Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для расематрнваемого примера определители будут б (г) = ф (В б~ (О = О. Введем нх в выражение (1.353); тогда получим « ~ [ (, М(р, ч)7(ч) — «р(ч)7(е)~ И О. (1.356) о Подетавляя в выражение (1.356) значения «р, (8) и ф (е) из сомножителей (1.354), найдем « (е'М(р, е) — е)((ч) «(т ° О. Правая часть уравнения определяется по формуле «г« ' «па(т) М (р, т) 7(ч) — ф«(т) 7(т) «(т+ — '" О, 1 1, 2,..., п,(1.353) где Л (1) — определитель Вронского для системы функций «рз (г), Ч«, (г), .... ° * ° «рв (Ое При М (р, ч) — это уравнение удавлетворяетая для любых 1(ч) тождезтвенно.
Таким образом, порядок и полииома М~ ° ) ДЬ Фр' Ф+ 2х(1) -1(1). 1.169; Определить уравнение динамики неатационарного динамического элемента, если формула для импульсной переходной функции имеет вид (341 н с>+ — (аип аыю ем а~ю о й(1. ч) ° (1+рсозсо,т)е ~ (1.358) По этой зависимозти найдем л =. 1 и 4~(т) ~ 1+рсозаэч~ (~+ — и ~.~) <р,(1) е (1.359) Нетрудно показать, что ~~+ иэ а,1) Ь(1) е Подставляя выражения (!.359) в определитель (1.352), поручим (!.360) 1 ~Ф+ ь!а ам) э е х(1) г+ — еэ и э — (1+рсозаэе)е ~ )х(1) 0(р, 1)х(1) О. Отсюда 17(р, 1) х(1) ю +(1+ рсозмэДх Я. 1!ля определения правой чаати уравнения (1.361) найдем Ь (0) 1 и Ьз (0) = О.
(1.362) Введем выражения (!.35Ц, (1.359) и (1.360) в формулу (1.353), тогда Ф !' Р (+ — „и е~ ' )!М(р, е)г(4 — (1+рсозоЪчЦ(е))бт 0 э М (р, 1) = 1 + р соз в,1. (1.363) С помощью выражений (1.361) и (1.363) получим дифференциальное уравнение динамики незтационариого элемента в виде — +(1+рсозмэ1) х(1) (1+ рсоа а,1)1(1). следует принять равным нулю: ю = О, и коэффициент Ьа — — ! '. Итак, правая чаеть уравнения (1,351) имеет вид М(р.
Н(1) —,1(1) (1.357) Используя выражения (1.355) и (1.357) для подстановки в уравнение (1.351), получим искомое линейное неотационарное дифференциальное уравнение в виде 1.170. Определить уравнение динамики нестационариого элемента, еили формула для импульсной переходной функции имеет вид й(1, т) — ° (+т ' 1 171. Определить уравнение динамики иестациоиариого элемента, если формула для импульсной переходной функции имеет вид -о,о (о о)-ол (о'-о') г, г) = е 1.172. По импульсной переходной функции бт 2 й(1, ч) — „— —, при 1~ч найти дифференпиальные уравнения, описывающие динамику двух параллельно соединенных нестационарных элементов. 1.173.
Определить дифференциальное уравнение для динамического вле. мента, если его импульсная переходная функция имеет вид й(1, т) е оп "'сова,(1 — т). Указание. При А (7) = ао а-оо! имеем д 1и Ь (() 1 оо — ° — — е зшао(; дх,(() а д!па(() 1 ш = — е' СОЗ ао). доо (() ао 1.а.а. ОНРелеление диндмических хАРАктеРистик ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОДОМ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ьо 47,1 47,5 47,8 о 60 120 49,1 50,1 49,9 44,6 45,2 46,'6 180 240 300 50,! 49,6 46,0 45,1 46„9 46,2 45,5 Решение. Пифференциальное уравнение, связывающее координаты х (г) и у (г) в соответствии с заданной передаточной функпией, запишем в виде — = — (йох - р); дд ш то тогда решение этого уравнения при начальных условиях х (14) и у (1о) будет с-~~) о — ь у(1) йо(1 — е г' 7!х(14)+у(го)е (1.365) 1О? Регрессионный анализ позволяет по экспериментальным данным, обра« ботаииым по методу наименьших квадратов получать значения постоянных времени и коэффициентов усиления дАя дифференциальных уравнений или передаточных функций динамических элементов систем регулирования.
1.174. Определить параметры передаточной функции йг(з) = — =* У (о) Х (о) —, описывающей процесс относительного изменения содержания СаО Ф, т„.+1 ' в смесителе при производстве цемента, где х (1) — содержание СаО и входном потоке, а у (7) — содержание СаО в выходном потоке. Результаты измерений приведены в табл. 1.8. Полагая 1 = 1, -1- ог, получим из выражения (1.365) соответствующее разностное уравнение у,! Аул+ Вх„, (1.366) соответствуют моменту времени 1 = 1, -1- и И, 1 = 1л + (и + 1) ЛЕ определим с помощью следующих зависимостей: где переменные хл и ул а ул„ вЂ” моменту времени Коэффициенты А и В Ы А=с л.
т. (1.367) В йл (1 — е г'). Ф Е 2 (ул — Аул-! — Вхл-!) Ул-! 0' л=! э Е 2 (ул — Аул-! — Вхл-!) хл-! = О. л ! (1.368) Запишем ее в матричной форме: Ф и ~у ! ~~~~ х !у л ! л ! и и ~ хл !у ! ~ х, ! л ! л ! и Е Улул-! л=! я ~ улХл, л ! (1.369) Из этого уравнения определим значения коэффициентов (1.370) 108 В соответствии с формулой (1.366), описывающей динамику рассматриваемого объекта, значение выходного потока найдем по величинам входного и выходного потоков в предыдущий момент времени.
Зная значения ул и хл, определим предполагаемую величину ул,: ул„Аул + Вхл. Коэффициенты А и В подберем таким образом, чтобы предсказываемая величина ул„ как можно меньше отличалась от измеренного значения ул !. Лля этого запишем функцию ошибки Е в виде э и Е = ~ (у„— у,)' ',~~ (ул — Аул, — Вхл,)', л ! л=! где !л' — число измерений входа и выхода, произведенных через равные промежутки времени о!. Минимизируя Е надлежащим выбором А и В, из условий — „=0 и дЕ дЕ 3З- = О, получим систему уравнений Используя выражения (1.366), (1.367) н (1.370), определим-параметры йо н Т, исходной передаточной функции: в 1 — А' (1.371) а1 То 1и А Для этого вычислим по формулам (1.370) и заданным значениям У1 н х, (табл.
!.10) коэффнцненты В= ®' 0,274. вт,з В этом случае параметры передаточной функции (1.371) Для упрошення вычнсленнй по формулам (1.370) и повышения точности определення коэффициентов Йо и То выполним преобразование координат: у у — уо; х=х — хо, (1.372) где Н и Ху. Е, ° Уо — хо — ° у Ф Полагаем, что нрннятая нами модель элемента (1.366) в новых коордннатах имеет внд У„„Ау„+ Вх„. (1.373) Коэффнцненты Я н,6 вычисляем по формулам, аналогичным (1.370).
Подставляя значения (1.372) в уравнение (1.373), получим у„+, —— Ад„+ Вх„+ С, (1.374) у где С уо — Ауо — 35хо. Из сравнения уравнений (1.366) и (1.374) видно, что прн С о 0 справедливы соотношения А=А; В В. (1.375) где С' *= Уо — А'Уо — Н'хо. Решая уравнення (1.374), (1.376) н (1.366) относительно величин А н В, получим Ас' — А'С .
У с — с В=А —,+  — В Я — АВ А' — А А' — А (1.377) Если С + О, то необходимо изменить значения чисел у, н (нлн) х„входящих в соотношения (1.372). Прн этом для новых уо и хо имеем у„'+~ = А'у„+В'х„+С', (1.376) йгав (з) у (з) ав Х(з) з(Твв+!) по экспериментальным данным, приведенным в табл. 1.9. 1.176. Определить параметры передаточной функции элемента динамического () Х( Т )' (з) 1 ! динамического по экспериментальным данным, приведенным в табл. 1.10. 1.177. Определить параметры передаточной функции элемента )в (з] ав в и '!в ттзий~г по экспериментальным данным, приведенным в табл. 1.!1.
1.178. Определить параметры передаточной функции динамического элемента с звеном «чистого» запаздывания Т ( ) 1 «,в 1~ ° (а) - — = Х(з) = Твз+! по экспериментальным данным, приведенным в табл. 1.12. Таблица 1.9 Таблица 1.1б Для рассматриваемого примера хз 48,1; уз =* 46,4, а вычисленные по формулам (1.370) коэффициенты уравнения (1.373) А — 0,731; В = — ' 0,264. 223 Ю,5 зоз,ь ' ' аи,ь Определим значение С по формуле (1.374): С = 46,4 — 0,731 46,4 — 0,264.48,1 =* 0,2. Если С « х, и С « уз, то с достаточной точностью можно положить, что А = А = 0,731 и В = В = 0,264.
Тогда по формулам (1.371) можно вычислить уточненные параметры: ао . о,газ Тз ь о,тз! 192; й, ! — о,тз! — — 0,98. Итак, искомая нами передаточная функция о,эа )Р(з) - (йв+! ° Определение параметров, передаточной функции по второму методу является более точным, так как линейная регрессионная модель элемента привязывается к средним значениям. 1.176. Определить параметры передаточной функции летательного ап- парата Таблица 1.Л Таблица 1.11 1.4. ТИПИЧНЫЕ НЕЛИНЕИНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ К типичным нелинейным элементам принято относить такие, для которых линеаризация по способам касательных и секущих невыполнима.
Все многообразие типичных нелинейных элементов можно разделить на два типа: статические и динамические (однозначные и двузначные). Линеаризация типичных нелинейностей производится по методу гармонической еинеаризации 124, 30, 36). Если нелинейная функция не зависит от скорости изменения входного сигнала, то формулы для вычисления коэффициентов гармонической лииеаризацни при симметричных колебаниях будут а(А) — „„~ Р(Ав1пф)в1пфдф; о Ь (А) — ~ Р (А з! и ф) соз ф йф, о (1.378) где'ф = в1.
вх ъ Лля функции у = Г (х, — ), зависящей от екорости изменения ввь ходного сигнала, получим а(А, о1) а — „'4) Р(Аз1пф, Асосовф)в1пфдф; о Ь(А, со) — „~ Р(Аз1пф, Амсозф)совфйф. о (1.379) Эти формулы при несимметричных колебаниях имеют вид а(А, х') а — А~ Р(хо+ Аз!пф)в1пфйф о Ь (А, хо) — „ч ~ Р (ха+ А з1п ф) соз ф йф; о 2а Р'(А, х') — „~ Р(хо+Ав1пф)йф о (1.380) 1П а (А, в, хо) = — „4 ~ Р (хо+ А з1п ф, Ав соз ф) з(п ф й~; о Ь(А, в, х') = — ) Р(хо+ Аз1пф, Авсозф)созфаф; о Ро(А, в, хо) = — ~ Р(хо+ Аз)пф, Авсозф) бф, о ичина смещения; Ро — функция смещения.
(1.381) где хо — вел С помощью коэффициентов гармонической линеаризации можно опре- делить эквивалентную передаточную функцию нелинейного элемента: ,7(А) а(А)+/Ь(А), Х(А, в) а(А, в)+)Ь(А, в), (1.382) откуда получим эквивалентную амплитудную характеристику нелинейного элемента в виде д(А) )/ао(А)+Ьо(А); д(А, в) ~аз(А, в) + Ь'(А, в) или эквивалентную фазовую характеристику нелинейного элемента И (А) агс1Н вЂ”; о (А) о(А) з И (А, в) агс18 — ' о(А, е) о(А, е)' нейностей функции и (А) (1.384) Лля однозначных нели ,и(А, в),Ь(а),Ь(А,в) равны нулю. где ЙА з(п ф, =  — Сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
