Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 10
Текст из файла (страница 10)
в электрыческах коятурах. Оиазывается, что эту аналогвю моано установить дауна различаыма опособаыи. 10 Пеювая анеллогиц( Рассмотрим электрическая контур, ооотолщай вз выдуидвв л омичгского сопротивления 2 а ковденоатора с емкостью б, соединенных вооледовательно (рис.8). Известно, что для этих алементов связи изиду напрякевием 11 (прадстаишыщвм собой разность мазду значениями потенцаала нз концах элемента) и вазам)нов тока у (оцределяемой как скорость азмененяя заряха у: Х,+ 1 будут соответственно зарезаться соотноиеннями и=.~ — , и=Як, и=д нП (10.1) Пусть в контуре инеетоя еще источник злектродвиаущей сали (сокращенно Э.д.С.) еИ) .
Соглаоно физическое|у закону, величина Э.Д.С. ранна сумме яапрмхений для отдельннх, последовательно соеднвенянх злементов цепи, т.е. .( — +Яс е — у(сИ еЮ. сух 1 ,й в/ Паодя з зто равенство вместо велачзнн токе варях, получим оледувщее диф)еренцизльное урзвнекие для с ~РР'' хт "('т сенс (10 2) Это уравнекае язляетоя аналогом уразненвя (9.1) дла мехаввчеокого прямолинейного двиаеная точки (в частности колебзнвя) под действием зосстанзвзизапхей, тормоаящей а возмущахщей скл: лс — э- ~,и —, ~ел, =~~Ю. (10.3) нри этом аарзду с отвечает координата 11, Э,Д.С. яЮ - зсвнущмщая сила в,а), а злектркческим параметрам .~, Я а С т соответствуют механические коаф(нциентн п, и.
с. Рис.8 2' моя Рассмотрим теперь другой вхектраческай контур, в котором ивдуктиипа элемент, омичеокое соаротивхенае и емкость соединены нараллехьно, кек зто указано ва рве.9. Из сооткошеняй П0.1) следует, что велачина тона в кеядом из злементоз оудет рвана 1 г и ануя , У= — "УЩ, с' = Д'-, 1=СЯ вЂ” (10.4) Е/ Согласно физическому закощ~, величина тока в цепи скзеднваеьчщ из токов, проходязах череэ пэреяяельяо соедвкенпые элеыеяты. Поэтому ( и аа Т иЫ+ — +С вЂ” = (Ю. —.l .Р Почлеяяым диффереяцаровавяем по времена этого соотяоаеввя получаем квйференциаяьяое уравнение для яапрякеввя Ыяи ! с~и 1 ыг С -7у т — — т —,и=,р- .
(10.5) Здесь имеет место другая аээлогвя с уревнеявем (10.3), в которой зоордвпате х, соответствует вапрякевве и , мехеввчесвзе хоэффацкевты т „а, с заменяются соответствевпо па величавы С ,2 ~, .с~, а зоэмувамхэй силе и, отвечает велжюю '~/д Таким образом, свстэми хеектромехэязческах акалогвй определяются схедумэей таблицей: Две эзектраческве састещ, ямещве одинаковые (с точностью до обоэвачевзй) урежевая (10.2) з (10Л), прядстазммм ссбб( две рээвые ааектрвческае мщелк одвого к того зе механического двввеввя. Освоввое достоинство электромехеваческой эяалогвз состоат в воэмсккостк првмевевкк методов расчета к аваляэа эяектраческвх колебательвых скстем прв рассмстреаии свойств мехевкческого дюээеввя.
Рассмотреввая юае авалогвя ве азэкется обособлевпым явяезвем. Супествузт авалогвв меЮ(у электрячеоквык процессама в двваевкем сяоювх мехаквческкх систем тачек. Метод электроыехэвкческой акаяргвв мозет быть распроотрэкев и ва упругие метервальныэ тела.Имеется, например, аяелогвя мезду прохольпымз колебэввямк упругих стерквей л распространением волк в дяввкых электрвчесэзх эздзях.
ф П. евае п ей ем сала тяготевзя. В качестве другого п~анера разевая обРатной эадачк двяаюпа рассыотриы двэкевзе точки под дейотвкем овлы тяготевкк. Это - ваквая задача небесяой ыехэпвкв. Рмэепке ее дает хартзау двккевзя яебесяо~о тела около прптягкэащего цент)з, в чаотвости, двякепае ксхусствеппого спутника; позволяет уставозать условвя, при которах реахиэуется та зэз юая фо)ма орбиты, уточввть трогай аакоы Кеплера и выяснить ряц других вопросов. щд~ ю~ Определим орбиту точки М мессы л, дмютиейся дод дейотввем силы тяготения рч к некоторому центру 8 вв эецвнисто начального состояния.
По отновеннв к внердвльяои системе ~тенете л,, л„.к, с началом в центре Я свлэ тяготеню внрвааетои ,/ле т Фо(юулой Р'-- —,„т, где И - рю(д)о-вектоэ точки, а квчальвое срстоявие опредапяетоэ яачвльюию редиуоом-вектором х и окороотьи Ф (рыс.10). Установим вначале, что прэ этих условвях орбите точки будет плоской линией. Воэююм ди$$ерен- А. пээльэое урэююнке дэыеккя Ы,сия 'чЯ = тт И (11,1) и уннаевм обе его чести векто1ао слезе на т, в реаультэте получю а'У Ф- х х —,)-= — -э. т л т = ю Отсхда следует первый вейторинй катет(юл уревиевия двэхеквя, неэывэемнй интегралом пловддей.
тл — = — (2лй) О, Ило с, с=асят(=т Щ. «~М М Вектор д перпевдввуляреи плоскости ы, определяемой векторюю 7, и 4 . Уюювив катет(юл сквпярво на И, уотэвввэвввем, что коорцикэты точен удовлетворяем урввнеиив плоокости з; Р К = ("тхй) ° И с илк с~~л, с т с" т =о. Следовательно, орбите точкк, дююуиейоя под действием силы тяготеэвя, является плоской лююей.
)(альнейвее равенне эвдачв удобно проиэводвть в полярных коорцинатах т, я, вибренвнх вэ плоскоотя я тэк, чтобы полно совпадал с центром 3 (рве.10). В этих коорцюютех коэшояентн силы и нэчвльвое состояние точки опрекелввтоя вээвчввемв. р'= — —, ) =о, при г=с, т=т в р~, с('=й'.Вы дйтЬ~(11,2) ,Н//~ где с является углом меацу перпендзкуляром к начальному рвдиусу-вектору и окоростьв. Иэ даЩеревциваъвых уравнений в полярник координвтэх Ус(7 " 7В ) = Г йВ.Д, В) =Г„ в силу условии (11.2), следуют равенства сторое нэ них определяет скалярный интеграл площадей 7 "В =В, В= гоп,е' (11.2) а первое, преобразованное с помощью этого интеграла, - 4ормулу ~< я,ул 1 1,ам л После деления обеих частей равенства на — я 4юрмула Бане приво дит к слспухщему дн44еренцвельному уравнению второго порядка для Фу ' (Ф,л, 1 и с7ВЛ 7 7 бл — — ь (11.4) Это уравнение имеет решение — = -у , для соответствушзего ему од- 1 и 7, С породного травненкя — — ~ — = о частнмин решенными будут ЫВЯГ э 17ВСЭВ И вЂ” = Апа .
Следовательно, общее решение дщвненвя (11.4) 1= имеет вид =ф Ж~В ' 3 Яаи В е. —,~ где В, и 3 - произвольные постоянные. Вводя другие постоянные л и с по 4ормулам (11.5) В Асб, е В = — Рсэб, В э,с (11.с) для определенна других постоянных получим вна юле специальное пра станление лля модуля скорости. Если выракенве квак)щта скоростк в -62- будем аметь ,— = Р Г~' ВВол'В~б)) злн 7 = В ,В, ) (11,6) Эта 4юрмула и представляет собой уравнение т(щекторяш точки.
Из зщта уранненва Ц1.6) заключаем, что траекторвей являетоя коввчео кое сечение, одын из щокусов которого совпадает с првтягнвамщвз центром. конкретный внд траектории заввсшт от значм7нн постоянных р н е , постоянная ке б характеризует располоченве орбиты относительно полярной оси. парезам проиэвольныр цостонвыне В, и н б через началу ные условия.
Иэ соотношения (11.3) ясно, что постоянная площадей определяется хырекением С'= 7. В. = г, Вэ' = э В Вас с, л .3 л'х полярных кооркныатзх и =1 + з й преобразовать с псмщкью нктегрзла площадей И1.3), то т =-б —, —,, »й- Ь, к ыы полу па нокомое ннрзкенве з виде "» "и — ', —,')'.Э'! И1,8) Применяя агу фс(мулу к начальному оостоянкю, определяеы начвкьное значение производной: »Ю т»»»т» (11 9) знак минус перед корнем соответствует тому, что знэкк и в и~', а, следонзтехьно, к Мз).
, д,~в). одннзкозы. Подставим теперь начальные денные в урзвневке орбиты (11 .6) к н уравнение, полученное кз него дн4$ереа(кронзнвем по углу, тогда будем иметь = — + — о,/(щ+Е), (ур- — ~ = — р- д я 4~; г ) н Ы у и Р Р т» заменяя здесь параметр р и прокззодную (»е»/, по формулам »1 )» И1»5) в (11.9), получаем систему двух уразнеюйю асам(В»б) = — -1 ЕДЫ(е.»Л)=„— »» ~Х.'~-К, (11,10) откуда и н б опп)мделяются фо)мулвмк ».а ~='""» " .
»=~ГФа'-™~ (»».»») В частности, б=о, если нечзльвые парзметрн связаны условием п~ц~ (11.12) бл-,ит. Из уравнения орбвты для этого олучня Р 1'лбе»я (11,13) видно, что прн я=о, т т,, т.е. понярыая ось пересекает орбвту з точке, блккзйней к прнтягввееюму центру к называемой пернпевз ром (п(ж дннвеннн вокруг Союпвз первцевтр наэнвеют пернгвпем, в прк днвкенвк вокруг Зева — перягеем).
Обращаясь к нырщкенню (11.11) для экоцеваувсвтета, квщв, что его значение зеннсвт от знаке ввзнчввы Я=я - »тз . устеноназ ее Фкзвческвй смысл. Умвокак векторное уреввенке днвкеввя (11.1) онв.- лярно нн й<0»Я» получнм ~~~~=-=т'~т вхк ~==- — "~ — '»1»" » я ~ я отсвце интегрированием нзходкн пермб( вятег)ал уЙ т) -ЗЗ- нсзынаемый интегралом энергии. Олаиозательно, и есть величина, пропорцяональная начальной энергия, и вид траектории зависит от знака начальной энергии: есла Я~с, т.е. с;~ —, то еч(, и ороита - эллипс; г Яс если с=о, т.е.
с~-фф, то е =!, и орбита - парабола; если Я>с, т.е. кл~Ф~э, то гэ ~, н оРбита - гнпеР)саа Чтобы точка могла неограниченно удаляться.от прятягивазщего цент- ра, ее начальная скорость должна быть не менэше параболической скорости. К =уф~ Выясним теперь условия, при которых реализуется кругоная орби- те. чтббн,точка двигалась по кругу г-т, лолжно быть е-о . Ра. венстзо (11.11) при этом условии, с учетом выражения (11.7), прэ~- водят к следуэщеку квадратному уравнению для ккадрата начальной скорости: "(с~а,сс- "- д х х стола „-л~мл- М КО(З(й урээнечлл нмвыт комплексные значения ь,"~= ф ('ут (Еу~ ), слеяогательно, дщсэекие по окрукности пря произвольном напразлениз начальной скорости неэозмокно.
Чтобы зто движение имело место, на до, чтобы гу.с-о, (-о, 9 , т.е. чтобы начальная скорость била орто. гональна начала(ому радиусу и, х т . неличина начальной скорооти прн движении по окружности имеет, таким образом, значение ~р-уй~~ , Заметим, что в этом случае полная скорость точки совпадает с трен ВероаЛЬНОй СКОрОСтЬЮ бэ и. ° ЭВ , И Иа ЭаКОНа Пдсидязй (11.3) вытекает, что двиаение делано оыть раэномернмз: к= /т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
