Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда, полагая — жи,=-Ми,, где л»о — некоторая постоянная, установим, что закон изменения масон будет зкспоненцнельным »»»» т »»»»т=-М+б, б' бт~п !»я=»и Г -»»' (36,9) При этом законе убывания масон клана активного участка будет равна х =ос' »о,==»»п» — Ỡ— И, » — Ьх, »',(» . сМ» пь м» 6» 'ал ' ~ ~ (36.10) (36.11) с! ГраФик Функции,и !'.и) изобракен на рис.32. Нз него видно, что прн всех значениях и» вЂ” не~я» личвна и» у, следовательно, при акспоненциальном законе убывания массы путь проходятся болмюи! „чем прн линейном законе, т.е, с атой точка зрения выгсянее быстрее скнц!ть горючее. »» э» я» Рис.32 6 37, )[вкконие меипланетной ракеты рассмотрим вертикальный подъем ракета с земной поверхности и устаноним условие, прн котором ракета ыокет покинуть Землю.
Булез! рассматривать двкксние ракеты отпоситсльяо системы коордипат 0лул, начало которой взято в венгре Земп!!, а ось сл направлена по вертикали (рнс.33) прн следуюиих прапполокениях: ракета считается двякузейся поступательно, ее масса убзвсет скспоненцисльно, а скорость истечения газов постоянна и направлена вертикально вниз; скис тятсстп изпеяяется согласно закону все- српого тяготения; сопротивлением атмосФеры и врапением Земли -164- Сравним пути, проходимые ракетой при линейном и экспоненциальном законах изменения массы, полагая для простоты начальную скорость равной нулю»йь!э и считая одинаковнни другие параметры»»,, »т, И тг в Обоих случаях.
Обозначим через,и отношение ЭТИХ путей. !(оспе почяеныого деления равенств (36.6) и (36.10) полу- чаем В этак уоловазк ракету вино рзсааервлвть как точку переменной мессы,дзвкущувся под дейотвкеы 'свлы тзкестз и ревктнзной сапы, оогласао урезнеанв дсщерского. ЫР -.Ы жди-=~ -йлу ~Фа т Р== — ~ Ф=тй --лт с, т.т т Л з ы~ (37.1 ) где д - заданный полоантельный параметр, Я - радзуо Земле, у.
- ускорение сапы ввести нв зезеой поверхности, а Е - рв- Ряо.33 двуо-вектор точка, Ракета дввквтоя нз следувзего начального состояния: 6-0, Л(о)-Я, .тй)-УГо)-0, я~о) ~1о)=Мо)=а (37.2) В рассматриваемом случае дмззеаве рвкетд будет, очеюс(но, прямолинейным. Проевтвруя урезневке (37.1 ) нв вертвкель ал, лолу аем т+- — ~ — +,( Яч щ Ум,(и;У (37,3) Умновая уравнение ав осй саул и интегрируя, получаем интеграл ввергни — — ~' — — А л С-"- ~ Лычм, от а„рз я л (37.е) в котором постоянная кнтегрвровенва д определена по условиям (37.2). Эта Фо)мула дает заввозыооть скорости ракеты от ее высоты нв активном участке траектория. Скорость, определенная кз (37.4), будет разве с.= —- стл (37,5) а'1 Отсняв, разделяя переменные и внтегрнруя, находам уразнеыке двю- азана вдоль автквного Учаотктв тувекто)мк в ване щли<~-и ~.рЦ - и) я -136 (37 6) Пусть й — время действия реактивной силн, л, — достигнутая высота, а и» вЂ” скорость ракеты в конце активного участка.
Двккенне ракеты при та г» происходит исключительно под действием силы притяжения Земли; при атом сунествует интеграл энергии, получаюннйся иэ интеграла (37.4) прил=о: о. 9Я г» я л х (37.7) Я отр л уе, Юли, Лп~ » Ж +»с» (37.10) Подставив найденное значение Л» в верхний предел интеграка (37.8), находим время 4» , с помощью последнего и формулы (37.1) определим мессу ракеты после внгорания топмаа; соответствуание формулы имеют вид »й / Или,(л-я) ~,а»Лг ~е)1 .Р Фо)кэулы (37.10) и (37.11) определяют высоту, на которой ракета достигает параболической скорости, величину этой скорости, а также потребное время полета и остаточную массу ракеты. В частности, пусть параметры задачи имеют знгченкя.
л=бжз яз у =РУ1 7»»» а. =лосо ~т» Р бз7!Оон Тогда легко подсчятать, что я= '(п~~~ =.й и из формул (37.10) находим Р -.ы1» ,- .е . (37.П) -1 88- прснзвольнал постоянная с, определена здесь по параметрам в конце активного у лотка траектории. Иэ равенства (37.7) можно найти связь ыеиду параметрами «» и Л,, при которой ракета будет способна уйти иэ сферы земного притяжения. Для этого следует полозить е»=о при и= . В результате искомая параболическая скорость будет равна »=~, У, /д Т (37,8) Параметры д. и л удовлетворяют также интегралу (37.4), справедливому для активного участка о, = 94 ли, (и; и) .«~ к (и — ' — д )1 .
(37.9) Завиовмости (37.8) и (37.9) определяют велнчнны и»' и Л в виде л =я(у+~Д~=куй, «.~~а~Х'-о,т« где «" =11,2 ки/сек — параболическая скорость на поверкностн Зем- ли. Таким образом, в этом случае вторая коомическая окорость до- стигается на высоте в половину земного радиуса нед поверхностьв, и зта скорость составляет примерно 02ь от соответствумцей скорос- ти на поверхности Земли. !(оаФбнпиент я имеет простой механичвс- М.ЯИ, кий смысл. Из прецстакчения я= „~, яоно, что он ранен отношению реактызной сизы к весу ракеты з момент стартаПриблииенное вычисление интеграла (37.П) дает дзп( времени Г значение Р 720 оек. 12 эан. Слецовательно, для того, чтобы покинуть Земцы ракетвл( дзкгатель прн и =2 долкен работать всего 12 ыаы.
Однако расход топлива за зто время будет весьма валик. Дейстзительно, ,(г =6,64.10 э .720 = 4,71, и вторея из фо)лэул (37.11) дает -цп /я~ и поб или — = О,6,$, /и Полученный результат показывает, что при принятых зпесь пара- . рах ракетного двигателя залет в мекпланвтное простраястю зоэ- мокен только э случае, когда зес ракеты без топлива, т.е.
вес конструкпиа, приборов а экипааа, не преэынает 0,6Ц от песа ракеты с топливом. Птенца ясны те серьезные конструктивные трудности, которые встаат па пути осуществления мелпланвтного полета. 5 36. Лвикение реактивного снаряда Раосмотрим теперь крнзолипейное цпмзеннс реептнмютс~ снаряда, рассыатринаемого как точку переменной массы. п~~ ~~ик Пусть реактивный снаряц бровен в началмпц! "о ~ент со скорсстьн «поц углом С, к горизонту. Раосмстр!г~ ого посто,"в,с, дпэкенке в однородном поле силы тлкестк, в п.статс пр: г:~бог:опием двигателе, если масса снаряда убывает по эпспснсм мльпоец закону, л= н,г , а относительная скорость псточвнкя проц; ктов -Л сгорания постоянна по величине и нап(милена прогна цвикения /« .
Лвнкенне сноряда описывается слсдунцны „)яьненнеы ()ещерского: Что касается естествен- ных коипонентов ускоре- ния свпы тякести, то они определявтоя через айлеровы углы следупцв- ыи выреиенвямиг Рво.34 ~м=7'~=~Я у' =фа о,=-оу мль, м, ф улмег и, о. =-о иу», е е а=хи ()( После подстановки зна4ний компонентов ускорения и силн н соот- ветствующих упрощений динемнческде естественные уравнения примут ввд ~ я" л арху я — — =-дЖг)~ Лы~з«дц Ьт=-еще)йсьу~, о-.-огозщ (38,3) Присоединим к ним естественные кннемктические уравнения — '=сац,гац„-уо аготы ь мм, Ам (ф ~~~.у = "'б ~х =ИГи~~боЗ~ тГОЗ~~ СО. Мя ЛЕЩ с~ф с~~~ у = (-лсууул.ч мз, „, = уиц„ув5 -188 гяа Р~Ф Р=гяо, ф -я)й юи ф~.
(38,1) л ~ л ч \ Определим двикение снаряда относительно инерцивльной системы отсчета ол,х .т,, нечело которой взято в точке нылета снаряда, ось о.к, направлена по вертикели вверх, в другие оси ориентированы твк, чтобы начельнея скорость принадлежала плоскости л„.т, (рис.34). Спроектврсвав уравнения (38.1) на естественные оси тра+ ектории т),тл,тт~, получаем двнеыическве уревневвя арпа гас.емка ~~ рс ч (! (38.2) Ыстественнме компоненты ускорения определяются фсямулвмв ,.(ол е л е а= — —,а =.М~ а =о. ' сОтл л и начальные условна (см.рис.34) (38ЛО) после чего они приникают ввд у-в) ю Лс1» у+юг 6 — оЯ(и- —,)~ Хд — оЯУ ~ И= — . (38,П ) Кэк и ранее, параметр л дает отношение реактивной свзм к весу снаряда в момент старта.
Начальными уоловнями здесь будут -1 89- е й о, с .гэ=~ о, У я, У я, У н-с,о-Р;,л о (383) НЭ УРЭВНЕНИЯ О= -УбоЭ У И НаЧЭЛЬННХ УСЛОВИЙ СЛЕДУЕТ, Чтс УХ*У, и' ПРи этом УРавнение 'тУз Мэ .е~хУ, пРЯнмэает вих .госсет*о . Но равенство нулю а~уз протнэоречзт начальным усиоввям; слаяова- тельно, дола~о бить нулем кручение .я=о, Последяее ие оээучает, что траектория точки будет вноокой линией, уравнение у~Лэм —,.„„' стэновится вида ф = о, откуда и ив начвэьннх усяомя) находим, чтоу=~~ . Точнотак ве находмэ, что г,*о . Таким образом, ус- тановиено, что во все время двикения зн ФГ у=э-, у= —, т=о, и о.
(38,6) С учетом атих усдоьмй остальные естественные уравнения пряншэют внд ск о'т сЖ „— в-=ЛЦ-оэаиУэ, йо. = ооолУ ..—— „,. =й, (38.7) сИ Л С~Я с1Д З ~р =.ь,у [38,8) Нели во второе уравнение системы (38.7) подставить значенве кра- визнн, а ватам умнокить его на оолу, то сыиестно о первым уравнением яэтсй системн оно будет слукить для нахоздения двух функций а и Яму: сй~ — =РЛи;.уоАлу, о ' о-аО-М~ у). э у 3 Ф (38,9) В этих уравнениях удобно нерейтв н снедумнзм безразмерным нере- менвнм: и" .. ~--'-яуэ У Л= —,.~-: о= — '." ', 8-о — З, ;Т- ' 1+,ФМ Ув ря Ф о 1лО, Я =О, .Е =У, д -" — э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
