Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Теореме доквзвяз. дь Теоремы яозэолякт врвмевять геометрачзскяе сообрваенве вра 1мосмотрения равновесна твердых тел. з к Пусть, яан)зв»ер, однородный отераевь АВ весом Р а длаяой ( .ьэ удерзявветоя з нвкзояноы воиове- А' нак разновеска двумя горззоятвзья»в»в взрезанна АР я ВГ, яра этом в точке А оа она)метов вв ! гледкув стеву, вв которой находвтс~ * ~ оя я точка,р, а з точке В Р ва горвзовтвзьвнй гладкий вол. Рво.лб Точка А а с леавт нв одяой -2П- Тек как Вс= ~сею., ен= Вуг,,а, величины исноыых реакций будут ранцы ВС Р Р.=РВВ =Г'Ф" в~~.~~~и 7 Г ла =Ран = р У"'~ ВМ Р / ° л вертикали, а угол АВО равен с (рнс.40).
Опрецелим величины реакций нз концы стервня другах тел. Стеркень АВ находится в равновесия под действием трех сил: веса Р, прилокенного в его серанине, и реакций Р„и Х,, прилолонных в его концах. Из задачи ясно, что вес Р вертикален,реакция Р„располокена в горизонтальной плоскости РЯс, а реакция Ре *- в вертикальной плоскостм вен . По теореме 41 оилн будут переоекаться в точке Е, в котороИ лиыия силы тякестк пересекает гориэонтельную цзоскость, прохсдяную через точку А Та~ как при равновесии главцб( вектор сил равен нулю Рая Р =Р, тО МОКНО ПОСтРОКтЬ ТРЕУГОЛЬНИК СИЛ (РИС.40).
Пояапе стэне па)мллакьпостк сторон он будет подобен треугольнику Вон,и, счаисватакьно, их стороны будут п(юпорцвональнн — = --'- - — и. Р Р В Рн Вг Вн т 44. Поступательное двииение тварного тела 1. Об словцах пост стельн стк вмкЕниа тела :веет место слелукщая теорема.
хызлРе ~у 6 Р Вт ю ~ь" Р дос тело двигалось поступательно, необходимо и достаточно равенство нулю главного момента внешних сил относительно его центра масс М, =Р. (44.1 ) )(ействительно, пусть тело двинется поступательно. Тогда еч=о, следовательно, будет нулем и кинетический момент тела .~-~ Ю=Р н теорема о кинетичсскоы моменте относительно центра масс доставляет требуемое условие: /» = .+ о .
Если ие еь=о н Я . о „ то та ке теорема приводят к векторному равенству .~ =у ау= ~ Ы'= о, Оно эквивалентно следуьвюм трем скалярнни равенствам в системе коорпинат гу,у й,, совпадаюкей с главннми центуыьнмын осями инерции тела 1 о)„- о (ы =1,2,3), Так как 1 Е о (ы =1,2,3), отсцпа получаем а)э Р -212- (м =1,2,3) илн й ео , а это условие и означает поступательность дввтения. Теорею доказана. ,,е 2, инемические эвнеыия пост отельного ээаеыия тела 0иорости аэменения эйлеровых углов определявтсл через сема углы к компоненты угловой скорости тела кинеметичеокэмы бермудами Эйлера, взятнни в следупией йорма: .Ьс~~ ~ Ж'Я~,,~ л, * При поступательном джаензи вела о) эв ( с =.1,2,3). Из уравнений (44.2) следует, что в рессютраввемом двииевии эйлеровн уг лы будут ностояннню м=м' (.с 1,2,3).
Главный вектор жеанах сил будет зависеть толжо от времена, полокенвя н скорости цеытрв юсс. Перине тра динвыачвокае уревненж дэиаенвя тела (40.4) образуют теперь зэжнутуы оистему, описывввщув двинские его центра мвос гп.Е'= Р й,л~.т') (с Дл.л) (44,3) У(авнбныя (44.3) ваанввмт уравненвямы поотуввтельаого дэваенкв тела. К нвм следует присоединить слвяузщве начальные условия: (-б ЛС Л' х'-с- (м-СЛЛ) (И 4) Таким образом, постуввтельно джаущееся тело ноано рассматривать квк мвтериалъвув точку. 3. П ение елв в е юге ьаой то Первые три двнэюческвх уреженая дэиаевия (40.4) опредеиявт двикение центра юос везввисаю от других двнвмаческвх урежевий, если только главный вектор внеыаих сил есть фуыкцж вкае Р=Ра,л',л)), т.е.
ве зависит от характеристик вращения. Есяа при этом Л, о, но сРФо, то легко видеть, что Ы й, тело будет соверэвть вреаенэе о постоянной угловой сыоростьв, называемое вне(щаонаж врэщенквм. Лввяевие тела в этом случае описнвветса иек двакение вынавщейся точки. Такам образом, пректичеокое ооуществиеыке мехаыачвокой системы "ютервальная точка" ноает бмть достигнуто таким прилокевкен сва к реэльвоыу твераому телу, чтобы вх глажвй юмевт отвосвтеаью центра мвос бви )авен нулю.
Требование ае востукатвчьвоста двжвнж является не строго необходимым, -213- э лввь упрощэмзнм рэссмотренве. Итак, идеализация "метернэльнэя точхэ" означает пренебрекенне. не столько врещением тела, сколько его влиянием на поступательное двэкенве. э 45. Плоское знкенне тне ого теле 1о. вккеняе пэ ельне глевной ент ьной ы2с~м В~ю Чтобы дввкеыие овобсдного твердого тела быэо ылоскюз> доэвны быть выполнены определенные угчоэвя. Об условиях дэикеныя тела парвллельно одной нз главных центрвзьных плоскостей нне)цвв говорят следуэщея теорема.
Тесе(еыа 45. Лля дэнкення свободного твердого тела парэлзельно ксходному полокению одной вз его главных центральных плоскостей инерции необходимо и достаточно, чтобы оно сервсеачельно двигалось пареллельно этой плоскости и чтобы у вневнвх снл главный вектор прннэдлвээл, а главный момеыт быз перпендикулярен этой плоскости. ~Земную Б " ~ ° ю А.ь.к главнее центреяьные оса ннерцяв тела. Пусть тело двнкется ээркэлельно исходному полонению ялоокосты су,т . В системе оточетэ э оя,.т.т,, цзсскооть ат,.т„ которой совнедает с плоскостью П (см.рве.41),уревнеянн етого дэвиенвя имеют знк ~=бган, м-,~=о.
И51) Соглесно кинеыатнческим йормулсм Эйлера, компоненты угловой скорости тела будут иметь значения а~ = $с) (м 1,2,3). Нэ основании диэемическнх уравнений -т' =Г 1 — '+Й-1)а> ~=П, Уд~'(1-У)э)й = Р7 (45,2) -214- еекквчаем, что в етом скучав Р"=о, Ру =о, Ру -о, (45.3) и нсобходамость, такие обрывом, устаяовкека. Пусть теперь дево, что' главный вектор свл леакт в плоскоствЛ, а глазика момент периендюсулярек к ыей,~'=о, гу'=гт'=о, и что з / к тело первоыечельыо двагелось паркклекько плоскоста П, т.е. имеют место следущие начальные уоловая: г=о, х =.г =о, у-~~=о, ~~=с~-о. (45.4) .г Следствием этих усаоввй будут равевства Й = о, о(, -о.
В данном олучае уравнения (45.2) прввсдятся к яо)макакой сзотеые уревяеывй о еаазиткчеокщк прввымв честямк 6 охх .с ~~ Ыеы 4-4 " " ХЫк . 1, ~~ ",~ "> — — * Зта скстема кмеет ыуяеюе реыевзе .х~=~х й=с) =о, удоваетаорящее начвкьзщ уокоааим (45.4). По теорем 4 оыо едзвствекво. Ие ревекка е)=о, м, о з квкемвтаческвх ейаеровых фо)муа схедувт два урезиевзя я ып~ Азу м~ ащу=о, Я~дл~р бщу -.ук.ьл(( о, которые щеке согкаоущееоя с яачакькыма усюваак (45.4) ревщзе о=о, ы=о . Тыквы обратом, ко вое време двааеыая выповкащса равенства х =о, ы,=о, у-о, (45.4) которые яымпиоя достеточащ пркеввксм того, что тако двааетоя парыкяелько ялоокоотз Л .
Теорема докевека. 2с. взвыв е е кя ож е тйййййус Мй Пусть твердое тако дывается параклакьао паоскоста г,хх, содеркезей цеытр масс. Это будет звать место, вапрзмер, прв реаавеецаз усховвй теоремы 43 ака прз другах усковаях, скааем, ярк некованая скецзщьщх овавей. В этом случае выколвены уравыеяак (45.4) а, скаковатеааао, е)=ей о .
Каяеывтвчеокое ае уравкевзе о~~=~соыФ +~~ ярм етом крвюдвтоя к виду м=ц, Покмество с двнаыачеокямв урывяевзкыв -215- оно позволяет получить уравнения (45.5) слука«ма для определения координат плоского дваяеяиа тела л«,лл а м« . Зги уравнения назывная динамическвми уравнениями плоского давления. Яля нзходхенвя плоского двшення тела, происхшпшего аз заданного начального состояния, к уравнениям (45 5) оледует прясоедвнить начальные условия т 46. Явиаение тякелого цилянкра по наклонной плоскости Пуст~ однородный круглый цилиндр весом Р, радиусом Л я осева« (стиусон инерции г-л/«л.
начинает скатываться из состояния покоя, в котором его ось была горизонтааьна, по нсроховатой накчоп1ой плоскостя, образумаей с горизонтом угол .« . Ось цилиндра является осью матернваьной. симметрии, следовательно, она будет глазной центрпльной осью инерции. Плоскость, проведенная через центр масс перпендикулярно оои цилвцкра, очевидно, будет гланной цаатральной плоскостьп ннсрцна. Обозначим через «у ее ориеытзпню г начальном полевении.
Ясйствумкве нз шинндр внсннис свлы: гсс Р, реакция плоскости ««" Л« О и парс треывл качения с моментом Гу -лечат к плоскости «) (сь.рыс.42). Поскольку начальном состонняем был покой, то все условия теоремы 43 выполнены,и нг цилиндр будет двигаться параа- О, лельно плоскости П . Посмеем в О 1 плоскости П начало кооркинат О в началыюй точке касания цн- О .
-~ ~ линдра, ось т направим пер- Р пспднкулярно наклонной плоскости, з ось гл — аколь нее (см. рнс.42). Яирзерепцицчыпи уров- пеняя плоского дзюмввя (45,5) а вачааьнне уозоввя в денном ол)~- чве будут нметЬ заа отл' =М-Рбоы тГ=РАлх-Р ГЧ=дб-М", (46.1) (-о, л'=,е, л,'=Ч-о, т,'=х'=Ч,=о (46.2) Гвссмотрнм резлнчнне рвзнмы двавевня. 1с. частое окоаьайнйв Вначале рессмотрям случай, негде сопротвваеняе двввенвю отсутствует, т.е. Р=м о . тогда уравнения двзвеяая ~щлнндре (46.1) упроаезйся и п(инвмехм зяд ..е гол' =М Ргнф тл' =Рд<на, ~~4 о . (46 3) Урввненвя содераат, переду с кооряннвтемя цаюпщре л,, хл и Ч„ еас одну неаззестауа велячкву реазцав М .
Зцесь мы имеем несвободное дннаенае целвздрв. Связь генона, что центр месс цилиндре должен двнгзться пвреллельно цзоскостк. Это приводит к недостаювеыу четнертому уревненвю л,= е . Отсм(в ннходны, что .х,'=о, а первое кз уреженнй (46.3) определяет но)мазаную реекцкв л'-Рсак Интегрнруя двв друтке урввнеывя прк начальных условиях (46.2), получим уревнення дмпеывя цазаядрв в езде ...Е „л ~Л„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
