Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Зтот ке результат следует в вз аналитического вырекенвя Рассмотрим естеотвевнне квнематкческве уравнения (4.16) ~к~ хг . гт — = поз(г — л = уы (~ <ту тл Вычислив тх, кв уравяеявй цакловдм (19.1) я выразив его из ураввеввй (19.3), будем иметь ах =лКсоз Ч~с!~ = чКгоРуыу гощу.
Отскцз, имея в веду, что г=о прн у=о к что Ф= —, слакуют естественные ураженвя цкнлоздм в параметрячемй форме .1=Ф,ЕАму, г=' — . у (19.3) «лссиу Компоненты скан тякеота в естественных осях вмеют значенвя р~=Ре~~ф 4 - ~~ Т, Р~=Рсог(ч Й=- ~го Т, Р = о. l Обратвмся теперь к естественным двваааческвм уравяеяаще (19.22) ° В рассматрвваемом олучае ова вмете ищ с тр=-ту3<м~~,(М, ~я — =-гчойисг~л~ о=.4/ (19.4) е.еж~(г -108 2 .
Оп еленке везения по о е Лля уствновлеявя уревяенкя дзвкеяяя точки по цэкловде достаточно, кзк это видно кэ первого соотновеюи (19.3), вэйтя зависимость от времени эйэерова угла. Получим для него дврреренциальное уравненке. Пвфреревцярсзенвем по времеви равенства ю=ФЯз м находам 3= 4К9ст9, 5 ЭРЛУсоюУ-флам). (19,51 Иэ уразяеявй (19.4! следует, что яо(маэьяея резкцкя цвкловдн нзврзвяева вдоль главкой вореав в ее эвачекве )мвво ЯГ=ЛГ гпф~эЯф )Гю~, Цlх УЛ (19.6) Первое из урзвнеявй (19.4) после вскэвчеввя ворэальяой реекцвв и переменкой У о помощьа формул П9.5) я (19.6) првводкт к слеяузцему 11ювяеввв для угои ~ 3 ~гог~-~ (Аьу~1гощ)+ —,Мяу-Ягодку) о. (19,7) л Введем мэесто коэффациевта треюю Г твк вааюимяя( угол трения,ц, согласно равенству Л- (у,и, и перейдем от перемеввой м к перемевкой У по формуле у-,и, (19,8) Топка легко вздеть, что уреввевве (19.7) преобрэзуетоя в следуцэее урввявние для ю Весу~ярк)-ы — т — — =О.
гл Х Гэром е 3' ал Поделвв вв гя(л, это уревяеяве мояяо эще предстеввть тэк: а(аЮ-Ы.Ь а)-В РЫ )ЛЯЯ+тсбма1~ я-,-„~й = О. л .ЙФ В лк пе умя лять обе честя уревяеякя яв г ", то его окпз естся возмокввм предстаэять в ввде 4 .б„я + ~ Е .де В=С. -Рд -гя <7Р ( Фипсу(с (19.9) Таким обрезом, получено лввейяое двфферевцввльвое урввяеяве второго порядка с постоявюав коэффяцяектемя отвооктельво фувкцйв а Аяа . Известно, что его общим ревеввем будет ввреяевве -гв У / и м в=Астмы ), = — Я„ (19г10) где л в т - прсвзвольюю поотсяввие. )(ля вычпояаюя посто- янных составам выреяение для производной В . -гв ВВ (1сыВ-ЛйыВ) -бА йю Ф+т).
(19.11) В начальный момент времени фующия В а ее произвоняая В имеют, в салу (19.2) и (19.8), значюпю .У. Г=В В=В В-о В-((-,и, .В В.- —. а ФЯ С учетом этих условий равенстве (19.10) и (19.11) достеаамм для А ы т два уравнения -ХВ, АЫВ, =АЖУт, 0=-6'ЯАл7, откуда эти величины определяимся в ваде -.~В. т-с, А-Е Япв,, (19.12) Таким образом, закон иэменеыия со временем угла 8 в оконча- тельной йюрме выест звд лв -М Е АеВ =е,йыВ Вшет. (19.13) Из этого уравнения следует, что по истеченаи времени Т- — = Ягсэсс~— ю /л ЛВ ~У (19 14) от аачвла двюхения, точка прахах в полоаевие В О, причем прюэ- водная В будет вметь, согласно (19.11) в этот момент значение АВ .
Промеауток времена Т, а такие то поююение точна ва цак- ловде, для которого В-О ° не зююсат от начального пол<ааааа точки. Это свойство яазивеат свойотжм таутохроввоста двыаенвя в отношении полоаеввя В- о точка цикловды, оцределяююя условием в-В ( у;а ) явзяет- ся границей мны возмоывого равяовесия точки (в предполоаевыи ра- венства коэффвциевтов статаческого и дююмического трения). дей- ствительно, длн нее в случае покоя ворваьная ревкцик, оогласао (19.6), равна Л~=гпсса(,и; следовательвп, модуль сюю трезва бтдет Д=Кт~сюм .
Скатымшцаа ае сила Рл по ысдтлй ююет значение Г= 1Р~!- уйцп . Твк юю (=(~~и, Ф-Р, что и л доказывает высказанное утверэденаэ. 3, нве по г о е Будем теперь считать, что цакловда гладюю. Тогда л о,р-о„ В=у, а уравнение двваевия (19.13) принимает юЮ -110- Пуи двакенвв по аерохозатой цкзлоцде авральная реекпая определяется зыреапием (19.6). Полагая ч вем ~=атя, ф=д получим знреаевае для ЛГ в еююсююота от д з виде г(= тф~+ бКЙ ) дог~дт,и), -1П- (19,16) ,Йа)~=Яву СЧФЕТ, б' Д~ (19.15) Умнозив обе части етого равенства на Н а зыея в ющу, что согласно (19.3)> уйди~ у, будем иметь ~-~ "~4Г~ (19.16) Это равенство представляет собою естественное уравнение дззяенвя точка по цикловде.
Отснца следует, что дзакение точка по гладкой цюскозде под дейотзнем свхм тязеств, окаэююется, язляетоя ге)моническим кскебвнием с юалитудой .х а пераодоы у'-(его~~~ . (19,17) Тяквхув тсчку в етом случае невнвввт циклоздалыпю нюммзисм. Поскольку период колебаний яе везиовт от юяьчитудн коибений, то лебые коаебенвя цакловделького мевткзке, в откачке от к)г(хчвого метюютвческого мюггвюю,будут кзохроннюю. Сююко теюачеокае трудноота реелваащю цккчоцкельвого мвятяюа привели к тому, что етот мюювзк не получил вареного 1вспрсстреневвя.
Ие урввне>юя дююения(19.16) следует те~во, что двмцювяоя точка достктает верюнн О цяклозды по истечении времеви я~./„от начала двааення. Еек вм(зм, етот промемугок времени яе йевясит Ьт начального полокевкя тоща. Следовательно, двинские маятника обмщеет свойством таутохронноота.
Лругюю словаки, если поместить веоколько теневых точек в равличвнх точзах Мм„., М цюсзовды и поезолать зм звать сцвозрююююе дзн:- зевве бее канальных скоростей, то аое ови вотретятоя з зерюве цнказщв в один и тот ве момент. дюоиящв обладает и другюю зювчателюпма озойотземн. С помовьв зарвацвоккого ясчволевзк ююяо, непризер, доказать, что ае воех кривых, соядвюмщкх две точка н респолскевющ в зертаеалг ной плоскости, дююекае таковой точка вдоль циклоккы сове)мается в крнтчвйнее в ранк. Сила трения, как известно, по своей величине равна Ы=ГЛ'=Лютфи . Следонательно, полная реакция шероховатой цвклонды имеет значение Я=Л(Р/~ ~~~ = т ф+ФКВт) ~ ~ (19.19) го)ш где а определяется в завкснмоотк от времени форм)мой (19.13).
При движении по гладной цвкловде реакция будет но(маланей к циилонде к численно 1швна м. У,м е... р т.'.," е. <и.иа) богу В частном случае, когда тяжелая точка опускается без начальной скорости кз точки возврата цккхонды, имеем м Ф, к реакцка го пРкнщиает значение ЛУ=УРС~~(т . Ранее было Установлено, что Р~=-Рбоху . Из сравнения последних двух равенств устанавливаем илтересное свойство: Л~=-,рр„", т.е.
реакция равна по модулю, а по направлению протквополсжйз удвоенной но(шальной составлащхей веса. 5 20. Равновесие точхн Рассмотрим равновесие свободной и несвободной точек и выясним ;славна, прк которых оно реализуется. 1о. Равновесие свобо ной точки Частным вдхсм движения материальной точки является ее равновесие.
Говорят, что точка находится в равновесии относительно некоторой ынерцнальной системы отсчета, если ее положенке относктельно етой системы не изменяется со временем ылы, что то же, если скорость двнкенкя относительно системы толдественно равна нулю. Условия, прк которых аыеет место равновесие точки, выражаются следузщей теоремой. ттщо(щмв 24. пля равновесия первоначально покоамзейся свооодной точки необходвмо к достаточно равенство нулю равнодействутщей всех пркложенных к ней скл. Необходизссть. Пусть точка пококтся, т.е.
о. ~). Тогда ее ускоренве будет нулещщ а= о.=с , а нз основного двнамяческого закона будет сладовать равенство нулю равнодействующей силы Р'= та =щ достаточность. Пусть точка первоначально покоилась, в пусть равнодействуюпая свл равна нулю к, Г=о . Тогда дшфреренцыальное -112- ураваенне дввкеявя тй. Г првяювет ввд Р о . Отскде следует первый ннтег)мл У 3-о и( . Поокольку о-У. о, окорооть двпкевзя будет тоздественно раааа нуля й-о, к тесРемв тем савин доказана.
Ввметвм, что сола Г' о, а фас, то У сооМ, т.е. точка не бщет покоатьоя, а будет соверкать ннерщконвое дьвкеяке. Итак, для позолщейся точки урезяенве двкаевня а Г правамеет спепвальвуя йс1юу. Р-о (20,1) к нееивеется уравнением ражовескя. В какой либо ортогональной окстеме кооркзнат у,,сл, с. сто векторное уравяевае мозно евмевпть тремя скаля)ннмк уревненвямк, внраяамзвю равенотво нуля йаевческпх ксююневтов саля.
Р; =о ( с =1,2,3); (20,2) кх ваенватн уравневаянп равковеовя в обобщевввх коорппввтвх. Пусть сван, обеопечавююпе )щввовесве точка, еввасят от коордвнат точкп Р„'(д) ( с 1,2,3) в удовлетворяхп уолоззв Ы ай Жео. Тогда уреввевия (20.2) мозно раврвипть отнооательно кйо))авйат ь, о у . Тююм обуваем, уравяевая ревяовесаа ~МФ 9 'й поеволявт по еедеюпи свин ваходать полокаюе равновесна точка. Рассмотркн спмпюкьвнй случай реввовеовк прв действия потевцвекьвой стлн.
Свау уч нвзнвввт потевцввльвой, еслв ова язеяется гредаентом некоторой йункцвв У тУ . Овну Функция У пра етом ваенвевт свловнм потевцвама ккв аюювой йувкцвей. Пуоть покоатоя точна пуа действия ва нее потеадвальвой уняв. Тогда, сот ласво (20.2), будут вююлнепв соотноневан У"=- Ж-о кек — еп («1,2,3). Но эта равенства внреввим усвоена екстред(/ муле пункция и .
Олексяатезью, в полоаензях ражовеоая тома потевпаал свю достатков екстрезума. 2с. окесае о ))ййсйой)ц(щ Найдем полонения равновесна точкп, првтягнеаююй вепскззвкюю центрвмп о сплава, пропоуцаоввльююп раостомиам а ааосвм певцов. Пуо Ь Р„( =1„° .) - Нацедя Ю Н .Р= ПтНУР .„ж"т мйссу г а прктягавает говну Р о сююй Ф„~ ~,3Я, где Г=босГ(~о . Обоввачаа редвуск-вектора точек Р а Р, череп Т а Т, будем знать р7' т-т., я; -бе„(т„-т), а раввцаейстяуммю -113- сил пситявения будет Равна Я=~Ет„,(т,-т). Полонин гя=Ем„и х = — х. т 7„. Тогда равнодействушхуш сил молно предстайть так: Р=~т(г, — т). Рассмотрим точку С, опредехяабпо радиусом-мятором Х, .
Полученные йормулы показывают, что раннодвйствушхуы сип притякения асано получить, волк нсш састему притяглвашхах цзнтров заменить едвнотвзнным центром С, полагая его юссу равной с . Равнодействущая при зтоы направлена по РС и ее значения равно/люды. Уравнение рзжовзсия требует, чтобы У= о; зто будят при 7= х . Таким образом, притягиваемая точка Р будет покоиться только тогда, когда она совпакает с центром С и имеет вулевуш начальнув скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
