Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1.192. Определить формулы для вычисления козффнциеита гармонической линеаризании несимметричного преобразуюшего устройства (рис. 1.77, а). Решение. Подставляя в первую формулу (1.380) выражение (1.387), получим (1.401) Подставив эти значения в формулу (1.400), найдем а(А)= А Т1- А +~! — А )' (1.402) формула (1.401) справедлива лишь при А ~ С.
Подставив во вторую формулу (1.378) выражение (1.388), получим Ф» Ь(А) = — ~ Всозфс)ф — А (Яп1[2 — з)пфэ). (1.403) 2 2В е» Используя формулу (1.403) и соотношение (1.401), найдем Ь (А) = — —., (1 — л2) при А ~ С. 2ВС (1.404) 1.195. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеариэации нелинейной двухзначной характеристики, приведенной в задаче 1.186.
Решение. Подставив выражение (1.389) в первую формулу (1.380), получим Ф» а(А„х') = — ) й[А21пф — (С вЂ” хэ))з)пф2[ф+ »2~ л-»2. л-е» + — А ) В 21пф1[ф+ — „д ) й[А21пф — (л2С вЂ” х')[з)п»р2[1[1— е» л-э» л+е» ~ 'й[ — А 1 ф-(С+ )[з фаф— 2л-»21 2л ~» д ) В з1п 1[1 1(ф — д ~ [ А з1п ф — (ГлС + х')[ з)п 1[1 й~>. ( 1 .405) л+Ф» 2л-»2» Проинтегрировав выражение (1.405) н подставив соотношения С вЂ” х» .
в+а(с- ) . — аГсз1п А 1 222 агсз)п ЙА В + а (22С вЂ” 2») .. л2С вЂ” 22 . фэ аГсз1п 1 1»»[21 = аГсз)п с+ . ° в+а(с+ ') . агсяп ; Ф2 = агсз[п В + л (л2С+ х») . »пС+ х» ф1 аГсз1п 1 1; ф1 аГсз1п (!.406) В формулах (1.398) и (1.399) ~р = <р (в). 1.194. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармони- ческой линеариэации реальной двухзначной релейной характеристики при симметричном входном сигнале (см. задачу 1.185). Решение.
Выходной сигнал симметричен относительно и, поэтому, подставив в первую формулу (1.378) выражение (1.388), получим »2» а(А) = — ~ Вз1пф2[ф= — „(соз»[21 — созф2). (1АОО) 2 2В »)» Из рис. 1.80 следует, что С тС ф агсяп — н ф =и — агсяп —, 1 А 2= А найдем а (А, х') 2 ~ агс$(п йА + агс$]п йА + й г . в+й(с — ) . в+й( с- ) + агсз]п В й(с+х») . В+«(х)с+«») . С вЂ” х» «А + агсвш йА — агсз]п —— А С+ х» " .
«)С вЂ” х» ' ° х)с+х»1 — агсз[п — — агсз[п — — агсз]п — ~ + А А А й <с — ) [т/ [в+«<с — )Р т/ <с — )'] +— х А 1У у1 й»А» — 1— У А* (+ А» » )»-»)) ' )».;-»)» — ')' У»И-»)') +— н А .'[У 'У1— й»А» А» + «<«<с+«»)(~/ + В ]1/ [В+й(С вЂ” Цх 1/ [В+«<С+ 8» '~/1 [В+«(тс — х»]]» 1/ ' [В+«<щс+х»]]»~ «»А» У ' «»А» й [в+«<с — ] ч/ ]в+«)с — )р 2н), «А У1— «»А" + »,»»)» — ») «)»).*~ » — ц~ + «А У 1 «»А» + В+ «(С+ х») ']/ [В.(-й <С+ «»)1» »А В+«< С+Х'].1/' ]В+«< С+ ]Р С вЂ” х»1/1 )<С вЂ” «»)' йА й»А» А У А» с+ ч/ <с[ ) с — х т/ <х)с— — У 1— А У А» А У 1— А' ) ) ~ »)х)[ )1»»7) А У Я' Формула (1.407) справедлива лишь при А ~ + .
Под- В + й (С + х» ]) ставне выражение (1.389) во вторую формулу (1.380), найдем ф» Ь(А» х«) — ~ й(Авп]ф — (С вЂ” хх)]совфдф+ ] »» ф» ] л-ф» + — ) В сов )[) г[ф+ — ) й (А з]п)р — (л]С вЂ” х')] соз ф)])[)— ф» »» ф» »»+ф» Ях ф» — й ( — А $]п)[) — (С+ х')) совф <(ф — — „„~ В сов )[) )]ф— ! 1 х+ф» х+ф» ф» Ц вЂ” А з1п)[) — (л]С + хх)) соз ф <])р. (1.408) интегрнруя выражение (1.408) н подставляя в него соотношения (1А06), получим Ь(А< х') ° — А, (1 — гп). 2ВС (1.409) (1.410) .
в+а(тс-' тС Ф<1 — (гпС вЂ” х«) ~ агсяп аА — агсз(п — ц— А В . В~НС-~ В.<.<< С вЂ” < — ~ згсз[п за ( ЗА + агсз1п в<.«с<.*'< . вэ«с.<.~> < — агсз(п ЗА — агсз1п ЬА <лГ<,<< ~в~«е — «<,, <в<. <~- «* тАз <в<.< с<.,< „<' ~~.« ~-;.и, — )/1 а*А' )' Ь'А" ~с — ~ ч /' ~с+ — 1— Аэ + 1— Аз [тС вЂ” х«)~ 1/ ~тСА-х«р ~ (1.411) Формула (1.411) также справедлива прн А о в+а~с+ х > 1А 96. Определить коэффициенты гармонической лннеариэацнн для однозначных нелннейностей, математическое винсенне которых приведено з задаче 1.183. 123 Эта формула справедлива прн А~ ~ .
Подставив вырав+а(с+ женне (1.389) в третью формулу (1.360), найдем ез Рз(А у)- —,' ~ й[АМПф-(С вЂ” ~)[пф+ е< еа «-е, + 2 ) В(Ц+ й — ) в[Аз[аз< РпС хэ)[А<) «+е< з«е< — й [ — А зш <р — (С+ х«)[ с[<Ь вЂ” —,, [ В <4ф— «+е, л+ер яФ-е, — й [ — А з1п ф — (гпС+ х')1 оф, з«-е< Интегрируя выражение (1.410) н подставляя в него соотношение (1 406), найдем функцию смещения в виде Р (А, х') —,~(С+ х') ~агсз[п г . В а(С+1 .
С+ "1 2 ЗА — агсз[п — 1— А — (С вЂ” хз) ~агсз[п в+а(с- > . с— зА — агсз[п — ~ + А 1 + < с,-,~ [~ у-+~~эе - ь ~~)- 1.197. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нелннейностей, математическое описание которых приведено в задаче 1.185. 1.198. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для двухзначных нелинейных характеристик, математическое описание которых приведено в задаче 1.187. 1.!99.
Определить коэффициенты гармонической линеаризации для двухзначных нелинейностей, математическое описание которых приведено в задаче 1.188. 1.200. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейной функции и (1) = йх1 $1япх, $1йп х,. 1.201. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейных характеристик, зависящих от двух функций: а) у(1)=!х! д,, з!х . б) у(1) = х' — „ в) у(1) =*х' —. 1.202. Определить основные коэффициенты гармонической линеаризапии по 1, 3 н 5-й гармоникам, а также дополнительные, учитывающие влияние 3-й и 5-9 гармоник на 1-ю (24), для нелинейной характеристики, мате матическое описание которой было дано в задаче 1.180.
Решение. Коэффициенты гармонической линеаризации по первой (оь новной) гармонике вычислим по формуле зз/в а,(А) = — „4 ~ г" (Аз!пар) $1пф!(!р. (1.412) о Подставляя в формулу (1.412) значение функции (1.386), получим Фз Фз ав(А) = — ~ йвА$1п'фй~+ — ~ йвА$1пфвзп!ф!(з(!+ о Фз Фа + — 4 ! [йзСв — Дв(А$1нф — Св)]$1цфдф= Ф Фз Фз~ Фз 4Й11Ф ! 1 ! 4аз в!а Ф ! 4а.Са — — ! — — $1пфсозф ! ) — ' созф ! — — 1 — Х и ~ 2 ! 2 и л о о Фа Х соя 9 ! — — — ! — — $1пфсоззР ! 4азз Ф ! ! Фа — — „,, с~9 ! = —.(йвф,+й,(фв — фв)+ 4зззСз ! 2 Фз + Л (Соз !1!в Соз !зззв) — ! (Соз фзв — С0$ЧЪ) 2йз ($1п!!!всоз!Рв 2$,С, 2З~С вЂ” $1п вРвсгбч!!з) — Яв $1п !(ь соз !(ь + Яв ($!и фв соз фв — $!и фв соз !Рв)) = = — 1 1 — + А ~ А з47 +"в~ 1~ 1 ' +(А 2 А )У1 — Ав~~.
(1.413) Фв Ф» + А 1 й,Ав1пф,в1ПЗфвЬ~+ — 1 (йвС,— йв(Аз1аф — Св))в1ПЗфв(ф = Ф» Фв с= — 31п Зф сов фд — — (в1п фв соз Зфв — в1П»1»д сов Зфв)— 4»»в 4»»1 — — (Й,С, + йвСв) (соз Зфв - сов Зфв) - — (з1П Зфв соз фв — з1П Зфв сов фв) 4 4вв ~ВА ( Ав) Г в ~(А~ Г Ав Ав Г в~ в»С» + ввСв ( 1 4 С1 ° 3»' 1 С1 + — '„' (1 — 4 — „,') ~/1 — ф~. (1.414) Коэффициент гармонической линеарнзации по 5-й гармонике будет и/в Ф» авв(А) — ) Р(Азеф)в1абфдф= — ) йвАзивф~абфв(ф+ о о Фв Ф» + — „А ~ й,Ав1пф,в1пбфдф+ — „А ~ [й,С,— йв(Аз1аф — Св))зпвбфв(ф Ф» Ф» — — ) — — (З1П фв СОЗ 5ф — В1а ф СОВ бфв)— 4вв г в1п 4Фв в1п бФ1 т 4вв и ~ 4 12 ) бп (йвс + й С И(соз Ь| — сов бфв)— в1п 4Фв + Мп б~ъв) 4 12 4зв ~ в1п 4Фв взв бФв и ~ 4 = — „' ~вАт (5 — 8 Ав) )' 1 — А, — бА (1 — 12 А, + — в,„4 (й,С, + авСв) (1 — 12 Ав + 16 Ат ) )»' 1 — -д~в .
(1.415) Иб Коэффициент гармоническойлинеаривации по З-й гармонике имеет внд »»Д Ф» а (А) — ) Р(АВ1ПВР)В1ПЗфВ(ф= — „4 )»в,АЗ1афв1ПЗфдф+ о о ~~+а. Ы вЂ” — ~ з1п файф+ — ) зита Дф — — з)п е В,р в в г в 4 ~ аА 3 л ее е е. — „„(соз ~Ь, + соз е,); зв здесь ~Рт=агсз)п д ', с.
тогда ,(А) - — '~ ~)/1 — — "+ )/1 ""). йв ф Ь,(А) = — „л ~ Р(Аз)п~)соз(~В~Ь вЂ” — ~ сизЬВе( г в ~ + — „л ~ соз 4 тЬЬ вЂ” — с(зз Р В~Ь вЂ” —, (1+ (т ~); (!.421) в звс ев е для З-й гармоники „(А) - „~, ~ Р(А знт В) з) 3 р В р фв е+е, — — ~' з(п з~ртьр+ В з)п з~р ц— В ттл Э В г зв (к С~ ~ (3 — — „з з~ з)п3~Ь4~Ь ° — —,„~~ — 1+4 — „, ) 1 — —,.(. 3 + ~-1+ — "" ) У вЂ” — "* ' (1.422) Ьм(А) * —, ~ Р(з)п~Р)сон ФРзЬР— — „„~ соз34~ВЬ+ г В е+е, зе + „~ 1 э~а~-ф (сааз~а~- — ~ — (3 — 4-~-„-) ~ +1л(д (3-4 ~„)~1 (1А23) Реи)ение. Формулы для основных козф(рициеитоз гармоииаеской линеарнзации: Ллн 1-й гармоники а,(А) — „„з~ Р (А з)п ~)) з~п а д4~ 1 для 5-й гармоники азз (А) = — „Р (А 21п ф) 21а 5фй~ а+ею зд — Щ 3!пбфй~+ — „, ~ зи25фвф — — ~ 21п5фй~ вФ в г в г а ° С' х т/' — ~( — 1+12 — — 16 — ) р 1 — — + Зал ~~ А2 Аз 7 Р А2 + ( — 1+!2 — Аз- — 16 Аз ) ~ 1 — А2 (1.424) 2з ф Ьзз (А) = Щ Р (А 21п ф) соз 5ф оф - — — „А ~ соз 5ф Аф + ! г в Г й+е1 2з + — „„) соз 5ф й~- А ) сон 5фоф в г в 2В Г с с~с Бал = — — ! — 1 — 5+ 20 — — 16 — ! — + А2 Аз) А ризации Ьа22(А) — ~ Р(Аз)пф) з!пЗфз1афвф = — — ~ 3!пЗфз!пфпф+ — ~ зи23фзнзфдф— в г' в г — 31п 3 ф зи2 ф Щ1 =э в а+за С2 в'О 3 — 4 — 3 — 4 —— А~ 2 А2 (1.426) Ь'ам(А) — ~ Р(А з1аф)соз Зфз(пфоф= в е~ в з+Ф вЂ” — з~ ш2а~+ — 1 о з~~ш~ж— — ) созЗфа1аф~(ф в = — р- [( ! — 4 А~ ) + ~ л2 ~ (1 — 4 Аз ) (; (1А27) Ьа22(А) .— „~ Р(А21пф)21а5фз!пффф= — — ~ 21п5фзи2фоф+ ! Г в 1' +1т1 А ( — 5+20 А, — 16-УГ-)1.
(1.425) Формулы для дополнительных коэффициентов гармонической лиим- + — в!а 5$ в!и ф дф — — ~ 610546!а4оЬЬ В о+ос тиоСл я'С4 6 — 20 —. + 16— С С 6 — 20 — + !6— Ао Ао 2ВСо лА' (1,428) 1 А' Л'а1о (А) = — „~ Р (А з!п 4) сов 5„' в!и 4 йв о~ л+О, = — — 4! сов54~6!04.ФЬ+ — сов 5~6104 ~(4— В З в — — сов 54.6!п~:с~! = — ((! — 12 —, — !6 — ) + А' А ) +)т((1 — 12 —,+16 „, )~.
(1.429) Л'Ь1о(А) = — „~ Р(Ав!п(~)з!03~соз1Ьс(!. = о о, л+О, в!' в — — з!03 сов 4'сЬ~'+ — ~ в!034 сов , 'пав — — ) в!0 34 сов 4.с(4 = л л+$, Ао ((3 — 4Ао)+(т((3 — 4 во )1; (1. 4 30) в в Фи В л+о! = — — „! з!09~сов~Ьй~+ — ) з(п 54~сов !.~Ц— о Фе — — з(а 5~Ь сов ~Ь йв в о+Чу ~а ((1 — 12 Ао +16 Ав-) + т'(1 — 12 Ао +16Ат-)3* 129 б Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
