Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Постоявнне внтегрвроваввя г, Р,, х, в у, опредазямтоя вачальнвмн условвямв (15,2). Действительно, нйчазьное значенве параметра находам вз (15.9) в яачаньвнх уоловвй (15.2) в ваде у %~ау-'Цд~), т еазом ~~а' Но тогда равенства (15.П) — (15.13) дашт для постоянных антегркроваввя следухщве значения: ~ И„~й~ -~ ж) ( с~'Д~,. Ь ), зь..г мы з ~-л лп л (15.14) В рассматрпзаеюм движения нормальная, тангенцзальная п полная реакцпп вмешт соответственно значенвя Лйl/лу/=Репья„Я=Б~/,=1Рсаы, Я~lя~+М РЯш~~м" Иоследуем особенноотн найденного двнкенпя.
Презде воего заметам, что параметр е- можно выразить через скатнвашзуш силу Р=РА ~ а силу трения й4ИРСЬс с посредством зависимости щ=.(сГ~м= ~~Р . Рассмотрам различные случаи. Пусть параметр б удовлетворяет неравенству б'] у . это означает, что атР . тогда пз Формулы (15.11) мп(вм, что скорость к обращаетоя з нуль одновременно с с . происходит зпо, ооглаоно Формулы (15.12), в юмент г=г, когда, как ато мс(но вз Форыул (15.13), точка находится в положении Ру с коордпнатаын .т л, у-у .
Поскольку окатнваищая сала в етом случае не превосходит сйу тренка, то точка, дойдя до полопенкя РТ, п остановыызвсь, не сможет двинуться дальше, а останется в нем в покое. Иначе говоря, в момент с=1,, двппенне приостановится. если ф~е-с1, то прн у-о находмз г, у-, а л-ле ) слм(овательяо, дввкенне не прекращается, н траейторпя выест асвютоту, паралпапьзуш есв су . Наконец, прн условии с<$ движение провсходвт безостановочно, в траектория асзмптот не имеет. В частноы случае гладкой плоокостп, т.е. прв е=с, Фо(в~уды (15:12), (15.13) упропахшся п праавмашт впд —,=-'~~-~~, =-.= — "'~-'- ) ~-~ =7-~-'" ) Отсщда легко видеть, что траекторией точкк будет парабола.
у-у. = †„('.х-х.) + ф . л бя ф 16. Сферический маятник и виде примере на применение уравнеывй двикения точки по поверхности в ортогональннх координатах рассмотрим двикение точки по гладкой сфере под действием силы тявести. Такую точку называют сферическим меятникон . (о. у внеыия выкения маятнака Рис.16 уы т-в-с. (16.2) Из внракения квадрата элемента дуги линии в сферачеаких координатах х новас заключить, что козффйцаенты Ламе имеют значеввя Я,=т, Я =т.дым, 4,-1. я Фиаичеокве коипонентн сипи тякести равны: Г=РК.д„=-тд5~п~, Ц~=РХ е -о, Р =Рй е, тавоту Теперь легко видех'ь, что дифференциальные уравненая двивевия точки по поверхности (14,6) для сферического маятника будут иметь вкд (16 3) те(ф- ВлАыус'аху) = — ив~ Зиад~, гпр(В Ляг~+ ЯВТ(гсщ) = О, -теЯ"1 В~.рыб - ~" '~ +я~,.
(16.4) (16,5) -91- Пусть точка Р1 весом Р и двиается по поверхности гладкой сферы радиуса е под действием собственного веса. Вудем рассматривать дыкение в !г э л~ сферической системе коораинат ги т е)=м, У *В, с;т, Виа Вотог' рой изобранен на рис.16. Прахе м мем, что начальное состоянве точки определяется велкчввана г- О, м-е., д-д., пт=ыт . к=с (16,1) В сферических координатах уренкенае свизи - офврн имеет наиболее простой вни И6 10) йсла эевасанооть итус) уае определена, то отощав ве>па(ем с и>с (16.12) с у Уравнение И6.4) допусаает представленве —,,— >с>АлМ-.ои пооле интегрирования дает первей внтег)щл Во лу., (ХБ Б) Исключав с помощью этого интеграла д аэ уравнения (16.3) и умнсанв реэультвт нэ Му, будем иметь яру- ясл — с -.'~Мну».
( -с аая — флс —,, - -ф-счс)~)ее гтч' д гс> и и сГ .Ве4 Е Стсаие получаем еще сщин первей интегрвп — — — СМС~Е М Нпа у~Чиф~Е С -йСЧО)С)Л>й/-СС, М ССЧ>с !16.7) Л л>с г для снснчетельнсгс интегрирования урэвнмпи( двваенвя ввваем вмес- то су новое пораненное и, полагая и-с а>с~, си . сй' сй Уи'с — = -.А>сс/ —. (16.8) Тогда уравнение (1Б.7) п)аобрвэуется к веду ~ ~) =Г~4, ЕЫ-(И+ -Я-и)0-4-гл. (16.9) Если припать начеаыпсе перемет)ы танина> что с>ссд с е', стсо, то вэ внрваеная с6' ик будет следовать, что у,сс э слщ(ова- тельно, в салу (16.8), сй),>с . В соответствии о етю вечвлывы зна- чением аэ ураавмве> (16.9) находам и а'и „/ ии ссс с > — =~/ес ) откуда с = с -' Й~) где и, счссс6.
Поскодъку Г(и) является кубачеокам сыоточавасм, то ОтОВщай в правой чести интеграл будет эдаштаческы>. Тыны сб)щаом, эеваои- мссть ввиду и и с, в следовательно, и меаду (с и с монет бить внревева с по>е>щью соотаетотвумаей элааптвчесаой йувнпва, иа- энввемсй йувкцвей Вейерщтреоов. С помоаью переменной и уреввм>ае (16.6) >н>ысо представать слщ(умщэс обрезом: сЫ Сс Н7 7-'иу (16.11) Текам образом, уравнения двнкеняя сферического маятника найдены в квадратурах. Уравнение траектории маятника находвтсн исключенвем времена нз выраяеннй (16.10) н (1Б.12).
Макао, однако, получать уравнение траектория непосредственно, поделив почленно двф)аренпкалькые уравнения (16.11) и (16.2) с последухавм ннтегрярованиемц Ю-Ю = ")) . (16 12) ыв <~и <~ л)яТ4 ',) <н4~я) Для определенна постоянных интегрированна г в Я примем во внмаенке вырааенвя ймзаческнх коыпонеатов скорости и; =е( т л-гллув, п,-о, Тогда у е ~', е=ф.ь)4) ю,', в Дюрыулы (1Б.Б) и (16.7) даат е у ф Я= — с(Р' ~ и')- -'-гоЩ (16,14) 2с. чественное ксене сванка вкеная ыаятнвка илсмсы, ылв у сусуа.
(16.15) Таки~ обрывом, маятвкк будет дввгатьок по паве)авеста варювого покса, раополоаевного меаду парацлеляыа у а у . На семах параллелях Лп)=о, понтону и'=-уАпуеп в и„.-.еу*о оледовательно, траекторвя точки касается этвх параллелей. -93- Определенное представление о характере дввкенвя маятника мокко получать, не првбегая к вычасленвв соответотвумцвх кнтеграцов. Рассмотрим вырааенке (1619). Для веаественностн и необходимо, чтобы кубический полвном У7и) был неотрыдательаьцц.
Устаноюм его корни. Простое вычксленве показывает, что прн ик ге ий я'--)=+-, .ц)-с)=-гл г(.)во, р~=-с', Р~-)---. Отсюда ваяло, что у поленова Г<4 все корни и,, ил, и, действительны а располагавтоя в интервалах ~. и,<-/, -!спеси сы, /. Пооксцхлу и-сосу, то его велвчана по модулы не п)еюоходкт едюапв. Следовательно, корень и, Дмекческого смысла не кмеет. Для дейотвктельвого двинская долавы наполняться условия -д ~6 (и-ц)Ги-ил>(и-и„)- и го, -с<ис(. ° л Обоям етнм усюваям мокко удовяетворать, если првнять Из знрааения (1Б.П) вытекает, С что 8 имеет поотоянннй знак,за- висмзий от изака константнд .Это означает, что плоскость качаная маятнвка будет все время вращаться н > Ъ одном а тоы ке направлении. Расоютрим теперь случай, когда Рис.17 лз илов .
В атом случаеи, ил-и., и аароиой пояс, в котором движется маятаик, знрщккается в параллель И=у - е, . С4еричзокий маятник в этом случае называют круговнм коническим маятником. Ищ этом режиме поливом Гщ имеет кратний корень и.. Следовательно, долины зыполмлтьоя )мвеастна Г(и )=я> и ~ и >й-и) -ее-о, у"~и )-Ямуе 0-2)-уи ()> уеуеи)-о, Исключив отокща а, получаем, что Г в и. связаны ззвиоимостью е = — «-и.'т) .
и йи. Во постоянная С связана о и еще заввовмоатьв (16.11) С=В «-ил) . Н результате пр>ходим к выводу, что коничеокий иаятвик реаивзуетоя только з тоы случае, когда (й о, а другие начальные величавы е и и, овязавй ооотвоаенвем 'и ПБ.16) Накоаец, пра е =е вли щ о, е-с > прв этом е е,, т.е. точка будет двигаться по меридввву. Сйерачмсыий меятнвв в этом случае наэмзают кругов>из математкчесию мм(танком. Оообеввоста его днввеввя будут )мосмотревы вте. Для вехоадеаия рееицви сйеры воспользуемся урапневием (16.5) ~(/ =->и~~го~у+ецл*О~Г>лл>~у .
С п>и>сщьщ парных интегралов (~ 6.6) > (~ 6.7) выражению в крутлзх скобках праной чаем> можно лри,лть зид ,> щ , е, ф У д .й» и: >» -,— - >>+ е>и> е;ф ' е слздозатсл,.о, >:.лз -зи будет розна ,У~ 'оу)>) .'. иг Нормальная реакция гладкой сферы направлена вдоль радиуса сферы и определяется выражеяием Л7=~,е, . Отсщка следует, что мцкуль компонента Ю, дает модуль реакции, а его знак указывает на направление реакции нколь радиуса сферы. Иэ выражения (1О.17) вадим, что величине реакции зависит только от широты ы .
Следозательно, в различных точках какой-либо параллели реакции численно равны. Влвиие начаэьных денных на реакцию сказывается через параметр я . Что касается направления реакции, то при еЯ+.уугау~о она идет вдоль радиуса к центру сферы; при яя ~Зугм~ ч о — вдоль радиуса от центра, а при ГД~Л~Сау=о Оиа Обращается в нуль. Ясли во все время двикеняя реакция направлена к центру сферы, то вщятник мозно осуществить в энде шарика, пржзязанного с помощью гибкой нерастяжимой нити длиной .р к центру 0 . Ясли же реакция прн движеяии может быть направлена как к центру, так н от цен— трш, то нить заменяют нерастякзив стержнем той же длины, закрепленным в центре 0 с помощью сферического шарнира.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
