Лекции Бондарь часть 2 (1247308), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В девам оаучае ови будут иметь аая. 5' ги5'=-гав 4п ~ю л — =-тооащ+ М о М / л л для устевозчепая озава майку реостоаваем а ейлероюа углом до- статочно воснсльаонатьоя второй группой естественных кинематнческах уравнений (3.10). В случае плоской ливии они сводятся к одному уравнению ~ул=Х . Полагая Ч = Ч, Г- т/е и иытеграруя, стоика получаем л-х ьа(Ч-Ч.>, где Ч. - угол, соответствувций расстоянии д, . Отсняв видно, что угол Ч можно рассматравать в качестве коорнзнаты точка.
В терювех угле динамические уравнения приводятся к виду У Чл е ла Ч~Ю Азу=о, Л/ =Р/гсуЧ+ — л), Ф чм а)-"у/4 (18.4) Легко видеть, что нервов иа этих урезнеазй служат для нахождения дююения точки, а дна других определяют ревююа связей. Представим углоное уокореаае Ч в ваде Ч=-,у = «ф . Тогда в уравнении Ч+ ю ЖсЧ с аеременные раеделямтоя, и его можно интегрировать ~ЧЯ+ ю у~пЧся =о, Ч~=ум~сохЧ~я, я сную~ (18.5) Получвнаай первей интеграл ураннений движения нееывавг интегралом энергии. Оа совпадает с затвграаом (16.7) дла сйераческого юютнака нрм б=о . Постоянная интегрирования определяется по начахьным условиям (18.3) в аиде: 7=Ч, -Ясд 'схЧ,, Ч,= — Ч=а ' П8,6) Велачака Я харектериеует величину начальной енвргии точки и в валаисамооти от аачаньюк условий намекается в пределах -Яю Я < - .
Окааываетса, что в аааисююсти от еепаса вачажьной энергиа могут ооуиествляться различные режимы дкииенин маятника; рассмотрю( их. 2с. Равновесие маятазка Пусть величина Я навет каименьмве ноююинов еначение, т.е. Я=- уюл . Зго значение, как легко надеть не (18.6), достигается прн нулевых начальных условиях Ч -о, Ч.-. с . Тогда не ра еяства П8.5) следует, что должно быть Ч" =.уй ~са~Ч-у) т с, Роцю-/ьо, Ч=о, (18.7) у :.-. пра мннююльной начажьной енергии маятник будет покоиться в т: .~слокеюю, которое он еанзмел в начальный момент времени.
Зо. Колебания маятника ..Леть начальная энергия такова, что -Хю~~М Хю" . Тогда мозно положить Я=-яю~жу Иэ зыреаеввя (18.6) (),-Ль> пью, = - ЛаАну вытекает, что ) г 6 . Ивтегрва эвергма (18.6) соэволяет заключать, что ~' = ус' ~ ~у- с~у>'с' )4л~' У "(" ~ Х. (18.8) т.е. при дзнжеяав мвятвака угол у аэмеввток з автерзале -р у~у, причем гренадам внтерэьэа отвечазм точка остевсвва. следовательно, мэятнвк будет созерэеть коаебетеаьвое дзавеаае, а) мелке колебенвя маятвнка. )(опуотщ, зезвчввв Я блззза к -ХМл. Тогда угол ) маз, ) л(, н, поовольау (у!~)', щлщ будет тежае в угол отклонения (г: гу~ г) . Равзоаав гээм,гсеу з рякм н удерживая з нвх иваре чзевв порядка ве зще второго, получэм приближенно гезу 1-~, геу/-уД~~.
равенство (18.8) вредствьнтся прн этом з виде „л с,г~~,я, л) Полагая, что (Л го, отскна получвм р ~)/~л ~л взв = а>с~И сам в интегрирование дает следущее уразвэвзе дзнаевщ: аы.жм — ' а)(~с м Х взк у=]'.йл (сй( М (18.9) Таким обрезом, з этом случае ыеятвак оозе)мает малые колебавак около волокеная разновеска у с о емпаьтудсй у, круговой частотою с~ в начальной базой с .
знплаггде в щчачьвза каза мэлюс колебенвй опредачается по ввчазьвзмуозоааи (18.6) з заде — Г""йл 1~= ~~- Что кесаетск пернеля мазах колебещй, тс ов спрядазяагоя внраве- 7 = — =як~/. Яя ./г~ с) Г~' (18.10) Кек видим, первод нолебавзй не эвзясвт от авлвтудм вокебввай, Это свойство малых козебекзй маятника ввеывввт азсхрсщоотьа, оно используется з мзятэвкощх часах. з) Проиэзсльаые колебания мвятвзка. Пусть Х заест любое значение вэ затерзала -Яо)Л< я Л ла> .
Тогда легко задеть,что угол )', е слекозатазьао, а угол у ве будут щлща. установка точное рэмевве эедвча о мватввке з атом случае. Обрщваоь к равенству (18.8) к заменяя в вем восваусы через сзмусм половзнзвх -103- углов по формулам бо«~= «-»Ап «~», йи)'=/-»Ая ~/у, будем иметь о )) =УМ ('ця» -Ам р"-) ~, ' (18.П) » Гсл««» — А~Р'ф где перед корнем выбран эпаа плюс для согласовевия с аачаяьппы условием ~ то . Введем теперь вместо («новую переыевпую с посрщством )мвенстза яи (3 =«Аим, к= вя lя, Тогда легко видеть, что » .
» ««о «еолтс Зш Я Яп ~»-"«жС ~ о»= У1 «е д,а, и выреаепие (18.11) преоб)ыеуетоя к вщу = с)Н. «-««Ае~г (18,12) Обоепачвм через «момеат времени, когда у=о, а следовательно, в ы=о . Тоща беря от обоих чаотей пооледпего уреввепвя опредацяемые ивтегрелы, получим уравнение двзаепия маятниза ол с сЫ = о) И-«~) . /- «Ам'е (18.13) Ивтеграл, стоящий в левой части равенства, является млиптвчесивм интегралом первого рода, следовательао, время вырезается через велвчзву к с помоцью эллиптического интеграла. Интеграл еоть фувяцаа верхнего предела ы и параметра « .
Обозначим его таа: и = Р'б««) . Обратная фуаапвя с = а~я и завивается амплитудой. Беря от обеих частей етого равевотва синус, получим новую Фувяпвв. Ло с = Лпагпи =Фги Л)ь ф=«,фси «Юге«~«-«„), у=»атсйый«еМ~Е-«„р. (18.1Я -104- Ф)взвыл .Йи (сивую-амплитуда и ) является азлаптаческой $увкпией Якоба. Перехода в атом равеиотве а углу у в учитывая (18.12) (18.13), получив ураыцеаае двваевия мазтаща Отсццз задам, что дюаенае мзятвзка будет перводаческам колебанием. Иэ пслоаевая уьо з соловчане у у ммтвзк проходит за четверть периода т .
Поокольку, ооглаою равенству (18.12), п)ю у-~,ы=е-,(-Г„, + аиду', то перющ определяетоя аз ооотвоаевм м (18.14) з езде опрщелевного автегрвза ы у. о) «фее~,е этот знтегрел юзно знчколвть в Фора )мда; поокольку ел(, то корень мозно разлоаать по форьуле бпвю з збоолммо охопмпйоя ряд, которнй допускает почлеввое юьтегрмровэвае. (у-е йМ = 1+ 1е«ейР. + ~'~ е "лл"а е Ф )(роззводя вктегуи~сзавке, опареяоь кз аэвествув фьрьулу Ввзлаоа лт у3 Гяю-г) я озв ~сне = ае" «л е о в полагая з результате е-,ь~ф, а ~ ф/~, будем вметь ф~ «~ « ~~'Е~ л ~ (18 15) Следозателью, пераод прокзвользнх колебэязй наятнзка мвюют от аапппудн колебала в тем больна, чем бельме аалвтуда, т.е.
проазюльные кслебеная меятнюа не азохроннн. Есла аалатуда Е достаточно мва, то з резмюенва (18.15) юкно огренвчзтмя нервна членом, созпадамзвм с внрюьенаем (18.10) для перюща маках яолебанвй. Рззющв мазду пераодема, подсчатзнюаю по йо)мулам (18.10) а (18.17) п)м у =20о, достагеет 0,8Ф, прз )' 40 - 8И, а пра )' =80о - 18$; в последнем случае прв дланя меятнака ( =1м эта 18И составляют 1 оек. 4о.
Асвнпт ское валенке меятвака Псковам я=«а)е, Интег(юл энергзв (18.5) тогда примет ющ уе «„,ед с«у)=«о)"е ~~5. (18.16) Отсхма ющкм, что равенство нулю угловой скороота достнгэетоя п()н А~У« =о, т.е. прв у=«я . Олздомтезъао, меятнзк монет сг. ь« тэнезлвзаться только з верхней точке окруавоота. Извлекая кмщретннй корень аз сбезх чаотзй равасюза (18.16) и беря для у знреаенае, ооглаоущееся с его вазелина звачеввем -105 ()то, будем вметь о ~ее Ыф ~е~ (е=е""'" /я май = — р- = усое й гу х-.У Тогда, беря от обеих частей этого равенства опредбиенные внтегралы слева от 0 до (, а справа — от у до у, получаы иаков движения маятника в виде 1~Е/е /фт /' /~у //~ Е% ' (1817) Отсиаа видам, что прв Е, Ы-Я, угловаа окорость () ссх(мнит свой звяк.
Следовательно, меятйвк асыштотзчеоки приблвааетоя к верхней точке овруввоств, ве достигая ее аа ковечвнй промежуток времеви. Такое движение маятвзка вааииазе асимптотвческим. бс. П ссиввое вике е Будем, вавовец, ожвтать вечачьаув энергии меятнЮа Стола боль- юй, что я~ем" .
тогда умеотво положить Я- ьд(е+ус ), затею рал свертки (18.5) прв этом получает вырезание Е Е Е(бл, „велте ) (18 18) В этом охучае угловая скорость () ввкогда в куль ве обрывается, т.е. маятник все время врмхается в одву и ту ве егорову, сохравяя перювачальвое вапразлеаве врааевия. Такое дввкевие маятника ваеы- иавт прогрессввввм. Для получевиа ураввюия дмьаевкя представим равевотво (18,18) з йорма. (у = — «-» у*и%), .е Фе1е е .е е ) «е У~~~ После иавлечаввя кведратавх юрвей и рааделевия переыекввх полу- Ф .Ы , е .е ЫЬ е) — — l-'Х Ал 'уе е = — Н Ю е ' Ы' Аые5 Наконец, звтеграровавве дает йе й (~ Уу ~'я 'С„я ~1са19) ') ~и У 63 ', 3 у„,,р еллаптичеокум фувацвв времена, евеаю о сот Реакция гладкой окрузюотв определяется вторю и третьим ес- -106- тестзезными дияемячесянма урезвеюввю (18.4).
Из этих урзппеюю зздно, что реакция направлена вдоль редпуоз окруююотв н имеет следузщее значение: ()л Л/ Р/с'АР+ — /. Исаи подставить з зто ввраиенае значение квадрата угловой сяорооти из пнтеграза энергия (18.5), то прзлем я зезаоююоти Я/ И Р/,увозу~ — /. Тазам образом~ резаная есть йуюпйю ст ух%а отплсяеюк маятнюм от зертакаюц ева зависят таке от танях поотоавннл параметроз> нзк зес маятника, его длина, уоиоревае сюю тянеств а от ззпаоа начальной еяе(цпи. Зкстремвльпне значюпк реазцяи будут резни лГ Р( — у) Л/ =Р/ — -5/ 4! Ф мал лвл Реакция оореааетоа з нуль при условия гас/=- /, чдо зонзоа- 4 но, когда /ВИЛ -ум" ° т.е. когда запас начальной спертая ве очень залая. 5 19.
е тяа то по ае е В качеотзе другого примера дзюаавя точна по лавин раоомотрюг дзазевае по цвзлозде при налюпю сопротазлевза дзвяенив. 1о. Щсйййойка задачи Пусть точна мзооой ю лижется по иеуояоаатой цдялоаде,рвопслоиеипсй н зертаяальмсй плссяссти .г, ° .лл в сбраиююой зе)ювр уз ТФ ной азиз под дейотзмем сиам ввести.
Коэ44вциевт Т" 0 %тр р М.П юю С 9 задана парапет(ючеспюю м уразненювп относительно система отсчета, начало которой взято з зе)виве О Р л~ лапин, а сонг, Рис 19 празлеим соотзетотзююо по горизонтали в вертююли, изп указано вз рио.19. Вти урезненаа таяовю х;К<Ф+~лр), .тл ЯР-аи(р), -ял (ус юг, (19.1) 107 где .ц - радиус производящего круга, а щ - угол мезщу радиусами, проведенннмя вертикально знкз в в данную точку цякловды. Такую цккловду опншет точка проазводянего круга С, катщзегося без скольжения па направлямцзй РЕ с нввней стороны.
Определен двввенке точки а реакцвю цяклодян, если точка скатывается нз некоторого начального полокенвя без начальной скороста у=о, г=х. >о, у-о (19,2) Естественные уравненкя цккловдн асано псиучать из ее уравнений (19.1) в декартовых коорккнатзх слскумнзм образом. Поскольку цвкловда-плоская ланка, два ее зйлеровнх угла равны нулю ))=(~я=о, а третьем будет угол (я= м мезду осью абсцисс к йасательной (ркс.19). Главны нормаль цвклозды в точке Рт проходвт через точку 8, в которой провзводящзй круг касается направющщей и которая снуакт для круга мгновенным центром вращення. Из геометрнческнх оообранензй тогда ясыо, что углы гр я у связавн соотноаеняем ф-ло .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
