Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 11
Текст из файла (страница 11)
=сстгу. 2. Оп еленке вне вяления точки При известной орбите точки, т.е. известной эавксимости Г-тЖ, для нахоядения ураннений двизеэкя достаточно установить зависимость от времени полярного угла. С зтоб целью обратимся к интегра лу площадей (11 .3) г"о=с . Заменяя а, ем величину х ее аначением иэ уравнения траектории .11ДЗ), будем иметь Ф а~ Г~ ецио.св)л "' откуда интегрированием полузчаем р~ (,гв с ./ ~'~~есоув)л о где Р, — ыомент прохогления через перицентр. (11.1Ф Подинтегральную функцию меана преобразовать в алгебраическое выракенне посредством обычной подстановки (11 16) Тогда го = ~:Т:.', сну-ЖХ Ее ух =Е,ул ' н после неслолных преобразований пслу авм о Ллн вычисления интеграла рассмотрим отдельно двнкение по оо леан различного типа.
Прн диввеннн по ачлнптнческой орбите п<Е . Пополам тогда (11,17) где переменное ~Е есть в сноп очередь тангенс полонины некоторого угла з' . По аналогии с заменой переменной (11.15) найдем (11 18) Тогда подинтегральнак функции в (11.16) будет ранна М~" Е'ДЕ(' Е" Е-"ГЕ'%"',Ед Р+е)Я Гжерл)л бдз(е+г)лГи(~з)л с КзГЕ+е!'Р~у"л) ГЕ- р 4=-Цаа = „ЕЕ-есаул Ее', в, вычислил интою)зьз (П.16) по переменной Е в проказах от 0 до д', получим окончательно и лу Ь -н.ЬВЬ' Л ГЕ-Е,), д р~ ГЕ"А' ) . (11,19) в ыебвоной иеханике угол П назыммм поганкой аномалией, а угол ь' - зкоцентрнческой аномалией. Ураанекие (11.19), уотаиаи- лнзехмее зззисзмооть меиду зкоцентраческон аномалией а временем, называют уравнением Кеплера.
согласно раненстнам (11з5Ь (11.19) и (П.18), отспчз ясно, что састема уравнений (11.13) и Ш.19) позволяет, установить зазисииости т тГЕ), д ю ГЕ), т.е. определить уравнения двииеняя точки. При двикении по параболической орбите е= у, и, вычисляя интег- рал (1!.~Б), сразу найдем соотношение о ( ~~Р у д)' (11,21 ) определнюлее связь времени с полярным углом. Рассьютрим, наконец, случай гиперболической орбиты стУ . Из уравнения траектории г=пп~сс'пав) видно, что при изменении уг-! ла я от нуля до значения Р, определяемого равенством уэп ссуа, =с, точка переместится по соответствухщей ветви ги- перболы от перицентра до бесконечности. Кзк вннно вэ соотношений (11.17), уравнение движения вдоль этой ветви гиперболы можно полу- чить из форэул (11.19) и (11.20) для эллиптического дввжения, ес- ли в них положить Е - эХ я учесть, что Ья УЕ~ - туям,, 19 Ь; = ~И Е,.
Тогда зависимость мечу временем и полярныи углом, а также связь между углами в ы Е ° будет определяться соотно- шениями: б л 'Ь, ЕЛА;-А;-,Р й-У,),,»,= ~ ГЕ-l); (11.22) ум '=Ф'~"М луу„. (11.23) Зо Вм(ача двух тел В предыдущем рассмотрении принималось, что притягивающий центр оставался неподвижным относительно некоторой инерцэальной системы отсчета. Уточним теперь полученные результаты, учитывая взаимное притяжение движущейся точки и притягиэамаего центра. Именно, предположим, что во всем мировом пространстве находятся только дза тела У и Р с массае и и я, например, Сомы(е и планета.
Примем, кроме того, что расстояние манку телами велико по сравнению с их размерами, и поэтому их мокко считать материальными точками. Па оснозаыин закона всемирного тлготения эти точки вэаиыно притягиваются с сиками у', равными по величине/ -д-. Лт эстановим, какмз будет при этом движение планеты. 3та проблема носит название задача двух тел. Выберем неподвижную инерциальную систему отсчета ох,'л 'л' к подвижную систему Дх,х„лл, имеющую начало в точке с и движущуюся поступательно вместе с точкой Д относительно неподвижной системы.
Осознанна через 5 и радиусы-векторы точек у и Р в системе ол/ллл,' и через т — радиус-вектор тачки Р в системе Ух,лл х,, Тогда дифреренцивлыае уразнеавя двккеная Солнца а планеты в неподатной окотеме отсчета будут иметь внд ~т т. 6 ггьп т аиду ~ тг т. т- Г --/ — у. — . (11,24) стеф Пт ~~я т т Уюокая первое нв этак равенств на ~я ° а второе - на М в зачатая результаты, будем иметь ~эх сФтг 1 рая Мп~ ( — ьР— — ~)к-~ ук- — (М+м). так как г — т, = т, то вэ этого уравненвя поэучаем Ыэт,и'~т т ,и'=у' Ж~~) (11,24) Ы уравненная (11.24) Фигурирует абсолютная цронзводнэя от векторов 7~ к тн, абоскнмщя ке производная берется от вектора 7 и э уравнения (11.24). Однако цра постуцательаом дввкеаыв аастемы Ях,яяя, локакьная производная в осях г,хэ,т, оовызяаэт с абсолютной ароазводнсй в осях ~'.тэ'.т,' .
Сяецозателью, ураненае (11.24) опаонэает двюенве цнэветн отноовтеньао Солнца. Сравнивая уразненае (11.24) с уравненная (11.1), ввдмэ, что отвосытеньное дэыкеаве планеты нокрут Солкца цроиоходкт как двккенве вокруг неыодвякного пратягнзатщего центра, в котором сосредоточена юоса, равная ые массе Солнца М, кен счателось ранее, а Мтш, т.е. суюе юос Солнца в дзккуыайся вокруг него пкаветы. В уотаювневяых ранее формулах этот результат легко учеоть, заменяк воцну,а*/М на Сс'=~ГМ ).
Из сказанного следует, что гауссова постоянная,а Солнца фактически равна не уИ, а рм~ и), т.е. не является постоянной и зависит не только от масон прнтягаюэщего тела, но и от. маосы теле, двнгаищегося з нове прнтякеавя; счытать,а=гспз1 юкно только прмблнкенно н случаях, когда М «лт. Эаметвы еые, что когда вокруг тела (Солнца) двккетоя одновреюнно нескояько тел Р„(У =1,...,я ) (планет), то точное ревенае задачи требует учета не только свл прктякенвя магду текаыы Р а телом у, но к ээаащого прнтякенвя тек Р„.
Воэввкацкуы црн этом эалачу о движении а ьштериельных точек, взаимно прптягыза!ш!зхся по закону Ньютона, называют задачей л тел. Решение этой задачи сопряжено о большими мвтеыатнческими трудностями, и его не удалось пока найти с помощью изю;ствах з анализе Функций дале для случая тсех тел, 4 Уточнение т ть закона Капле Решение задачи двух тел позволяет уточнить Формулировку третьего закона Нелле!ш, Ирь выводе закона тяготения иэ законов Кеплера (т6) было показано, что период обращения планеты при ее движении по эллипоу вокруг Солнца равен Т вЂ” , где а , б - поились оси аллвпса, а б - постоянная площадей. Следовательно, отношение куба большой полуоси к квадрату периода об!мщения равно Р=— (11.25) тл селях 4вбэ а Из решееия задачи о движении точки (планеэты) вокруг неподвикного центра (Солнца) было напдено, что р= —,,и*~м . Выше было выяснено, что для учете двааения Солнца зепичину,м следует эаменвть на,и'= (СрХ+ ~) ° и определять параметр орбиты по форчусх ле р= — .
Тогда равенство (11.25), представленное в бюрые К~гп) аз — = — = с'оях(, (11.26) Тл(гуФсд) Фйл выракает уточненный третий камеров закон. Умнсиив обе чаоти этого равенства на нвосу РУ Солнца, паяцем а' Лч = — = с'ючх(. тП+ ж) Фял гт Тек как для планет — «У (ыаооа наябольшей планеты не превышает одной тысячной массйбслнца), то пренебрегая этим отношением по сразненвю о единиц%, отсюда находим закон Кеплера в обычной борще и"Г э=соплу . Слелозательао, третей закон Кеплера имеет приближенныи характер, он справедлив постольку, поскольку массы планет мала по сравнению с массой Солнца, 5с вииение в ок стности Замки Приыенвм полученные визе результаты к изучению движения техс ° онреотности Заели.
Будем считать Земэю неподэшжной, а движущееся тело рассматривать как ыатераазьную точку маооы пь . влиянием атмоо$ерч на движение будем преыебрегать, что при дэикспз;, н. смзтрывзеынх далее больших внсотзх э первом ыриолнкенин допустимо. Пусть в начальный момент точка чсходлтся в положении Р на рзсстоянни й=оР от центра Земли о, имея скорость щ,состзвляхщую угол с с плоскостью горизонта (рнс.12). Обозначим через у ускорение силы земного прнтякення в точке Р .
В дальнейшем под Я буден понимать любую величину, большую земного рздиусз. Если точка берется на поверхности Земли, то будем считать его раиным рцпаусу венного экватора Я= Я, =6380 км и у=у. .9,81 м/оек'. ч, Рнс.13 Рнс.12 Поетояннзя площнпей в данном движении определяется Формулой (1!.7) В виде С=Ям. лю с. (11.27) действующая на точку в положении Р сила прнтятения равна -л г'=,илэЯ =т~.
Отстща получает значение гауссовой постоянной для Земли в внпе Пл (1(.28) Траекторией точки, как было установлено, является коническое се ение (11.3): (1!.29) утегсую ' в котором полярный угол отсчитывается от пернгея п, па "~серр н эксцентриситет я орбиты вычисляются по )о!мулам ш.5) (П.11)э расположение ке перигея относительно поильного радиуса дсется углом 9,, согласно (11.!О). (:со стн гелнчннп в рассматрнээомом движении имеют значения млд~хт~ ~ м~соМ ' Р= а-Я' ( ° фр) ' И!.ЗО) ул,дл Ы Ая д = — па, Есор= — -1.
(11.31) ьр неК~ щ май уЯ х ' ' уЯ Иэ Формулн (11.30) видно, что траекторией будет гипербола при Пху, т.е. при цсДуЯ, парабола ярк я=), т.е. при ар=фут и аллино прв ес), т.е. прн и..<фу2 1 в частности,прн „~:о н е=о, т.е. при к= фЯ, точка будет дзшгаться по кр1уху Скорость с",= у~~К, соотвэтствукщая двивенвю по сир)внести, называется круговой или первой космической скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
