Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Определим малое движение маятника, происходящее из следущего на- чального состояния: у=с, р=о о=к (25,7) 2с. Щеке 4~у~о система дийференцээльных уранненнй (25.6), опкоызамьих прокззолт ные движения маятника Фуко, достаточно сложна н точное ее рапенив представляет значительные трудности.
Однако для малых движений пра начальных услозаях (25.7) решение удается зы)явить через элементар- ные функции. )(змзвния маятника назовем юлнма, есла у/г щ У . лля малых днзжеакй, пренебрегая в урезяеяиа онязв (25.4) махой зелачзыой,бфл по срааяенаш с единицей, будем иметь .к=-Р, д=о, я'=о, (25.8) т.е. малое дзакение мааткика будет плоским. В этом случае второе урааыеяие саотемы (25.6) призамает изд ~д~йрВ+ЯйрАя~=о. После умножения аа р оно интегрируется РЯЮ+ аб7лу) С/, с,' гочгг. В силу начальнах услозай (25.7), постоянная г)=о, следовательно, найденный первый интервл будет мз(а ,О (В+аж~У)=О, (25.9) Прн дзккения Рфо , поэтому, сокращая (25.9) на о а интегрируя еще раз, находам В = - 42 ~ит ~ , У-В =-(ЛАп~. (25,10) -138- Восркинате У херектераеует полонезно аноокоота вечевая мевтзва, а кооранпетн р,л - полонезно чеатвана в етой веосаоота (1ао.
26). Формула (25.10) покаеюелм, что с течением времеви япооюоть ка нння меятппке ноюрвчазаетоя в сторсиу ощщательвогс капуа~ левая оточета угле У (о игв ка мммд), т.е. против в)маевки еемле. Эффект вревская плоскоота качввва маптвюа бве устеновеев Фуко в 1551 году в напивается арректсм Фуко. Величине угловой сворооти деавеник пвоокоотв качения маятника реюа /4/ 1лАм(~, отоман спваует, что псмпм оборот ета плоскость оделает еа вранв Г рндб *лн/ ..
так кек рн/ль есть времк полного оборота Змеев квруг ее оса, равное 24 чаоам (евеааное время), ю крема оборота маятника ва пироге г/ будет у' ~ =244аа Ч чаоов. За час еваеднпго времени плоскость маятна~в поворачивается ва угон, рпхпнй = — Ьс(е = НУ Дм(г. Отсидя види, что вф~аат Фуко ваабвеее я1мо варнава нв полюах а совсем отоуготиует ва екзатор. В орванах ааронах етот угол достаточно велик. Так, аесскость кемааа меяткше Фуко, установленного в апенин Исааваевского осборн в Ленинграде (длиа маятника ВЗ и, вео 50 нг, еюлвтрда юлебекай 5 н, намни( лоло 20 оеа, верста (г ~ро57 ), поворачкеаетса ев званий чае прабмммтельао аа 1йс, поэтому летно ивбвкда~.
Щ4апт Фуко обуслоанев З(аЮааем Зеив (прв й О, а- м. а аЩаьта ке будет), а юетсму его мокко раосматрвють как дскаютекьотзо етого в(мвааив. Зо. Обратимся теперь к друтин урвииапвм оютев (25.5). Посеянное нэ щгх поэволвет оправлатыавввтвеь озава Нейотлательюю ранет вся условия (25.5) а пренебрегая з девяткин плевна, аааераамаее мяенй параметр й, поаучвем ,(= - -у- ° (25.11) В первом уравнении (25.('), в салу л о, один ае чяеюз обрекается в нуль; внооа далее в него зврвенпв а н д, ооглаове Формулам (25.10) к (25.11), н пренебрегая меайа наемами, есде3пмавмн мпсвнтель Й ° получим следущее урежение для кссрдвнвтпф $ р+ — р-о.
У -139 Это урпнение определяет гарюначеские колебания Я =А Дл (Я1+ср), А =гоыу, Аое~и1, Постоянные А и о, вычисленные яо начальню уоловвам (25.7),выонг значения А кф/~, Ао, тах что уравнения кожбаивй окончательно буКУт вмЕть Вид 0= к/~-фсв ~фр г . (25,12) Фо)зеулы (25.8), (25.10) и (25.12) нолностьв онредаляам двинские юятнвка. Заметим, что нрн начальных условиях общего вида дввиеыие маятника в плоскости я= о можно описать как двикение вдоль вытя.- нутого эвпшса, плоскость которого в)вщается во часовой отрелке со скороотьв й,мяу. Реакция нити, определяемая выражением 1 дг' У,(г~= дŠ— — г .с й., д~~ в силу Формул (25.4), будет равна г7= лгл Ще, +~~~ .
ы силу условй р~~,~ у, серной составлямлей юзйо пренебречь. Подставка в оставпееся выражение мноивтель связи по йормуле (25.11) окончательно получим Я' — ток' = -ф. (25,13) Такие образом, при малых колебаниях маятника реакции ннтв чиолевно равна веоу и направлена против веса. ДИНАМИКА СИСТЕМН ТОЧЕК Механическая теория-дзвемвка системы точек эюпвает в ыелеююе центральное меото. Все другие теории полученная аэ нее прм допсннитеньвых, предпожаеввях о характере овн вщюмодействия ыеаду отделщпаа точнее системы. В этой теорни ресаютрквается двавевзе танах систем точек, пояснение которвх мозно определить конечным числом параметров. Главной ээдечей динамики сиотем язляетоя иэученне методов состевлвюв и асоледозююя уреэиензй дввкенвя механических окотем, а тюае иэучевзе обиах свойств дзвкеывя.
Глава 4, УРАВНЕНИИ ДНЯИНН И ОН1ИЕ ТЮРЗМ1 ДИНАМИКИ СЖПМ В втой главе будут получены уравнения, описывекмае дщоэензе сиотены точек, и сйормулкровены уолонвя, прн которых суиествует едзнственное ранение этих уренневзй. Для полного решения мехэввческой эеднчи необходзмо провзтегрировэть урезвение давленая в найти коордвнетн всех точен как фувкцав времеви. В болюмистье случаев это стяэено со энвчвтельвымн внтенвтическюю трудностюп.
Однако нередко требуется внять только некоторые величивн, хнректернэущае дэвненве системы в целом. Для этю~ целей ыозао ве интегрировать эсс систему урэзвевай, а кейта только векоторве ее внтегрвны. Последнее часто моает быть доотатиуто применением обавх теорем данепннн, являющихся правы следствием ураэненай двиаения. й 26. Уревыения дююенвя светав точек 1 . Система точек вае ° некие окчн Исхэннческой системой веюцмэм такое ю~аеотво интервальных то- 141 чек, в котором дввленне халдой точки зависит от полонения и дцщкепня остачыпщ точек, Такам образом, механическая свстема - это совокупность взанмодействуцщнх точек.
Кцэсскческвм примером мехавичеокой системы является Солнечная снстема, в которой Солнце н планеты россматриваются как матерэальные точки. Горсть песчинок, псдброиенных в воздух, системы не образуют, ибо песчинки практическв не взаимодействуют друг с другом. Систему называют нензменяемЖ, если расстояния мецщу точкщен сохраняются прн дзвиенни. Такой системой будут, например, дзе точки, соацвненные невеоомвм нерастякщазц стеркнем.
Рассмотрю некоторую механическую систему. Сяцы, действухщие на се точки, мозно подрэзделнть на внутренние и внешние. Внутрщцнащ называют силн взаимодействия меиду точкамн данной системы, зти свлы будем снабкать индексом с . Так, внутренызя сака, действуцщая нэ с -ю точку со сторонм ~и -й точкн.обоэначаетоя через Рт„'„. Разнодействушцэя ке всех внутреннах свл, действупцнх на м -ю точ:- ку Р', будет раина У,'-ЕФ" .
Вншшпшщ называют силы взавыом У' действия мевду точкамн системы в внешнвмн, не включениями в систеыу, теламн; эти силы будем онабкать индексом е . Например, равно,цействушцая всех внешних сил, прнлокекннх к ы -ой точке, обозвачаетоя через Р'„~ . Внутренние а кнщпние силы могут быть кэк активками, так н пассавнщци. Разбиение сил ва внутренние и внешние эаввсвт от набора механической системы. Одна и та ве сила, будучи внутренней для одной сиотемы точек, монет бмть внешней для другой. 20, е авнения викения сшстщац Пусть рассматркзается систем, состоящая иа я материцщыыщ точек. Возьмем ы -ю точку системы с массой т„, полевение которой определяетоя радиусом-векторсм т; . В общем случае ва эту точку действуцш внешние а внутренние сшцн.
Обоаначвы чэрез Я„' равнсдействущцую всех этвх сил Лч -Рче+гчт . Будем считать, что оилы л„онределены как шувидвй времена нолакмнй и окороотей точек Р„" - Р(гД,,т,4...,$1тогда для кадкой точна снравщцлишз устаноюленное в предццущем раздаке урашзевве Урвжеввя (26.1) представапм собой сиотему и двФреренпкельннх урвжевий дввиеивя мехеначесной снстею в векторной фор~е. В проекциях ве оси декартовой писчею ноорцават л„яя я, зги у)вннения дадут лп лачярннх дирреренцнвльннх уравнений днниення: тх' Р И,х~, тн .я~ х") ~и 4, „,я; ы 4М (26,2) Уравнензя (26.2) определявт ютемвтнчеокун ведать "система мнтреаяьнмх точек" Зо.
П мв ею е ча о и сок оно е Будам считать, что приланеннне к оиатеме сиен Р'" навестим и яваммоя непрернжюа щувкцвви врюевв ввепрернжо дмрреренцируемм по коорцкватам .г" и скороаьщ .х" ( н =1 „.„я ). Кроме того, будем считать аалввзюа вачвльвме уоложя двинская Е-О, .Х"«Х' Х =.2' 9 4,.чв; Ы"4ДЯ). (26.3) ° 4 С~ .С" С Тоща урезанию джкевня (26.2) иоамо представать в нже нормвльяой система 6 я уражевнй: мя -н с(я у " т с.1 .е ° н '"= — Г (г' я я" м я ) Щ...,цы-яду) ° с(т жн и Ф у прение чаота которвх вепрернзвн по времеви т а вепрернзво дмруеренпдруаа по перемжкнм х" и ~Х, По теорею 4 суиествует екннотвеввое ревнива састеаи .х"=х"(т) т" т" ~й) (н 4.„,л; с БдуА (2Б 4) удожетвормзцее вачвльзю уолозва (2Б.З).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
