Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Нереальная реакцвя направлена по нормали к поверх- ности, ее величава определяетоя, ооглаоно (13.8); тангенцаахьнан ке рееиция левкт в касательной плоскости н поверхности связи, и ее величина ыоает бить проиэволъвой. ту Воли воспольвоваться выреаенаем для орта нормали и =,—, то для во)ювьчъпой реакции моано поаучать представаевве У= А ту', А= — — -~ — — (13.1О) хце коырйхцвеат пропп)э(пепельности А, вообые говоря, переменный, называют мноавтеием оапек.
Введение ввоаптеля связы позволяет эа- менить три неизвестные велачавн Л~, Л/л, р~ одной веаэвеот- ной величиной Л для устеновхепвя вида тэнгеппкельпой реакцак требуется привлечь дополнительные сообрааеаия. На основе экспе(ыыентального научения двняеяэч теле по поверхности бахо уотановхено, что тапгенциальнвя реакция пропорциональна модулю но)манькой реенцпа в ааправлеха протэв дгзяеняя.
/Р.тх ~из~/ д=,~~ ж, ц /т// (13,11) где ф - скорость давления точна относвтельно поверхнооти; при рсвновеонн ке точки на поверхности тавганцвальвея реакция направ- дена протвы воэыоаного дююенан точка под действкеы прняоаендых снл, в ее модуль привююет одно аз значений из антерзала осаяф//. Этк утэеракенвн нззывзхш законаыа трения Кулона соответственно ддя дзввенвк к рвцзовесвя. Ревкпвш а яззызавт танке сякой греем, в коэ4фнциент г (к,) - коэфюп(кентон трения.
этот ковфрадвент зависит от матервиов, аз которых азготозлеыы двкзуыееоя тело а поверхность тела, по котороыу происходит джаенае( его значение определяется экспериментально. Текам образом, установлено, что полная реенцня сааза опредезяется, согласно (13.9) - (13.П), зырааенкеы /Р = Л г/ -Х /л с// — * . (13 12) сз В общем случае пры /зо поверхность называют шероховатой адк позе)иноотьв с трением; ее реакция заест но)юахьнуш и тзнгею(вакьвуш соствзлющие а определяется форыулой (13.12) В честном скучав пра г=с поверхность называют идеальной впк гладкой поверхностьв; при этом у реакция будет только но)мальнэя составлязщан, которая будет равна Я=Л г/ Резкцва связей по прароде своей несколько отличаются от всех другах действуищвх на точку сах, не являцзнхся реакцкзми, которые првнято называть ектазныыа сазана.
Это отличив заключается в тоы, ато ревкцвя связы не жоане опредепяетон оеыой омзьш; она завысит тяже от другах действущвх свл в от двккення точка. Пра отоугстваа зктижых сад а двккеавя реакции эообце не возннквшт. Кроше тото, вктаюве окан, действуя на покояцувся точку, ыогут сообшвть эй опредазенное дзваенае (отсжз а названые "ектвщпю"); реаююа ае эгж свойствен не обаздзшт, поэтоыу вх еце называют пассвщпаы садаыв.
Реакция связи наперед ве известна а подлеаат определенна. Итак, пра двакенаа точка по поверхноста основою жконси дювыюю будет пса= Г'~л г/-Х/л/ /г// (13.1Я) т.е. он кмеет внешне тот ае жд; что к закон дзааеная свободной точки. ~ла=Рч, еслк к яктвжж сылвы прасоедвнать к реакцвш связы. Этот резуджзт ыоапо трактовать такам обрззоы, что несвобсдкув точку ыоано рассыатравать как свсбоднув, ескк отбросить связь к земенвть ее действае сапой - рееяцкей овяэа. Последнее утве)яде- вие взвывают првицжсм освзбоидаемооти ожив. В жкаачеиве звметим, что урвжевве (13.7) пригодно и дж опиовнвя двжеявй опаоивж материальных сред (газов, кнпкостей, упругвх тел и т.п.), если его применять к частице среды единичной ыаосн и опецвзльввм обрезом опредсвтть реакцию со оторовн соседних чвствц-овязей.
$14. дыр(мревцвааьвие урезвеввя двикеввя точки по неподввиной пожртнооти уотановим щк дифференциальных уркэвеввй дввкения точки по неподввиной поверхности в кровицких нз оси различных кооркинатвых систем и обсудим воцроо о рмзекии основной задачи дннзызки в этом дивизии н. 1о ека овнх коо иввтзх Пусть точка двинется по неподввяной поверхнооти у(т) =о относительно декартовой системы кооривват х„лл, л . В атом случае счорост" дзняенвя по поверхности будет абсслзнной скоростью ««.
««Р, и вехторное уравнение двикенкя (13.14) примет вид ~.« ° «-««и,р « -«с .«««Г. аа«> Проектируя это векторное равенство нз координатные оси, полувм следуацке три спели)мие уравненвя двикенля по позерзноств: тя„=й'Ллх -а(Л) (дую ( «4Л,З), др' (14.2) называемые урввненкив Лзгранка со ыноивтелями. Присоедввив к этим уравнениям уравнение связи т'(х«ля лз)="~ П4.3) получаеы систему четырех урозяенвй Лля четырех функций х. С~) и .ь'() . Эта снотемз яоэволяет реветь оспоьную ззхзчу диннывки, Действительно, пусть заданы масон т, коэффициент тренияА компоненты силн Я,, как яепрерызно дифференцируеыые функцвк переменных у, .х, .2, в начклжыз условвя л' (о)«х'„, х (а)-л„, ( ~ =-.~,2,3), согласованные с уравнением связи (14.3) в огреннченяем ва скорость И3.2).
Дроме того, будем считзть, что функция фул«т) тризды непрерывно двф$еревцируемз. Тогда урежевие сжзи Позволяет определить мвокнтель связи в инде непрерывно дифферев цируемой функции аргументов 1, л, х -84- Р. д/~тЖ ЛР,ж,ж)=— лу/л С пановым этого вырзжения уравненвя (14.2) можяо представить в идде следухщей нормальной свстеын уравненвй для шести функций л„' в х (ы =1,2,3)3 ,~ = — Я .у — -.(ар1гЯ вЂ” ) Я'= '„~ =дду), правие части которых вепре)авно дифференцируемн по 1, л и .т' По теореме 4 задача Коши для этой сисгши имеет единственное решение. По известному же движению определяется Л, а, следовательно, ш реакция Таким образом, основная зацача динамики несвободной точки имеет ту особенность, что для ее решения, нарзду с движением точка, требуется определять такие реакцию связи.
2о. У внекич в о огональных к иволинейных ш.ам.ж При движения точки по неподвюзной поверхности р~,'тд с весьма удобен для рассмотрения случай, когда эта поверхность является нооркинетной поверхностью некоторой ортогональной криволинейной систеиы координат о, о у . Пусть этот случай пышет место, и пусть поверхность ,гЛ) =о в этой системе представляется уравнением та Ш -б,=О, с', -.
лхг, (14.4) Представим вектор Гу в базисе ортсг.нельной системы. Согласно определению этого вектора, имеем ".; ., — -= . По геодф ~ ду дт метрическому смыслу градиента функции '-'У. )злу'. /е„' . Перехода, ДЕЛЕЕ. К МОДУЛЭЛ С РЗВЕНСтзэ тт' ." К, -.1, ПСЛУЧаЕМ,'-:-.з-/-.1„, где Я, - коэвупцлент йщэе. таким оорззом, окончательно получаем ~ =Е.'/~') Е,, ('11-) =- — ' =,дур (14.я Векторное уравнение двкксния точки по поверхности И4.1) в проекциях на оси ортогональной координатной системы букет эквивалентиб сзедухщнм трем уравнзнвям: тЯ, о -л- ~„(',У "~ Ц~ /=~~ 11)1.1„Г) лс= хд6 ю т которых ыодуль скорости определяется через оооошшцае скорости вырааенаем гга=~ йзфз, В овну уравнения смен (14.4), имеем условия: б-о, б' у'=о — = — =о — =У !ч~! — л=л~' е = — е, д/ сМ д~ з з ° з'з= )ыу-=бу= ~,у~ ' 4 ) ="у з 4 с учетом которзх уражедия (14.6) мокко представать в следувщеы подробном заде: т (х где « - Я, у~ г Я, ухх .
уравнения Ь4.6) называют ди4Фереююзльныыа уравненввю двккенкя точка по поверхности в ортогонакьыых кооркккатех. Основная ющача дкнзмикы решается с поыозьш зтзх уражений следушзны образом, Пусть заданы ыасса точки, коэффициент трения, физические коыпоыенты ективной сыды, нвшюшыеоя непрерюво дафференцкруеыюе фуыкцзяыв своих аогуыентов, к начальные условия, согласованные со сжзьв. ж,Р, Г Г Гй~,)),), Я,Уо) ~,, <) Го)"Я ась(14.7) Тогда поояеднж уражеваеы (14,6) опредатяется норалжвя реющая свяак в юще д~~ Г('~Ф г т (й~у т бу уз ( (14,6) Лм первых уревнюпгя (14,6) с учетом атой зежсювоти могут бать представнены в юще саедухщей норыазькой састеыы четырех уражекий дхя фузкцай у„, ц ( 1,2): 9~ =~'~~, ~~Ц -"Ф ~Ц~,~,ф„у ) МЮ,(14,9) ~ =и-Ж-'"~ ( — М-т. КЬ ~.
~-- ~ — ь|~- й~-сл) В силУ Условий на силы, фрнкцж Ф, Фя непРеРыжо ДиффеРенцвруеин по с, с„, с ( с=1,2); условия теоремы 4 выполнены, поэтому задача Коша (14.Ь~, (14.7) имеет единственное решение. Найдя двикение точки с„= д Ю ( с =1,2), по фо)муле (14.8) определяем нормельнуш реакцйю связи, а по ней — силу трения. В частности, если поверхность гладкая, система (14.6) раопедаетоя на две повсвстеааэ первые дж уреженвя слуяат для нахокдевж ,двввения точка, а последнее - для определения реакции связи.
э 15. Лвивецие тякелой точки по шероховатой наклонной пхоскоств Определение движения точки по поверхности с трением я реакции связв проиллюстрвруем на примере двияенвя по наклонной плоскости. Итак, пусть тяаелая точка массы пг. двивется по шероховатой наклонной плоскоотв, составляшэей с горизонтом угол с , из заданного начального состояния. Степень шероховатости плоскости харавтерязуется коэффициентом трения 1 Будем решать задачу в декартовой системе кооряанат .г ,у ,л, которую выберем следуэщвм образом: наклоннуш плоскость возьмем за плоскость гу , направив ось л по горизонтаяи, а ось у — по линки наибольшего ската вниз; ось и проведем перпенквкулярно к плоскости так, чтобы получалась правая система (рис.15).
В этих координатах уравнение накэонной плоскоств будет уэ я=о, (15,1) коияоненты ве актижой силн и параметры, определямэие начальное состояние точки, ямеют значения. я О я =.чужд ~ ~~ =-ы~соы ' Чьрд уют=)( лМ=с~~ /эра~ (15 2) Ллн резания задачи воспользуемся Ураиненнями (14.2). В силу ы,( д~ дх 3 ' 2Я =Π— =1, ~~0=1, У поатому зтв ураввення прннвмашт ввд ньк -Ия/— лу лу Жы-.б/// я- (15 2) «й=-мусе/м+,/-Х/Л/ — ~ Ф Рвс.15 .~от,'/СХГ. И Зр 5 что я -и=о, поэтому последнее вз уравнений (15.2) определяет мяоиитепь связи в ваде я= пу~.) ~ . (15,3) подстановка этого внрэкения в первне два уравнения (15.2) позволяет представить их слекувцим образом: .Х -Хуану (— .т и 1!словим Фл»-/с мы~ .
О=убащ-е), иу усохну. О5 7) Теперь легко видеть, что почяевноэ деление этих равенств позволяет получить двфреревпвакьпое уравненне для годогрв4н скорости '/ (фу- б./ес(//ст(/, -55- ~пи а /', Г~ео.ы =з/; з Ес/~ы, (15 4) тогда уравнения двняения мокко записать в более конпэктной форме 1:=- /Е ~=У//- й). (15Л) Введем в плоскости годограТа скорости полярнне координатм и, ч: .х сж.су, ч'= и.в~(/. (15.6) Тогда компоненты ускорения выраантся через зти коор(вкати фореула- мв л'=осою~-ифанщ, о' ~.
щ+м~ещм, и уравяения 115.5) прзмут ввд Рге/у-~9%ну' = -/чга/4~, и.пну+ауге/~/ у//-адэм), Определив отахиа производные к и ~у, будем инеть внтегрироваввем которого получаем уравнение самого годограйв скорости в вкце го'T» — л) и = лг -~ — — г = юпМ . (15.8) соя~ Введем вместо угла (~ вазвчвку о, согласно равенству (УГ «) (15.9) тогда нетрудно убедвться в том, что вмешт место соотношения йище' = — ~Н Алу= — -~- ау=- — — ~..
(15 10) л В зависимости от з скорость точки опревелвтся внрзкеннем. (15.11) Второе вз уравневнй (15.?) позволяет теперь устзновзть двфреренпвальвуш заввсвмость метну велвчзнамв 5 в у в заде м= "'~ = 7' интегрированием которой устанавлкзаем заваовмооть времеви от о з гу~т с~Х .,1 ) „грзфч (15.12) 1.„) з" Через параметр и оказнваетоя возмоаннм внразвть в координата точки.
Действительно, в овзу вввеполученннх йо(в~ух, имеем: с~х = о-поумней = — — о Р~у)с~у, Ф-л сф -д-.вас сй'=- — с (~~~) уу. л~з т / Отошда после внтегрнроваввя находлм ввшеупомявутие заввсзмоотв в ваде У (ж-1 ' Лач) ' г У"' У ~хая ЛМЛ,/' где х, и, - провзвольвме воотоянннз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
