Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В самом леле, дифференцируя (31.12) по пара- метру .х и пользуясь условием «Ф = б%, нол;учаем "дха /бт,' э ПРаван часть этого Равенства будет Равна ~л (х,,.хл,.х ) „если волокит ь лз 'Йх=л "л~ бх =гл й„-хл,.г ) нла ф~~,хэ)= Яэ)гхл,лэ)с(я +(р Ж . л л э л сю л з -1 бб- Снедоветаньно, фуякщщ хв (~~ )-/ г,(х...,х,) х, / Гадх,,х).(...(РГ,) (31.13) при любом ф удовнетво)мет двум Пьрвнм уоловиям (31.11).
Пра опе.к,' .г циальном наборе (е конно удовнетворать а третьему кв нак. Лейотвитеньяо, двф(врекцаруа (31.13) по .х, в покатав, оогнаоно (3(.10), Д~ б~к г~ ,)х, бх, ' бхн будем вметь д1/ Г дД вЂ” бх с(», +( ~~~) с~т„.ф'Р<Рс,хе)-Г(х,,хх',х)+Ф. х ( н Поотенаеннаа цевь будет Иоотатвута, воли пуввать хф ~'=Г(ахах) внк ф(хд) ( Рщ;хн',х~)х~~ . хФ Таким образом, пра внповвении уоловай (П.10) потащквном овв будет функции хе хг ху ою/ Рце,~а., ~ РГсь~м, ~г~ц',се~а,. Легко видеть, что длк онучка окатами овв ~,..., Р уоловае потеяцваньнооти (31.10) обобваетон в мае м„" ьг'" ,~,~ =,~ н ( )е 'й '/'"'"' (3(.10) Лпв потевцаыцаой овин моанооть (зава пРоиевонной по вреиевв от потаппмла Ьи ~х.
Ыи. .к=г к-д — ~'=— (31.16) ,~ бЬ;~ Й <~~ а )абота - разноотв эначевай потенцввла в конечной н начальной точках пути Р А= ~Мсй = ~ ЖУ= 0(л,,хн,х~) У(хз,хе,,Ь~ (31 1т) Р, и, оледонв)ельне, не'эащовт от Фо)ми траектории. 1б7 4о. Связь и кинетическими зне гзямн системы а.л.вввв~ Вычисление кинетической энергии удобно производить, опираясь на связь, сущестэуюдую меиду кинетическими энергияыи системы и ее центра масс, Зта последняя устанавлэьается следукщей теоремой КйниТеоремз 33. Кинетическая энергия системы ранна сумме кинетической энергии ее центре масс, считая, что в нем сосредоточена масса асей систезм, и кинетической энергии системы в ее двииеаии относительно осей, поступательно перемещакщихся эмвсте с центром пасс 1 Я / ,и Ту»ягг~ +Т, Т=-л-л т,~„', (31 18) зеы~.
е у»,'»' ', е сн поступательно вместе с центром масс относительна неподвэиной системы отсчете Ол»длдл . Тогда скорость ьт» ы-й точки оиства будет равна сумме скорости ф центра маос б и скорооти двнкениз зт» относительно центра масс й:= ф й' . подставляя это значение а~ в иыраиение канетической энергии систеиы, будем иметь и //ц,»)" ~ ~ (~;~ к у л Ф» Я Ф о» Л»»»' (31 19) Если принять нс нниманив соотношения -г Ы т=т., ~~ и э' = — 3, т„т = — (тт )=о, »» ' „»»»зт „.м ы ~» е са > то в праной части равенотие (31.19) средний член выпекает, и оно принимает вик (31.18).
Теорема доказана. 5о. Кинетическая зне гня сна а Применим теорему Кенига к вычислению кинетической энергии снаряда. Пусть крупнокапиберный онаряд ныеет вес Р =360 кг, полу- калибр /с =0,152 и (калибр 304 ме), радиус инерции относительно оси вращения т =0,735 Ю, начальную угловую скорость вращения е)е ~52 4/свк. (5250 об/ыин) и начальную скорость центре масс ы, МОО и/овк. Относительно центра масс снаряд соэерпает вращательное дэиквние еоируг своей оси с угловой скоростью «),, поэтому относительная скорост каидой его частицы будет с~'= »» си,, где Я„- ее рас— -188- стояниедо оси врещеюя, Следовательно, относительная кинетическая ввергая 1щвна т'Мял „„~.Ы~ч.', ~-Г „(„' Момент инерции онарща1 овязвн с радиусом инерции т соотноиенаем 1 ят . Тваа об)азом, полная энергия снаряда, согласно формуле (31.18), будет раааа т=~Д Р.
ятл,)'= — "( г' ').') = ы ео ь буба л т х — ГУ00+ОУДУ РУД бЛ5. ШЯО л.яуу При этом сказывается, что Т/~~ее,'т к~о~я/ е =Посс, т.е. кинетическая энергия врещательыого двмзенвя в зтсм случае составляет только 0,6$ от зне)нщи поступательного двнаення. Полученный результат двзтпредстазление об огромнои резруиытельной работе, которув двае неразорваюийоя снаряд монет произвести прн ударе о препятствие. Пля сравнеыяя укелем, что товарный поезд, вмеищщ 50 груаеинх вагонов весом в 25 тонн кекднй н скорость в 24 кщ/чвс при двух тепловозах (считая кннетяческуе энергию тепловоза равной удесятеренной энергии одного вагона) имеет запво кинетической знергаа, рввнвй только 38ь" ввергни снаряда.
Это обьяоняется болюса скоростьв онаряда, в две о паиным раза превоохсдящей скорость зсукв, и тем, что кинетическая знергю пропорционвлью квадрату скорости. По. Тес об ения квнетаческо ене отнооителько ент юсс Рассмотрим измевенае кинетаческой ввергая снстщв прн дввкении относительно осей С к,'.ле'.т,', поступательно перемещаюихся имеете с центром юсс. Подставтяя в выреяеняе теорщщ о кинетической енергви (И,1) сКТ' е ~Г сИ значение 'Г по формуле Кйнига (31.18) и полагая ф = ф+с... будем везть сИ Я М с — —.— =4 СГ -Г)-Л(.М с( т с с(Т вЂ” -а ь е' г' (31.20) ~/ где через М~ и Л/' обознечеыы относительные мояности свл, -169- ЛГ~=ЕГ' ° ьч' ЛР=Р" К„' .
(31.21) е По свойству внутренних сил их главный вектор равен нулю дч'-о. Теореыа о кинетической энеууии применительно к центру масс системы приводит к равенству †, у'=Г~ ф ° с учетом этих условий соотношение (31.21) упрощается и пршнпщет вид у" е' сИ (31.22) Полученное уравнение выралает следующую теореиу об изменении кинетической энергяи для движения систеьш относительно ее центра масс. Теопею 34.
Производная по времени от кинетической энергии системы в ее движении относительно центра масс равна сумме мощностей всех внешних и внутреннкх снл в этом движении. Таким образом, оказывается, что в отнаситехьпсм диьчении относительно осей, поступательно перемешэюзнхся вместе с центром маос, закон изменения кинетической энергии имеет тот же вид, что я для абсолютного днижения. 6 . ие инамкческие тес емы в механике ээюм чм В механике сплошных сред сбщзяоштуэцшк отличается от той, котэ.
рея рассматрнвалась в механике дискретных систем точек. Теорщеы о количестве движения и кннетнческом моменте дискретной системы точек после соответствушпего обобщения на сплошные материальные среды назынаются уравнениями иоличества дзшкення и кинетического момента и клакутся в основу динамики этнх сред. Вюолншзость этих уравнений для произвольного обьема, состоящих нз одних и тех ие материальных частиц среды, постулируется точно тзн ке, как постулировэлся второй закон Ньютона в механвке точки. Из уравненФ количеотва двикенкя для непрернвнык двикеяий вытекают основные динамические уравнения двккения материальной среды.
Уравнения кинетического момента позноляют установить важные свойства обобщенной силовой характеристики движения среды - тензора напряжений, а именно его симметрию. Уравнение кинетической энергии в механике сплошной среды является вакныы общим следствием динамических уравнений и служит балансом механической эяергни. ч 32. 0 с нем значении ви кала снл В качестве следствия днФ)еренциальных уравнений движения сис- -170- тою впво получать ооотновекае, сзазнввюее средвиа канетичеокув энергию светаю точек, двакущахся в конечной области простренотна, с дейстзумщвзз на нее оалмеа. 3то соотвсвенае устввавчнввется следувкей твк назыввеыой теорюсй нарвала оак.
Уеойемв 33л Пусть овотею мзтериельных 'точак двинется под действаем сал, не приводмзвх к беокояечяо бслызю зяаченаям координат а скоростей точек, тогда среднее значение вырвала скк зв болмвк( промеауток времена равно взятому со знаком ывнуо удноеяному срщ~- неыу знвченвв канетачеокой звертив скстеыы зв тот ке прсмеауток Гl Г. ю -ат. (32,1) и з*~ 44Р ~ н ° скствю точек т„ф Г„Г~ у,...,л). уюоаая уравненае двааенвя с -й точка скаля)мо вв Т„ч сумьмруя реаультвтн по всем точ- кам састемы, будем вметь м,ф з, хп,'Г„т„, (32,2) Используя определение вырвала Свл а очевааное равенство Ъ~=Д.Г .Т ЫК Ы ,уу ' ° .~у Е'т„—" % — Дт„й з -Я7 асано представить ооотысвенче (32,2) следухщю сб(взом: Ъ~= — „у ф' т„к.т.„- й Т. (32 3) Звметю теперь, что средню зявченвем ~ фувкдва ~Ю зв проваауток времена т нззввват вырванные у ~ 'фЫу.
Легко т х видеть, что среднее значзвае проввзакной от о нвой функция зв достаточно болвисв прсмеаутоа времвна будет нулем. ЛейотвательЯ /.у у~Т о Вернемся к соотымзевав (32.3). Осраакке его по болызому промеяут- ку времена т, кото)аб) в пределе юкно очатать бесконечно болт вам, и, замечая, что Ел~~ з„в склу уоловвй теорею, яв- ляется ограниченной фуйкдаей, полувв )ввенство (32.1), что н доказывает теорему. Подобно теоремам о количестве двааеввя, канетяческом моменте в кинетяческой знергви, теорею варивлв является следствием урав- нений дзакення сястемы. От других общих теорем онз отличается тем, что имеет статисткческкй хо)актер, т,е. рассматривает различные -171- механические величины осредненные по времени.
Зта теоршэа играет важную роль в статистической механике, например, в кинетической теории газов. Рассмотрим одно из приложений теоремы. Пусть система заткнута, а ее внутренние сила обладают потенциалои у' , являазвмся однородной Функцией степени Л . Тогда вириал свл можно представить в виде %~= ЕГ Г =ЕГ" Р =-~"' = э яр' . б~ ,уг По теореме Эйлера об однородных Функциях имеем Ярд- х„лУ', следовательно, )ф'=-д)'э .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
