Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1с. У жение валеная маятника Проведем через центр масс С тела плосиость, перпендикулярную оси вращения; точку О пересечения плоскоотк с осью назовем точкой подвеси Фвзвческого маятнжа. Станем рассматривать джиение мал~ НИКЕ Отноолтэязяо Сшотэмн ~т~~ет~ ОХ,Хэл,, В «Стсусй ОСЬ С» з совпедает с осью вршхевж, а ось ох, направлена по вертикали вниз (рис.44). Массу тела, расстояние А от точки подвеса до ф/~ центра масс и момент внерцны1, относительно оси в)шщеввя счвтаем эацеюпвж. Свяием с меятнвком 8з М сопутствущую систему коорииаат.
) „х с ь к у,уху, как Указано на )шс.44, ~ф тогда дшрйеренцжльвое Уражение хз его вржения (47.11) примет ввд с ч ~,~ $~=хт Рл - шл Рг= ~~ Ллд~, Р (48,1) той Я ~. — + Ае у) = О, Сраввивая это уражение с ураю- нениеы И8.4) двваеывя кругового ыатеыатвческого ывятвака (у+уй'.Ь|ы=ц ющвы, что $взаческвй ыаятыак будет дввгатьоя по такому ве закову, крк а ыатаютююоквй с дланов (48.2) полагая одаваковюю вх вачальюю оостсяввя. Такой матюютачеоюб( ывятыак называют овяхровюи дзввоыу фазвческону, а его давку ~ — првведекной дланей (языческого ыаятввка. Текам образом, вопрос о двккенвв Щвзачеокого ыаатнзка свккев к взучевкоыу уве всв.- росу о двакеввк ыатюютв вского юютвлка. Отлоиав ва оов ох, отрезок аР'=Г, получка точку О, ооогветстзухюув похоаеквв сввхровкого ыатематаческого ыаяткака; зту тоыку называют цеытрои вечевая бизаческого ыазтввка.
С воыовьв тво-.. ю с а ревы Тьйгекса~3тейвера 1 =у тд легко установить, что аараыетры Е ы А ызятюва связеяы соотновеквеы с (48,3) где т - радыуо вкерцва тела относительно оов х~, проведенной через центр масс ввраллеяьно оси вравеввя. Отсвха яово, что 1) 4, т.е. пркведенввя длава бвзаческого ыаатыака воегда больае раоотоянвя от центра масс до оск вещевая. Приведенная длвнв явхяется еякыствеввой характервста~ой кват . зыке.
Ивк ющно аз Що)Юулы (48.3), оза заввсат токько от работаь нвя А центра васо до оск зреаеквя (тс еа х1). Прк вест(зюачевноы увеличении этого )ыоотояввя праведевввя длвна ююет стать скояь угодью бохьаой. Оказываетоя, однако, чте ее вевьвя сделать сколь угодно вахой. Действвтахьвс, вычвслвв проввводвые сЫ тс ЫхР «чя с7Д =1 7Х ~ уотанавхвввеы, что врк Д-тс,,д =о,чдз >о, схедовательво, Г выест ыыввыув, рвванй ' = фт . Грвйак Фуккцаа (48.3) изобракеа иа рко.45. На свойотве ювюыуыа ддквы ~ основав ватереовый зКмкт.
Рассыотраы ввхые вслебаввя ыаятвюа. Как было уотековхеыо, период этих кохебаввй опрехеаяетоя вврваеквеы у-гя)/~ . Есхв Я)2 ~ то о вркблвыеююы центра васс к точке цоквеовд уыевьваетоя высоте о Г; схкковатеаьво,уыевыюетоя вервод ксяе- й<те ю то прибликение цеатра масс 1 к точке подзеса увеличивает длиау с, а следовательно, и период, Этот эффект быз замечен в овое время на часах Лондокско го Вестминстерского аббатства, которые отставали. 3 1~~, Прв уменьиевии Х чаоы свачала стали ходить быстрее, прв дальнейвем уменьиеиии А, чаоы стали замедлять ход. о Рис.45 -226 2с.
Взаимность точки и са и ен качзввя маятника фсзи твердое тело подвешивать в различных точках, то расстояния центра маос до оса в)ащеыкя будут вообще раэлвчяыми, в ыы бу дем получать физические маятника с раэличкмэв призедевзыми длинами. Гюйгевсом было эамечево одно замечательное свойство, вырзиенное им в форме следуацей теореэв, носящей его ымя.
Теорема 42 Точка подвеса и центр качакия физичеокого маятника являются вэзвмвыма зечками: если цеытр качания сделать точкой подвеса, то бымэзя точка подвеса станет центром качания. жую, и»- - ° ° '- ~-'. 4' / центра масс до оси и првведеывая длвва ~ . Очев|щно, что л=б-Я= ~Я (Рис.44). Приведеыкзя клипа б', в силу формулы (48,3), будет в этом случае совпадать с У: а это равенство и докаэавает теорему. Свойства взавмкоста точка подзеоа в центра качания используется и так называемом оборотном мэятыике Катера — Чмзкческом пРвборе, который мозно использовать для экспериментального определения ускоренвя силы тякести.
9 49. Иерическое двккение тварного тела 1с. СУврическое --икение сноб ого тела вок непо яичного ент юсс и-'= о, о"= с". =о, х„'=л' „=о Г с=хХ,у), т.е. центр масс все время будет покоиться в исходном положении, и, следовательно, дюкение тела будет сферическим. Теорема дока- зана. При сФерическом движении вокруг неподввкного цеятра масс коор- динатм и скорости центра юсс будут 1евны нули, позтоиу момент внешних свл будет зависеть только от времени, углов Эйлера и уг- ловах скоростей й,-~й,у,сд) . урзвненкя кинетического момента в проекциях на сопутствущзие оси - главные центральные оси инер- ции тела - совностно с кинеютическимн зйлеровнми Форыулаыи дашт уравнения 1„ц — ' ей,-У~ ) е~ з~з=~'4ФМ) ~„~~+(т-К) ") й, =~'и ы, ")), ,, счыь — = з) .к~) ж .ь т„ля~у, ' 'Мю ° * — =з~ гсхТ -с) АпТ», (49.2) '=' =.
сЫ -сфщ(е)валяй~ з) ггсо), ,р,— )о т~1-1)з)Й =П„СЕр,4 Имеет ыесто следущзая теорею. Теорема 46. Лля вращения свободного твердого тела вокруг неподвикного цент(щ, совпздашяего с исходным полевением его центра ьщсс, необходиыо и достаточно, чтобы центр масс первоначально покоился и чтобы внешние оилн имели равный нули главвый вектор. ю, пу ...~-.* ь руг неподвикного центра масс. В системе координат Ох~ля-~, ~ начало которой совпадает с атим центром, уравнения двпзения будут л =о, ~= У й) (м =1,2,3) .
(49.1) Тогда ускорение центра масс будет равно нулю с„=л„=о ( =1,2,3), к уравнения давленая центра юос дсставзяшт требуемое условие Г= яа =о ( с=1,2,3). Пусть теперь дано, что главннй вектор внешних сил равен нули и что центр юсс первоначельыо покоился в начале коордиыат уьо,як= о-'=с. Тогда из тех ке у)ам~енин двикения ли~„.'=Р„' полу- чаем -227- называемж уршвневвяни сферического джкеввя вокруг неподвавного центра масс. Первую группу зтвх уравнений жзывашт динамичесювж ураженвями Эйяера для сфераческого двакення тела. Уравнения (49.2) ° сожестно с на ильныыи усяоввями Е= о, у = ~ ю = са> йг=яцу), (49,3) определяют уравненж сферического джкеная ч=у„е с '=ьяМ.
20, еское вавевае иес б ого тела извоаьного не Рассмотрим несвободное твераое тело, зжрелленное в точке О о помещав сфе)мческого ша)вира. Такое теио будет соверзать сферическое двииение. Возьмем системУ отсчета ат,хя.к, с началом в точке О. Зту точиу возьмем такие за полюс в теде и совмеотж сопутствукшуш систему кооряинат оу,у„у с главными осами инерцни дая точки О (рис.46). Тогда уравнеккжа джкеняя тела будут ~=~Ю б г=яДЗ), (49,3) где ш, - зйлеровы углы, определязщве ориевтацвш тела (рис. 46).
В зтоы случае из шести х коордиыат тела следует опрнкелить только три функцяа (4И), у ~Е), ~И), однако, при этом на тело будет действовать наперед неизвестная реакцвя О точки О, компоненты которой такие подхеват определении. Рвс.46 Чтобы получить уражения, не содерзащие реаацвй жрнара, динамические уражеавя удобно вжть в форзе (40.14) уча =Р~д — Ф тюк,Е =У4' сЯ (49.4) сй где Р в у~, - главный вектор а главный момент веденных внешних сил. В раосматриааемом сферическом двввении коорпиваты н скорости любой точки тела /ф~ ( й,,у'~, й ), в которой пряхокена внешняя сняв, будут фувкциеж р~ и у: „=Е~,~ <Ч), л"=~у'~ ()4()) г =4я.у).
,е еФ" ' л,е е Р"- Поэтому вектора Р п М, будут фувкцващ перемевппк ь, у,)) щщ 1,~,м, Проектаруя уражеввя какеткческого момента (49.4) пе оок оопут- ствупяей сиотемк коорявват а прксоеджяя к ввм кжещтвчеокие формула Зйле)а, получвм замкнутую систему у(ажепвй: ~о сю~~ чУ" ~ ) П ф ) см ~~~ ") ~~~6 м~,-,фут, — =,, „+с)л —, ая «ял 1,т)Л (7;-1 )Й 4=ф<т, Д Р), + Е~~СЬЬУ - Ряжск (49.9) *1 -~ (1-1 ) Ые)л=й (тУ М, +~ ~ ЬЙ 7 «)л У) пезпзеемую урвзвекпащ с)ераческого дввкеввя тверяого тела вокруг яеподвякпого цевтра О. Первая группа урвжеща) представляет собой дкащяческке у)ажжвя Эйлера.
В телом ваде овв были пол)~- чевм впежпе Эйлером в 17ЗЗ году. Урелпепвя (49.5) вмеоте с вечазыппа условкщщ У =~~ ° «~ = с~~' ~',с=пру) (49,6) определятп фуккцав я® а «(,а) ( с =1,2,Э) п тем семка определяют сфервчеокое двакевае тела.
звав уразпеввя )щккепяя, найдем компонента углового ускореккя по фоРюулем с е) (1) (ы=1,2,3), слецовательпо, угловпе скорость в ускоревке будут взвествмщ фуекцввщ времена 4= 4И),, с=уй) . Согласво теореме Рпвельса, ускорепие центра маос будет резко а =Пар «~с7хр, ), в уравнение двженвя центре масс (49.4) определат реекцвю ояорп в ище о яа -Г.
с 5 ЗО. Инепщоппое врмцевпе тякелого тверяого тела вокруг кеподввкпого центра жоо В качестве првмерп рассмотрим закачу о сфервческом двикеввв тверяого теле под действаем веое этого тела. Задача о дввкеквв твердого тела вокруг пеподвмтрой точки под действием одной ектвжой сялм — свлм тяжести, несмотря ва какузщюся простоту, представляет собою одву аэ труднейпвх задач мелапвКк. Общее ее рпзепве яевэвестко. Зта зедечв привлекла впвювпе многих выпаюхихся ученых. Наиболее значительные результаты связаны с именами Эйлера, Ланграниа и Иовахевской. В этом псреграае будет рассмотрено решение Эйлера, отвечаюлее тому случаю, когда непсдвикной точкой слулит центр масс тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
