Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тема«образом( инеем. — .и о, 4 — и- гн«)« . (12-.5) щ' я я 5я « С учетом этих уояовнй уравнения (12.4) упрощаются и пряна«зхн вац о «~К у з ' «т««««~4 «й' =--оА««(з -ХС= О -Х«=- д-жом . (12.6) В овлу второго уравнения, угоя у вое время равен окоему начазьвоиу значении, т.е. у Ж . Перюе ае и третье уравнения нос° «д яе почкениого деаеввя дззм ~=~~ь. Раздела« перемевкне и интеграрук, отскда находка. « — „,~ где г-сс«««1 . В вачзльннй юмевт а«зн- «, 3, «4, слацоватазьно, поотовнвая имеет значение с=-и.са«« .
Таам«образом, вмеет взд эевнсвмссть скорости от утлл $ ср оос,с 5=-— оох сэ (12 7) С учетом этой зависимости последнее из уравненвй (12.6) превраввется з уранненае для угла ц схб ого.с (с ,ссф яЖ сй о;оас с оог'~~ ос'оэс После интегрирования этого соотноиенвк пра начальных уолсввях й-о, о =я-,с ° находим Лхасс =-~ — тб ос в- 1=(о«. Ьр Следовательно, закон изменения угла сх будет ..я:ысосПс'ос с УЯ= (12.8) ожы а'гочс+(ф-о.ь Внракение для оос(с взято со знаком конус для согласования с его начальнмс вначеввем. Равенства (12.7) и (12.В) позволяют получить следухщее внраиенве для скорости двикенвя: (12.9) Отскиа квадратурой получаем заноя изменения раостояиияс у=/' ссс +р, Ю=оссссс.
Интеграл воино выразить через элемента)аве фувкцви. С этой целью заменой а- о гоббс, и ~1- илом, оос ~4 1 сводим его вначале к интегрелу Л= — ( Га си ссссс.р, -~~ К а затем, применив подстановку Эйлера, ас -а Х осс и з а~. ос и= — 'стсо, ш=сс+, аоссс, сс= —, ссссо= — ', ссси= — ' првзсдкм его к элгебравчаскому внтегрэлу, которнй легко интегриру- ется.
М+и' Йи--~(м.— ° — Мс= — (о — — з) л — ба. 1с' ссс Хая у о а" сс т ( есо со у соя Возвращаясь к переменной й, получаем ф= ~ ~ф1-КЛжэ) Ф Ф э т иэссээ Ьа~~1-бяь «эжг% ф-и,.ьы l1 ~я Возьмем на траектории ээ начало отсчета рэсстоянай начальное полоаение точки. Тогда при ( б, а=а .
В салу этих условий, постсвнная .Ю имеет значение Ю= — )С Алм - Э бСХ,ГЙ)а-ай. С)). ! я я .э Яэ о Следовательно, уравнение двинская точка по траекторви имеет щд д= — ук Аяы+ф(-и; Ал с) избэРа+ у-ця )х~ (12.10) л .~э~э -~7д я-я.Уй с Что аесаетоя крззвзнн и кручэнвг, тй, э салу йс)муя (12 б), (12.т) в (12.8), она опрэделавтся з зэзасюсстк от времена эн)мнениями щусээас к= м о (12,П ) 1ихсаРы+ у~у- идя4~Яа Исалвчевием времеви иа (12.10) и (12.11) мовен получить естестзеннне ураааэавя траектораа з Фо)ззе а=этг), я' с ° Таким образом, фсрмукм (12.10) а (12.11) раэаэн задачу.
4о Исса о е естес венных навий ения Рассмотрим оообеннооти двикения точка в одворщном поде тякэота, даэааве естеотзевнюзи уравнеивмзи (12.10) и (12.11). Прение коего ясю, что поскольку крученве разно нули, то траекторая точки яаэяется плоской ливией. Из знрааенвя (12.9) дакее слааует, что скорость двккевзя будет существенно похозатаэьвой величиной, следовательно, тона остановок нет, и расстояние будет юнотоню рвота со зреювеи. Яяя иооаедоаэввя зааасюсста скорооти от времеви рассмотрзм ивэдрат скороотв.
и э= цэаоА~+ ~~ -ими)э. с помешав произюдввх Ыоя ',~я;а = Я~ф~1 "гб йл~) т ~)И = ф~>с легко устанавпвааам, что окорооть достигает мвкамаэьвого значения з юмеат ~ = И(йм', к это мвнвмзаьное значенае разно; У о. =к<'сэ,э. -78 На интервале с г (,, ~;-~о, следозательно, скорость двкхк" канна падает от начальной до маникальной( на другом антерзеле с ( е , >с , поэтому скорость будет неограниченно расти жт" Ф от своего наименьшего значеыкя.
Обращаясь к выреленню (12.11) для кривизны, задам, что она обратно пропорциональна кубу скорости л= я — э . Отсюда видно, что в момент 1, кривизна траектория будет максамальной л =Си.лжс д . -/ ~пал сеаь Из эазкснмостн (12.11) следует, что при (=о, х=' — х-, а при О .
ТаКЗМ ОбраЗОМ, На ПЕрЗОЫ ИатЕрпачэ ВрЕМЕНК без ~(, кривизна траектории растет от начального значения до максщеального а на втором антерзале т, ге убывает от максимального аначення до нуля. Глава 2. ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ Материальное тело всегда дзккется в окрукенаа других материальных тел, с которыыа оно взащэодействует.
В частном случае взсзыодвйствкв осуществляется при касании тел друг друга. Прн этом ограничиваются возьюкносты двакензя тела — оно станозытся несвободным. Особенностям двыкеакя несвободного тела - ьщтернальной точны - и посвящается настоящая глаза. т 13. Днкхенке точки по поверхнооти Законы двнкенкя свободной н несзободной точек, как показывает опыт, вообще разхычны. В этом парагрв4е установим зад оснонзого динамического закона прк двнкенкк точки по поверхности. 1 Гюла~~ааи~а Пусть точка ко все время двзкенкя остаетсн на поверхности одного тела клк группы тел.
В этом случае говорат, что точка дьащется по поверхности алк по ланка. Этн тела ограничивают свободу перемещення точка, и поэтому будут связаны. Допустам, дзвжвнкв рассматРазаетса относительно ане)цкзльной систеыы отсчета л,, лл, г, . Тогда поверхности соответствует некоторое уравнение У(хю кл,.ху,О=о кпн ~Я Е)=о, (13,1) называемое уравнением снязк.
Посксльху линию мокко рассматривать кок пересечеяяе двух поверхностей, то п(м дввкенва вдоль линии таких уреввенвй будет двэ. Связь (13.1), уравнение которой содеркат только координаты точки н время, нэзнвается конечной нлн гесыэтрэческсй. Если в уравнение связы время не входит, связь называют стэцвонарной. В общем случае, прв накачка в уревяевав времена, связыирнвевт вествцвоварной. Нестацкоыерной геоыетрвчеокой связи соответствует поверхность, перемещавзеяся со временем в прозтренотве; стацаона1мой ке связв соответствует неподвввввя поверхность.
Примером отецнонерной сааза монет окунать сфере постоянного радиуса Е с центром в ввчеле коорпкнат, а неетвцконерной - офера с центром в той ае точке, но переменного редауоа ~+а1; ~Л)=.г,"'лл~ле-Р~ с, ~(чй"л,тл +х,-1Н4' ц 20 Щ ать в о е Прв двякеввк точка зцоль поверхвоота ее скорость в ускорение не могут бить проазвслмпак велачавэыа, а долавы удовлетворять некоторым огрвнвченкям. устеновю взд этых посла(ввх.
Продврреревцкруем по времена ураввенае связы (13.1) о учетом того, что ноорпанпты точки (кла ее радиус-вектор) сама взмевнвтон оо временем, в результате получвм соотвоаенке — — + =о азв = Уе — =о, -Ь«~ д )~ (13 2) д~ сй М дх Вектор, компонентная которого в декартовых коораазатех слуаат частные проазводвне от фуккцвв у по коопквватем, называется градиентом этой фувзцва и обозначаетоя через Из геометрны взнестко, что орт поноавтачьной но)мала к повеуостн, запевкой уревненаем (13.1) ° опрккачяется нвреяенкэм л= у/ Отохце следует, что градаевт ((пандан у' направлен по но)эмлк к поверхноста ('=о в сторону воэреотаван Т': г( /рай.
С учэтом этого равенотва условна вэ скорооть (13.2) мокко представать в следующем ваде: (13 3) л~~! 3Г ' Теням сб)ином, связь Огреккчввеэй только нс7йеэльнув к псэерхнсс тв связи соотзвляхвпв скорости; наоатезьвая ке составзящея ско- рости юает бить произвольной. В частвооти, длк отацаоаарвой ожви ~/д(-о и к=о . Это условае очеввдно, оно требует, чтобы скорооть точка, двааущейоя по нецсдвавной поверхности, левала в касательной плоскости этой поверхности. перейдем к устэновкенив ограниченая на ускорение. Лайбмревцаруя по времени равенство И3.2), будем иметь Ч~.Й +3~=0, Ю/=~ — р~) Ю+ у-ф~ (13.4) Отощав находам, что ограничение ва ускорение имеет ввд Ю а=-— а„=а я, (13.5) а (тЯ Оледоветельно, как и в откованна скорости, связь ограничивает значение только норюльной к поэерхноств составным(ей ускоренна; касательная к поверхности составляхщэя хескорения остается произиаьной.
При стационарной связи Я~= к кт т.е. является однородной квадратичной функцией Коюснентов скоростей. Внешний ке ввд условия П3.4), в отличие от условия на скорость, в рассматрвнаемом случае не изменяется. И только когда / является линейной функцией координат, т.е. когда непсдввкной поверхностью качнется плоскость, условие на ускорение принимает акалогичнвй ввд: а О , Зс. Ос о о закон анамнкк и и ванеева по позе ости. Ре связи Раооютрнм несвободную точку масси п~ , двикущувся по поверхНОСтв / ( 1,1 ) = О ПОд дсйотВИЕМ СИЛЫ г . ЕСЛИ бЫ тОЧКа быка СаО- бодной, то по оскожому закову джавахк ее ускоржие удовлетворяло бы равенству.
(13.6) Однако в настоящем случае ускорсвие долкно уДоваетэорять такие уоловвв (13.4). Пра этом змеится дне возмоиноста: либо условия ПЗ.4) и (13.6) оовместны, либо не совместны. В первом случае интаграровавием равенстж ,~~~ = тУ " ~'Ч=о поаучаем /,т,() - с',1 г, где с) и гл - проиэвольыые постоявнне. Такам об)юзом, уравнение сааза /-с в этом случае явкяетоя честным вторым интегралом уравнений джкения, соответствумэвм с', б -о . Этот случай реализуется при весьма специааьннх условиях.
Общим будет второй скучай, когда равенство ИЗ.Б) протвворечет усломзв (13.4). Это означает, что уражевие (13.6) ыесправедлкво в данном случае. Основной закон динамики в случае несвободной точки обобввют в следуыхем вац: /па = г'+Я, П3.7) т.е. принимается, что па точку, кроме силн р', будет действовать еае некоторая сале Л, обусловленная присутстщем связи и называемая реакцией связи.
Реакция я долине бать такой, чтобы равенство (13.7) уке быхо ооьместныы с реиенствоы (13.4). установим совий вщ для я, удовхетворящай этому требованию. С атой целью, выразив ускорение иэ (13.7) и подставив его в (13;5), будеы имать а =Л;, (13.3) е /ту/ Текам образом, окаэыэаетоя, что урежевпе свМэи определяет реанцвю связи не полностъю, е только ее соотввлящую в аапревлевва т/ Следовательно, ревкпвв мокко преяотевыгь в Що)ме а (13.9) где /ч наэиеэетоя нормальной реакцией, е 4) - тенгенцнлльной реакцией смак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
