент инерпии якоря электродвигателя; М, — момент сопротивления.
Уравнение для 'момента сопротивления запишем согласно первому допущению в виде М,(1) й,— „,", (1А) где я, — постоянная скоростного трения электродвигателя. Используя уравнения (1.1) и (1.2), составим систему линеаризованных ' уравнений динамики электродвигателя в виде О (1) 1, — + И (1) + й, Мнн; ж . дз~ . Мк (1) = ян1 (1), (1.5) где й, КФ,; й„й„'Ф,. Окончательно вся система уравнений будет иметь вид Я'я -э)хк-+'й —" йи1 (1), (1.6) где 7; — электромагнитная постоянная времени якоря. ' Нелинейную карвктериетнку нямктначникння злектроанигателя заменяют линейной.
16 1.1. Вывести уравнения движения, определить передаточные функция и составить структурную схему электродвигателя постоянного тока, управляемого изменением тока якоря. Принципиальная схема и основные обозначения показаны на рис. 1.1. Решение. При выводе дифференциальных уравнений сделаем следующие допущения: а) момент сопротивления на валу электродвигателя изменяется от скорости линейно; б) пренебрегаем вихревыми токами в массивных частях магнитной системы электродвигателя; в) не учитываем реакцию якоря электродвигателя, т. е.
и, = сопз1. Уравнение электрической цепи якоря электродвигателя запишем в виде гя(1) =Š—,+й((8)+КФ,—,г, (1.1) ( Воспользуемся нулевыми начальными условиями: при 1= О; Ои О. Применив к системе дифференциальных уравнений прямое преобразование Лапласа, получим Ев (з) (Таз+ 1) 7 (з) + ав Н„(з); (г,з'+ й,л) 8, (з) - й„1 (з). (1.7) Для определения передаточных функций первое уравнение системы (1.7), перепишем в виде Ед (з) = (7 и (з) + ('аа (з) (1.8) где У„(з) Я (Т,з+ 1) 1(з); () (з) = ~.зйд (з). а) Риа. з.л.
Структурнмз иаеми влектрадеилииилн а наимиаимим аазбужданизм! а павадвеве б паатееввев пзееи абеедввеивв преп евепъев Откуда нетрудно получить передаточные функции ! )й (з) = — = ) (а) 1 = Ц„(з) = Т,з+1 ° йгв (з) = — =* й,з. йд (з) Ка (з) Передаточная функция Гз (з) может быть определена из второго уравнения системы (1.7) в виде (ез(З) ) (з) = з (хдз+й„) С помощью полученных передаточных функций и уравнения (1.8) построим структурную схему электродвигателя с независимым возбуждением (рис. 1.2, а). Объединим три элемента — Ф',(з), В'в(з) и Ф'з(з) в один общий элемент. Тогда, пользуясь схемами структурных преобразований (см.
приложение 1), запишем ав 5 (т аз+ !) (/да + йа) )а з (Таз + !) (Яда+ ае) )( (1.9) И После ряда преобразований найдем ек б (т бб+ 21тг+ )) (1.10) Т 1l 3гнТ )гас+ Емнь У )ь+)ьгсгс 2 УЗгРТь ()(Ум+ Емгь) Т =~/Т„Т;, где Т„ = — — электромеханичеьгп ьм ьв Рис. Х.д. Принципиальная асана мекгпродги.
ская постоянная двигателя. гаонля постоянного омка с упругии ра)ук. 1.2. Вывести уравнения движе- огорон и нагрувкоя ния, определить передаточныефункции и составить структурную схему электродвигателя постоянного тока, соединенного через упругий редуктор с нагрузкой (рис. 1.3). Решение. Воспользуемся теми же допущениями, которые были приняты в задаче 1.1. Тогда уравнение электрйческой цепи якоря электродвигателя е (Е) = Е. — + И (Е) + й, — ". (1.11) Зависимость между двигательным моментом и током якоря будет Мя(Е) = й„1(Е).
(1.12) Уравнение вращающихся масс электропрнвода М (Е),Е дьвя +й ~ед+й 10 (Е) 0 (Е)) (1.13) где Егг — коэффициент упругости вала электродвигателя и редуктора. Уравнение моментов редуктора представим в виде Е Егг (0~ (Е) — О (Е)1 йг (О (Е) — 0~ (Е)1 (1,14) где г — передаточное число редуктора; Егг — коэффициент упругости выходного вала.
Передаточное число редуктора вг (О в 0)' (1.15) Структурная схема, соответствующая передаточной функции (1.10), изображена на рис. 1.2, б. В тех случаях„когда постоянная скоростного трения незначительна и ее можно не учитывать, параметры передаточной функции (1.10) примут следующий вид; рис. дб. Структурные скемы ггектродепгаоияя настоянного тока с упругим редуктором и тэгрувкоб: о искоякея: б преобрввовяиивт е првэбреэовэивэя о вскявееияек пересееевий обреевая сяявей Уравнение вращающихся масс нагрузки будет иметь вид ~, ",ие,"+й++й,(О.
(() — О,(1))-О, (1.16) где й, — коэффициент скоростного трения нагрузки. Уравнения (1.11) †(1.16) полностью определяют динамику рассматриваемой системы. Запишем зту систему уравнений в операторной форме: Е (з) Р (7',з + 1) 1 (з) + й,зО„ (з); Мя (з) - й.7 (з); М, (з)- (,(,з'+ й.з) 6„(з)+ й, А (з) — 6,(зН; е,й, (б, (з) — О„ (з)] й, (ди (з) — бв (з)$", О (з) = (рбя (з); (Х„зе + й„з + Ая) Ои (з) йяйя (з). (1.17) 1 1(з), +, (Е,(з) — й, О (з)); Ма (З) 'лиэ (З) ° Для удобства составления структурной схемы перепишем систему уравнений (1.17) таким образом, чтобы в левой части каждого уравнения присутствовала только одна переменная: 6„(з) = „,,',, «М,(з) — й, «а„(з) — в,(з))«; ~,(з) =О,(з)+ — ',"," А(з)-б,(з)); Е, (з) - .,Е, (з); аа в.м-~тг; — ~.м.
(1.18) Для удобства построения введем новую переменную 0 (з)=й, (В,(з) — Е,(з)1. (1.!9) Структурная схема системы приведена на рнс. 1.4, а, где использованы передаточные функции 1 т.+! ' ! Ю, (з) з (,/аз+ А ~ ' ((гв (з) = йм (ра (з) й з; (з) 1 1з „ э «т ~Ф+ал+аз ' (1.20) й' а (з) йт) )1ге йу (з) 1; йГз (з) = з,(1) 1..—,„'+Л.1.(1)+М вЂ” '» ~йа ~на (1.21) где л4 — коэффициент взаимонндуктнвностн обмотки якоря с управляющей обмоткой, Знак плюс перед коэффициентом взанмонндуктивности М соответствует ЭМУ, обладающему недокомпенсацней. Прн перекомпенсацин ЭМУ знак перед М следует заменить на минус.
Статические характернстккк первого Ю Преобразуем структтрную схему (рис. 1.4, а) к расчетному виду, исключив пересечения обратных связей. Для этого перенесем линию связи 1 за звено %', (з); линию связи 2 — за звено йг, (з); сравнивающее устройство П— за йГ, (з) и В', (з); сравнивающие устройства 1 н 1У оставляем на том же месте. Тогда с помощью таблицы структурных преобразований (см. приложение 1) получим структурную схему, изображенную на рис. 1.4, б. Далее, переносим линию связи 2,за сравнивающее устройство 111 (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
