Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(46,4) ',(тзк, цампщр будет поступательно двигаться кколь неклонной плоскоста с ускоренаем ср ~А с . Такое дмиеяне нвзывзют честны скольаеяяем. 2с. Частое кнченае Рзссмотрям теперь дзвкенке с учетом сопротквлеюзя, во прн условны, что скольаеняе отсутствует. Тогда в уравненная (46,1) следует полонять 1 = стт = — М =о М=у РМ с' =~2, о Р, л РР У'' Ф ~(осле чехо онв прмзут внд Р "с †.г =М-Роою~ , — л =Ри~ы-о,, л ч, = ~; Ю. (46 5) Р..с РР" с Тр~ полученные уравнения содераат пять неизвестных велнчкн: .гз, л, Ч,, М а а,.
Выразим теперь еяелатаческя огрвнячення кв -217- диакевве, вакладюаемое сваляна. Условие прямолинейности двиаевия центра масс имеет ваа х,~=я . условие ие отсутстввя скольжения можно запасать в виде равенства пройденного цвиацпром пути х' и той его жути Ру, кото)ая касалась плоскости лл«пй . Таким образом, связи дают два недостаюлах уравненвя: (46,6) Исключав с вх помощью из уравненай (46.5) координаты центра масс, получим систему уравнений б'=р/-Рс'сч с, — д =Р.злы-ог, у Щ = 4) Рт, Рр .. Рл.. которая определяет вазичвныМ, О, и сд, а мп(е яРгоы, 0 = Ы«а«у~псы), я = Р Г ьл ~ -~есы) (46.7) Р лс Иатегрврование последнего из стих уравнений при условиях (46.2) приводит совместно с равенствами (46.6) к слепуюшзм уравнениям движения, определяюизм режим чистого каченвя: л,'=я, л„«з-(Асы-/саь~), (л=,~ ~Ь'~ ~-1ссМ (46.8) Кзк видим, циливдр ускоренно движется вместе с центром масс и ускоренно вращается вокруг этого центра.
Ускорение оси цклвцара равно. оо--К го ° -/ "юз г), т.е. не превосходит двух третей от ус- ХК ксрекия пра чистом скольжении. Заыетам, что при отсутствии скольжения сила трения удовлетворзе перззенотву а, . Г,л' . Фо)мулы (46.7) поаволяют пРедставать его следухцим образом: фс .и;-УУ . Поскольку козфФициент у значительно меньюе ~), то лл,-ду то . Кроме того, в )вссиатрв«аоыоы движении координата лл должна быть положительной; второе нз уравнений (46.8) показывает, что зто будет при ~ры «.~ . Танин «оразом, пр«ходым к выводу, что рави чистого качения реализуется псч;тле .юклонс плоскости, удовлетворяьцем не)авенствам (46.9) ,'. ~у ~ .
ЗХ -.7~. 3". Качение со скслькеяиеы Коле угол наклона плоскости достаточно велик, так что :;,.~ .л - Л~, то чистов качеаие не будет иметь меота, цилиндр / ь татьсч пс плоскости с проскзльзыьасаеы. В этом случае сила трерая жеев опреаелеиное авачевве () ко . Уралкапк двккения (46.1) совмеотао с усиоваем двакааж явктра маоо образуют оледущаую эаыжутую оаотему: ,с, Р,с РР„ У х',=И-Рс-, — т'„-Рй -ЛИ.Л вЂ” Ч;ФМ,.*,'=.Е. (46.1О) Интеграровааие системы прм условиях (46,2) определяет нормальную реакцвю к уражения двакеавя цаавщра в наде М=Рсоюа, х =Р, тэ= — Шиы-Меода), ~=к:-0-У)осы .
(46,П) В этом реииме, как и пра чистом качении, цвйндр ускоренно окользнт мэесте с центрам масс и ускоренно вращается вокруг центра маос, однако, ускорэнж скохьаения а врмцения, вообще говоря, будут болмщми, чеы в предыдущем реаиме, Коэффициент у, учитызаэщзй сопротивление каченвю, в рассматриваемом двваенаи входит только в уравнение, определяюцее вращенаэ цилиндра.
Численно он значительно меныэе козфрициенте треныя скоп кения (мл . Вопустаму п))этому принять «-,с=» а определять вращение бюрмулой (э=+гсы . Это означает, что пра неличва скольиения сопротивлением качеыаю допустимо пренебрегать по оравненаю с сопротнвлениеи скольвению. э 47. Вращательное двжаэие тверкого тела 1о. В енае вок главной нт ьно оси ине Условия, при которых реализуется вращение твердого тела вокруг неподвкэкой оса, вырщзаются оледузщей теоремой. Теорема 44. Пля вращения свободного твердого тела Вокруг Исходного положения одйоИ из его глвжых центральных осей инерцви необходимо и достаточно, чтобы оно первоначально вращалось вокруг этой оси в чтсбн жеание сапы вмели равный нулю глеввый вектор и параллельный оси главный момент относительно центра масс.
)(окэзательство. Обоэнечим через А,, Ул, У главные центральные оси инертна тела. Пусть тело вращается вокруг исходного полокениа осв У . В систаме отсчета ах,.зэк,, ось Рт„ котоРоа совпадает с осью с'у~ , а начало Π— с центром масс С, уревненвя дэикеник тела аыеют вад лс=о Ы=дя,.э), Ц=дС~), У=у=о . (4Т.1) -219- Компоаеаты угловой скорости тела, вычвслеаные по виаематаческим йс(мулам Зйлера, имеют аавчевая й„= (рс' ( с =1,2,3).
Нз основании динамических ураваенай (47.2) ( = 1,2,3), заключаем, что требуемые условия мпюлняются Р 4ю Гх дл,в), Л О, П с. (47.3) Пусть теперь выполнены условвя (47.3), т.е. главный вектор сил рааса нулю, а глзвавй мсмеат овл отвооителъао цеыт)ш маос параллелен третьей главвой цеатралъаой осв иые)х(ии тела. Кроме того, считаем, что первоначально тело врюзалось вокруг етой оси (=О, Л =О, Л ес ГС=4ЛМ, (~ =(~ью ~ =~ а, (47,4) .с 2с. амате е евка в тельного ения При реализации условий теоремы 44 свободяое твердое тело врв- т.е. начальная угловая скорость тела ваправзеаа по оси ст й;= ю'= о . Тогда давамачеокие ураввеиая (47.2) зюкао представить в ваде следумзей яормахьыой оистемв уравнений с аналитическими превюа частями: ею гы-для, щ ~,-1"; стаи 1 -1 * — '= — ~ — з М„а~ ° -у-' = +А о( М, .
с л (47.5) Нулевые заачезия йуккцвй .т~=о, ..хх=о ~и=/Я,у), о) =о, а~ = о удовлетворяют как системе (47.5), тзк в качелькам условиям (47.4); в свау теоремы 4, зто решение едиаствевао. Лва последках уравкеаия е)=о, ~ =о, в силу кивематвческвх фщмул ~ =7 Ьл~ ХпУ+У Ж~7 М =Чдт7боЭ~ — с/ Ал~ к начальных условий ~'= ~5'= с, зквизалеятвы урзвненвям ~~-т)=с. Такам образом, установхеао, что при усховмп теоремы в любой иомеат времеви ~х-л„=х =(с=с =о.
А это означает, что тело врзшается вокруг кеподввайой осй. Теорема докаазка. щаетоя вокруг неподвивной оси т,, проходящей через его центр масс. В этом случае выполняются-уравнения (47.1), поэтому компоненты угловой скорости тела имеют значения 4„= нщ ( =1 >2,3). с Учетом этих фоРмУл динамическое УРавнение 1 ю, гр -4)м,мх.г),', не нспользозамиееся пра докеэательстве теоремы 44, преврещаетоя в уревнение для определения угла поворота тела вокруг оси 1(;-гУ,а~,,й) (47,6) Его называют ди$$нренциельыым уравыением вращення тела вокруг неподвнкной главной центральной осв инерции тела. 3то уравнение совместно с нвчальныыи условиныи (47.7) у=о, (Р=)ро () = с/ определяет уравнение вращения вокруг оси м=(4Ю 3 .
В ение нес тела вок аив~ь в Пусть тело врещаетоя вокруг неподвввной оси ~, точки О и А которой закреплзны соответственно в опорном и осевом подаипнвках, под действием заданной системы сих с главкам вектором р' и главным моментом м., Будам рассматривать дювение тела в неподвинной системе отсчета ол,х х,, наале которой взято в неподвивной точке О тела, а ооь ак, направлена вдоль осн вращения.
Примем таяне точку О и ось 4 зз полюс и третью ось сопутотвузщей системы коорцинат сит„у,, ось ве су, проведем в теле таким образом, чтобы плоскость сщт содервэла его центр масс С (см.рис. 43). На тело, помимо зедэйнмх свл, будут еще действовать заранее неизвестные реакции опор О и А. Будем обозначать их посредством векторов О и А. Воспольэуемоя динамическими уущвненннми двжкения тела в форме (40.14): ла, .и оч, (47.8) о л — + этхХ=Я ту «Х Проектируя зти уравнения на оои. сопутствумкей сыстеыы координат, будем иметь ,l ( Рис.43 3"-Р.о я .Л ).б =Же т" л .хэб (47.9) и( )'у л у " м ч'у л у *' Кинематические урэвненвк вращения тела вокруг неподвваной оои имеют вяд г„.о,.~=ее,я), у=ую, у - я=о, Иэ ккнемвтическю~ фо(мул Эйлере пра атом получается, что компоненты угловой скорооты равны 2 .
б 1 (« =1,2,3). Отсщна дмуйеренцировением по времени находам, что компоненты углового ускоренна будут с =а~+~ (ы =1,2,3). Следовательно, векторы с7 и е . определяютоя Щорэууслэ л =+"з . Радиус вращения центра масс равен Я =д 1,. По теореме Равельса ускорение центре маос определяетоя вектором а,=Г..а —.е ~"=м',р,'л,- ~Уй,'л, следонатвльно „его конпоненты кмемг энвченкя (47,10) Компоненты кияетвчеокого момента представляются через коыпонеятн тенэора кне)э(аы и угловой скороота посредством йо(эюул ~ = Е.( .М.=) ~ (с 1,2,3). (47 П) Если еще учесть, что реакция ооевого подиапвва перпендикулярна оси.
А М), а его радвус - вектор параллелен оси 4"= 4 с (и =1,2,3), то урежениям (47,9) моаво придать вид Во вращательном двикениа полонения а скорости всех точек тела могут быть вы)маеин черен переменные велнчины м в ц, поэтому ээдввнме скхн и ых.моменты будут функцаяма вада Р'Ф,~, ~й) , ~' (т, ц„Ч) ( с=1,2,3). Посаеднее иэ уравнений системы (47.12), не содеряваее реакций, ввиду совпадения осей бу а ат,, мозно писать в Форме 1 У, =.М, а,К,Ю) (47.13) Его нависают дируерейцвахмпвэ ураваением вращения твейпого тела вокруг яеподввкной оса ах, . Совместно с печальными условкямв (47.14) -222- оно определяет закон временна тета вокруг оса ~й-~бц) .
По аззеотному врмэенаю оОтельные уразиеная светав (47.12) опредеюим реекцав опор в ваде ,4 =О 3 Реэкцвя, определяемые этва йо)муязмя, вззывехм дннвначеоквмв: она вознвкзюг з опорах ара врызевав таза. Иэ (47.15) ввдно,что дннзмвчеонке ревкцва ззвкоят кзк от прклоаенных к тазу сал, тея и от параметров к состояния двввеная самого теэвз Онк могут от- яячвтьоя от нуда деке прн отсутотвкк активных снк. Реянчаны реак- ций пропорцконзльвн квадрату угловой скороота тезв, поэтому прм быстром врэненкк онв могут быть весьма болмивмк, часто зо много рез превосхоцянвмв зктнвные савы. Резкцак опор яэзывают отетвческве н обознечеют через 0 а А' (м 1,2,3) в случае, негде тедо покоатоя. мэрнкеная для отзта- ческвх реакция) следуют яз ео)муя (47.15), сохи в нвх полонять у-~ =о: I о э+ л, э с Сраввнзая ицакенвк (47.15) а (47.15), праходнм к ззкзючеввю, что двввмаческае реакцвв будут совпвднть со цгатаческюа, вояк внполвяхмся условия ~ + ~' ~ =О -1 ~/ +) ~ =О Р й =о, 'у~ о (47 17) Легко выдать, что дяк этого аеобходнмо в доотеточно, чтобы при лЫом законе враневая бело (47.18) т.е.
ось аренская дохаав содераать центр месс к быть глазной осью инерция для точка О. В этом случае ось будет главной цент- Ральной осью аве)х(вв тела. Дейснмтехьно, смыем с центром масс систему ооей с'Р,'Р ' Р ', пераязехьных осям оу,(„Р . Тогда,в сазу 3 йюрмул преобрязоввння координат 4„=1„~4', (ы=1,2,3), центробек- ные моменты инерции относительно центров О н С будут связаны соотно~эенвлми ( = 1'~штадт~, У' =)',, чэе У,' . Отсюда пРи (47.18) будет следовать требуемое у; =г' =с Таким образом, пры в)ащенви тела динамические реакции будут совпадать со статическжш тогда в только тогда, когда ось в)мщения является главной центральной осью инерции тела.
В механизмех с быстров)шшнюхимися детаэями стараются избелать появления болжих динамических реакцнй, поэтому тщательно следят за тем, чтобы оси в)ющения этих деталей были главншэи центральными осями инерции. э 48. Физический маятник В качестве п)шмера вращательного двикения рассмотрим вращение твердого тела вокруг яеподвииной горизонтальной оси под дейотвием оылн тявецти. Такое тело называют Фшзнческвм маетнвком. Теория Физического мэятнжа явхяетоя историческв первой разрешенной задачей динамики систеж, Интерес к атой задаче возник в связи с нопросоы совершенствования часов и связан с именем 1шйгенса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
