Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1апотезв Нмегою Пра ударе двух тел происходит ах дейормкроввняе: столкнумхаеся тела вяачвле облаааптся по линии ах общей нормали, пока нх относительная норюаьнвя скорость не обращается з нуль, в затем происходит )жвленпе тел, пока онп не отделятся друг от друга.Пра этом оквщпжетоя, что зелпчина относительной но)манькой скорости з момент отделения, вообще говоря, менюе ее значенвя в момент кзоепая. Это уменмиепае, как показывают нвблищенан, существенно завнсат от 4щэаческой природы тел. чтобы ягненке удв)а ажно было -241- изучать в рампах теории абоолютно тверкого тела, Ньютон ввел гипотезу, соглаоно которой отношение величины относительной нормальной скорости тел после удара и к ее велячине до удара и„есть некоторая константа а, зависящая только от материала соударяюшихся тел з определяемая эксперемеятаэьно —, =-е.
К (5(.1) Константа л называется козфэшциснтом восстановления; ее величина закзючаетоя мелду нулем и единицей олеэх . Пря э=1 удар назынашт абсолютно упругим. Влезь нормальная соотавляэщая относительной скорости не иэмеыяет своей чвслеыной величины, а только меняет свое направление на протзвополоиное.
При я=о удар называют абсолютно неупругим. Плесь происходит полная потери нормальной скорости. Наконец, при сея<у удар называют не вполне упругим, в этом случае происходит частичная потеря нормальной скорости. Нике приведены значения коэффициента воостановкения для некоторых материалов: дерево е = 0,50, слоновая кость и = 0,89, сталь е = 0,56 , стекло и = 0,94. При гладких поверхностяк соударяшэихся тел касательная составлющая относительной скороотв за время удара не изменяется. В некоторых случаях учитывается влияние имыульсннх сил треяия посрэцством введения коэффкпиента мгновенного трения л —. = у-л, (52.2) к И,'- где и и а - проекции отяоаительной скорости на ппоскость, касательную к поверхностям тел в точке их контакта, соответственно в коаце и начале удара.
Козфьзциент л . определяется опытным путем. Иногда прщщмается гипотеза Кулона, т.е. делаетоя предположение о тоы, что касательный удар связан с но)валиным. Как показывают экспервменты, влияние трения на удар значительно мевыэе, чеы влияние упругости. В дальнейшем будем рассматривать удар, пренебрегая треныем. ЗО. Постановка ачя об а е Пусть два идеально гладквх твердых тела л ил, фо(ща и днвкение каккого иэ которых известны, в иекоторвй момент сталкиваются друг с другом. Требуетоя определить момент удара, положения тел в этот момент, а такие скороств тел после удара. Решив зту зедачу, получая начальные услоцмя для посащущего дисценкя обоих тел, которое будет ооверцаться под действием поотоянно првловенных к тазам внмзыах свл. Определение етого последуицего двакення есть обычная мщача двнемнкн тверцого тека.
4 . еленке моменте отолкнов а полонен тел Будем расанатрнвать дввкенне тел А в А относительно састемы отсчета пл,я„.т,. Возымев в качестве сопутствуицих аастем коордняат, свяазвннх о зтньм телвыв, главные центрельнне оси янерпав тЕЛ Ст,ц (, В бФ тл Е,' Ссствстотззкыс. УСЛОВНМСЯ И В ДЕЛЬНЕ(аезы отмечать атрвхеыа все велачанн, которые относятся к телу А,Давление тел з оаотеме оточета проноходат согласно ураженвме / с/ х=х й), у=уж; .г =ли), ~=у а) а-цду), (ББ.З) в которых все фувкцак очнтавтся двазщы непрерывно дитйереыпнруаыыын.
Форма тел определяется уравнениями поверхностей тел в сопутствумцвх системах коорпннат У('у у~ Ь)=о У'(~, ~.,', У,') = О. (Бй.4) Полагаем, что Фувкпмц / а / облццавт ыепрерввынца проазвщнымн по своам аргументам. Пред- А агавам ета уравневвя в заставе отсчета. Боспользовамзноь уравнениями дмвеввя точек тея ц-дМ Рас. Я выразим коорцзноты у н е,, через коорцняаты г следувцзм об(азов: Подстановка вткх вырекензй в (52.4) н приводит к пскомыы уравнениям повериюстей тел з системе отсчета Гб~,лц,л~; Г)= о, Р!~,,лл,л„, ~)о.
(Б2.Б) В силу исходных допущенвй легко вжеть, что Г в Г будут так- ке непрерывао ди44еренцнруеыымн фувкцвемн. Псла тела сталкиваются друг с другом, то в юмент встречи е, у тЕЛ будЕт Общая тОЧКа КаеаНИя Гт, (Л,, т,, Лл'). КРОМЕ ТОГО, В атой точке орты П а П' внутренних нормалей к поверхностям тел будут направлены ао одной прямой в протввополозные стороны й--д' (рас.51). Это првюдвт к следущцнм трем уравненвям: (52.7) Ванду оченвдных уоловвй ~яп.~ ° Л л л=х ° незавнсвмымн аз ннх М,~ С будут только два равенства.
Поскольку компоненты внутржных нор- малей зарекаются через ураженвя поверхностей (5(.6), согласно уравневвя (51.7) мокко представать такае в йорке (52.8) бГ 1 А~ г хдэ), Таким образом, если тела отолккуяксь, то время вотречв Ц а коор- динаты точки касания т„будут удоваетко1мть ураженввм (52.6) в (52.8). Отсхща ясно, что судить о том, столкнутся али нет дввау- щвеся тела, мокко по тому, вмеет аки не имеет решение система уревневвй (52.6) в (52.8).
Допуотж, австема (52.6) и (52.8) имеет действвтельное решение (,х, .х, л, в котором Т„ю, тогда тела столквутоя. Прн ыа- лвжв нескольквх таклх реаенйй следует взять решение с наамеыьвж пололктельным временем. Ураваеввя (Я.З) прв этом определят в ю- мент („пояснение тел, а зависимости (52.5) — те точки в тежх, которымн онк коснутся друг друга. 5о. Оп еленке око отей тел после а Займемоя теперь решением осножой задача об определении скороотей тел после удара. Пусть т - продолавтельность удара. В начальный юмент уда)а у линейные н угловые скороста тел будут о',й а й', й, Эти величины кззеотные: она опрщ(елявтся по уравнениям двженаа тел (51.3) в известный момент С .
Соотве~ ствущпае велвчаны в конечный моюнт удара Г Е, еГ будем обоаначать балшззма брквамв ф, й в Уе', Й' . Этн велвчвны наперед вензвеотнн в подлеаат определенна. л7 -РГд' (52.10) н ввсчя обоэначения / / но =~О «й, (51.9) в Форме сЕау Š— +ю«.Е =Рф+ЯЕ,( Ф .у-р,» я, (52,11) вино представить ураваеывя «7$ т — '~- пю«Р=7 ~ЛЕй оЕ с оŠ— П(~л ее«й=Р'+Мй «ЕЕ М П теграруем кавдое ае стах равенств по времени в пределах от до е,=е +т, принимая во ипммние, что, ввиду мвкости проме- аутка г, перемещение тел не успевает проиеойтн. Тогда л, Х и й', Х' мозно раооматрввать кек постоянные величины, в мы будем иметь Л'-ф ) Есме) тРт3я, ~й-э,)+Еее.~) тЩ) т 3л, 'Ф Р') 'Фй«)„т-Ф'" дя', йа-й)+а'4)ФтЕЕ$) ~гХ', где череа о обозначен импульс ударной опты ,У=/ М«ЕЕ, (52,12) обычно наеывамвй ударнй импульсом) кек уке упсмнналось, этот импульс явпяется конечной величиной.
Пренебрегая в полученных уреьмеавах малыми чкенеми порядка т по сравнению с членами конечной величаыы, окончательно получим «чЕ~-с' )=сй, 1 Га-о() =лу, Рассмотрим двакение тел за время уда)в. Уравнения дювеввя имеют ввд Ыф сЫ. т — =Р+ЛЕ, ~ЕЕ АТЕЕ с — =м ~р .У; (52.9) т' — '=Р '"Я' — =ЕЕ + О «Я дЕ «ЕЕ с где Р, Г и у~, Я - главные векторы н главные моменты»ри/ локенных к талан обычных сил, М и Я вЂ” ударные реакции, а р, и р, - относительные редиуоы-векторы точек приленская стих реакций (рве. 51 ).
учитывая, что ударные реакции неправневы по внутренввм нормалям тел — Ф р Ф т(ь'-д',) фа' 1, (й -й„);УХ' поскольку д-л~~„~?, л'=фб, а некто)а х и,х определены через нях Формулами (52.11), ати уравнения позволяют выразить скорости тел после удара через ударный импульс.
Эти вырзиения имеют вид К-Р = — й, с~ и-й =ДУ.Х, .5-Х.х-лз~ с съ ~я (52.13) Ф / Р / ф~ Г-сг =,,й, (? -й ф,7.,?, где через ~ в Хс' обозначены тензоры, обратные тензорам инерции 1 и 1,'; два гейзера называют обратнызн друг другу, если обрат- ны друг другу матрица их коыпонентов.
Таким образом, для решения поставиеяной задачи требуется вычвслить ударный импульс. Восполь- зуемся для втой цели дополнительню ураьмением, даваемые гипоте- зой Ньютона (52.1). Предварительно произведем ряд вычислений. )(ля точек касания тел ?ч и гт, скорости в начале и конце удара име- ют значения Проекции зтнх окоростей на нормаль а будут равны г ~г=О 'Я+о?Ф'Хг сг = (~~ул ае Х' Р =Р ЛЛ )' ~ Ул ~? Л (52 1 1) С помощью последних йормул и равенств (52.14) составим вмреяения *х )„- .'=Г~--,„) Х.~Л-~.) Х-('-'.Л ~ )Х, -М"-(К-4,) -'(й'- у) л=(?..Х. ~я)г, где Х и 1 - коипоненты вектора Х и тензора инерции Хе в ! системе коопдинат Ср,йлр~, а Л', и Х! — компоненты аналогичных величин Х и х в системе б'4,'4'у' .
Складывая зти равенстха, будем иметь Заметим далее, что относительные нормальные скорости тел имеют М к у х х зяачення г(,'=и„.-г., и -У - Г . Используя их, можно придать выражению (52.1) гипотезы Йьютсна следухщвй ввд: л ( л л (52.16) Отсюда и из (51.15) тейерь находим, что ударный импульс )ижн гега (Уча) / 9~, 'Я, ст Уо пт 'пв ( Я',о (52.15) '!то каспетоя скоростей шаров после ударе, то, в соответствии с )ори(лами (52.14), они теперь будут — Ф вЂ” -з Ф гхс нцпульо ,У имеет значение (52.18). (юхлснкке (юсмулы показывают, что удар гладких шаров имаеняет только поступстольнце скорости и не оказывает влияние иа их вьт цтельнос дь.ление.
Рассмотрение уларе тел с учетом их де)юрмвцвй оказызаетоя значительно более тр)иной задачей. Решение ее для случая соударения двух упругих тел дано Г.Герцем, бс. ударйвух юдйв качестве примерз, иллюстрируюпего теорию удара твердых тел, :шссцотркы )дар аарон. Пусть два одинаковых гидких шара А иА', рщитс' которых рьвны 1 см, а масса -т, дпикутоя невстречу друг 1ругу вертикальном направлении относительно изобракенной,на рис. 52 слстемы отсчета ах,х л, согласно уравнениям Х.=.г =9, л„=.У - —, У О л; =Ц .Г =У,,х-ле- /Е 4'=о ( =йд,'у), у=991'"7сел~, (52,20) -247- (У 9)( - Ф ж (52,17) Формула (52.14) и (52.17) решают задачу. Итак, в результате )дора з опием случае изменяются как линейные, так и угловые скорооти тел. Петр)дно заметить, однако, что если телами А и А явлнютоя варн радлусов 2 и Я , тэ ворчали к шарам в точне касания имеют значения й=-)Л Д , л'--ф~у), ; из бормул (52.11) прн етом следует, что Х=Г =о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
